專題37空間線線角線面角二面角（原卷版）

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題37空間線線角、線面角、二面角空間角空間角線線角定義求法線面角二面角線面角二面角定義求法定義求法定義求法 練高考明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T9）（多選題）已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為2.（2022·浙江卷T8）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.3.（2022·全國(guó)甲（理、文）T9）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為4.（2022·全國(guó)甲（理）T18）在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．5.（2022·全國(guó)乙（理）T18）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．6.（2022·新高考Ⅰ卷T19）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．7.（2022·新高考Ⅱ卷T20）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．8.（2022·北京卷T17）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．9.（2022·浙江卷T19）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．10．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)在正方體中，P為中點(diǎn)，則直線與所成的角為 ()A． B． C． D．11．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．(1)證明：；(2)當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?12．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．(1)求；(2)求二面角的正弦值．13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．14．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．15．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．(1)證明：點(diǎn)平面內(nèi)；(2)若，，，求二面角的正弦值．16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 ()A． B． C． D．18．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面CB1D1，平面，平面，則所成角的正弦值為 ()(A)(B)(C)(D)20．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,在四棱錐中,,且．(1)證明:平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值．講典例備高考類型一、異面直線所成的角的求法基礎(chǔ)知識(shí)：1、定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)，如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。2、異面直線所成角的范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，eq\f(π,2))) 基本題型：1．如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2.如圖，點(diǎn)M是正方體的棱CD的中點(diǎn)，則異面直線AM與BC1所成角的余弦值是（）A. B. C. D.3.如圖所示，三棱柱中，底面.（1）求證：平面；（2）已知，且異面直線與所成的角為，求三棱柱的體積.4.如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)AB，現(xiàn)將△CDE以直線DE為軸旋轉(zhuǎn)一周后，則直線BP與動(dòng)直線CE所成角的范圍為．基本方法：1、異面直線所成角的向量求法：若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|)2、定義法：利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移，補(bǔ)形平移．即通過(guò)平移找到所求的異面直線所成的角，用平移法求異面直線所成的角的基本步驟為：(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．類型二、直線與平面所成的角的求法基礎(chǔ)知識(shí)：1、定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．2、直線與平面所成角的范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4、線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.基本題型：1．如圖，已知四棱錐中，平面，底面為矩形，，.若在直線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得直線與平面所成角都為.則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2、如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直線OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________.3.如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.4、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，PC＝2eq\r(3)，E為PB中點(diǎn)，________，求證：四邊形ABCD是直角梯形，并求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．從①CD⊥BC；②BC∥平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并完成解答．基本方法：求解直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)向平面引垂線，作出所求角，其中確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所作的角為直線與平面所成的角；③求：構(gòu)造角所在的三角形，利用解三角形的知識(shí)求角．(2)公式法：sinθ＝eq\f(h,l)(其中h為斜線上除斜足外的任一點(diǎn)到所給平面α的距離，l為該點(diǎn)到斜足的距離，θ為斜線與平面α所成的角)．(3)向量法：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，n〉|＝eq\f(|eq\o(AB,\s\up7(→))·n|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|n|)(其中AB為平面α的斜線，n為平面α的法向量，θ為斜線與平面α所成的角)．類型三、二面角的求法基礎(chǔ)知識(shí)：1、二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．2、二面角的平面角定義：過(guò)二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．3、二面角的平面角α的范圍：eq\a\vs4\al([0，π]).4、二面角的平面角的向量求法：平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角αlβ為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)5、兩個(gè)平面的夾角：若平面α，β的法向量分別是n1，n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角；6、設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)基本題型：1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)2．已知是各棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面與平面所成的銳二面角為（）A．45° B．60° C．75° D．30°3.如圖，多面體中，平面平面，，，四邊形為平行四邊形.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.4.如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,垂足為,.（1）求證：平面平面；（2）若,求二面角的正弦值.5、如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面AEC.(2)若四邊形ABCD為正方形，探究在什么條件下，二面角C-AF-D大小為60°？ 6．如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為．基本方法：1．利用向量法解二面角問(wèn)題的策略找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小2.兩個(gè)平面夾角的向量求法設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面的夾角，用坐標(biāo)法解題的步驟如下：(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求法向量：在建立的坐標(biāo)系下求兩個(gè)面的法向量n1，n2；(3)計(jì)算：cosθ＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).類型四：空間角的交匯問(wèn)題1.如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，.（1）證明：；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求二面角平面角的余弦值.2．如圖，在三棱錐中，是以為底的等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若點(diǎn)M在棱上，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．3．如圖1，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BM＝2MA，AN＝2NC.如圖2，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．(1)求證：平面A′BM⊥平面BCNM；(2)給出三個(gè)條件：①A′M⊥BC；②二面角A′-MN-C的大小為60°；③A′B＝eq\r(7).在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的條件中，并作答．當(dāng)________時(shí)，在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使直線PA′與平面A′BM所成角的正弦值為eq\f(3\r(10),10)？若存在，求出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．新預(yù)測(cè)破高考1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉臑指的是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，當(dāng)鱉臑A1﹣ABC體積最大時(shí)，直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，則異面直線BD1和B1C所成角的余弦值為()A.eq\f(3\r(70),70) B．－eq\f(3\r(70),70)C．－eq\f(\r(70),70) D.eq\f(\r(70),70)3、空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0，z0)且法向量為m＝(a，b，c)的平面方程為a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0，z0)且一個(gè)方向向量為n＝(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直線l的方程為eq\f(x－x0,μ)＝eq\f(y－y0,υ)＝eq\f(z－z0,ω).閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面α的方程為3x－5y＋z－7＝0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0,0)的直線l的方程為eq\f(x,3)＝eq\f(y,2)＝eq\f(z,－1)，則直線l與平面α所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(10),35)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(5),7)4．（多選題）正三棱柱中，，則（）A．與底面的成角的正弦值為B．與底面的成角的正弦值為C．與側(cè)面的成角的正弦值為D．與側(cè)面的成角的正弦值為5．（多選題）已知三棱錐BACD的側(cè)棱兩兩垂直，E為棱CD的中點(diǎn)，且，，，則（）A．B．異面直線BE與AD所成角的正弦值為C．平面ABE與平面ABD不垂直D．平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為6．（多選題）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.則下列結(jié)論中正確的有（）A．當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立B．當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C．二面角的最小值為D．三棱錐的體積為定值7．（多選題）正方形沿對(duì)角線折成直二面角，下列結(jié)論正確的有（）A．與所成的角為B．與所成的角為C．與面所成角的正弦值為D．平面與平面的夾角的正切值是8、在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_(kāi)_______．9、已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA＝AB＝a，AD＝2a，則二面角BPCD的余弦值為_(kāi)_______．10.如圖，在三棱錐中，，一平面截三棱錐所得截面為平行四邊形.已知，，則異面直線和所成角的正弦值是______.11．如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_(kāi)____．12．四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡將分成面積為的兩部分，則________.13.如圖，已知四棱錐平面，（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.14