重點01平面向量最值（范圍）問題及“四心”問題

重點01平面向量最值（范圍）問題及“四心”問題題型一 最值（范圍問題）1.定義法例1．設(shè)非零向量若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)和數(shù)量積公式，分析余弦的范圍，即可得的取值范圍.【詳解】解：由題意，，，，故選：B.例2．已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把的兩邊平方，利用基本不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)非零向量，的夾角為.，所以，由兩邊平方得：，，，即，即，，，即當(dāng)時，取得最小值，最小值為8.故選：C．練習(xí)1．已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析取最小值的狀態(tài)，結(jié)合數(shù)量積的意義和二次函數(shù)可求答案.【詳解】由題意，為鈍角時，取到最小值；如圖，為的中點，在上的投影向量為；由可知當(dāng)在上的投影長最長時，即與圓相切時，可取到最小值；，當(dāng)時，，所以的最小值為.故選：B.練習(xí)2．如圖，設(shè)圓M的半徑為2，點C是圓M上的定點，A，B是圓M上的兩個動點，則的最小值是________.【答案】【分析】延長BC，作圓M的切線，設(shè)切點為A1，切線與BD的交點D，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可得點A運動到A1時，在上的投影最小，設(shè)，將結(jié)果表示為關(guān)于的二次函數(shù)，求出最值即可.【詳解】如圖，延長BC，作圓M的切線，設(shè)切點為A1，切線與BD的交點D，由數(shù)量積的幾何意義，等于在上的投影與之積，當(dāng)點A運動到A1時，在上的投影最?。辉O(shè)BC中點P，連MP，MA1，則四邊形MPDA1為矩形；設(shè)CP=x，則CD=2，CB=2，=，，所以當(dāng)時，最小，最小值為，故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義，考查了學(xué)生的作圖能力以及分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.練習(xí)3．在中，為中線上的一個動點，若，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】根據(jù)平面向量運算法則得到，利用數(shù)量積公式得到，設(shè)，從而得到，結(jié)合求出取值范圍.【詳解】因為是的中線，所以，故，因為，設(shè)，則，所以，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)或3時，.故答案為：.練習(xí)4．若，且，則向量與的夾角為________，的最大值為________．【答案】/【分析】由即可求，結(jié)合已知條件可得在過點垂直于的直線上，而在以為圓心，1為半徑的圓周上，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷的最大時的位置，即可確定最大值.【詳解】由，可得，所以由可得,所以在過點垂直于的直線上，故向量與的夾角為；而在以為圓心，1為半徑的圓周上，若，如下圖示，∴，要使的最大，只需共線，在上的投影最大，由圖知：共線且P在線段AB上時，的值最大為.故答案為：，.練習(xí)5．已知是邊長為1的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】畫出圖形,結(jié)合圖形，利用平面向量的幾何意義判斷求解即可.【詳解】畫出圖形如圖，，它的幾何意義是的長度與在向量上的投影的乘積，由圖可知，在處時，取得最大值，，此時，可得，即最大值為.在處取得最小值，此時，最小值為，因為是邊長為1的正六邊形內(nèi)的一點，取不到臨界值，所以的取值范圍是.故答案為：.2.基底法例3．如圖，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的邊長為6，求的取值范圍.【答案】(1)16(2)【分析】（1）利用已知向量，表示要求數(shù)量積的兩個向量，然后求解即可；（2）利用向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解即可.【詳解】（1）在菱形中，有，且，，又∵，∴，∴.（2）∵菱形，∴，，則，∵，∴，∵，∴，∴的取值范圍是：.例4．已知是邊長為2的等邊三角形，D為邊的中點，E為邊上任一點（包括端點），F(xiàn)在線段延長線上，且．(1)當(dāng)最小時，求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，把轉(zhuǎn)化為，由求出，從而可知當(dāng)時，最小，把轉(zhuǎn)化為用表示，再把代入即可求出的值；（2）把轉(zhuǎn)化為用表示，化簡為只含變量的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法即可求得的取值范圍．【詳解】（1）如圖，設(shè)因為，所以當(dāng)時，最小，此時.（2）由（1）知，故，因為，因為，所以.練習(xí)6．已知正方形的邊長為，為該正方形內(nèi)切圓的直徑，在的四邊上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，利用平面向量的線性運算以及數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出，求得的最大值，由此可求得的最大值.【詳解】如下圖所示：由題可知正方形的內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)該內(nèi)切圓的圓心為，，由圖象可知，當(dāng)點為的頂點時，取得最大值，所以的最大值為.故選：B.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.練習(xí)7．菱形中，，點是線段上的動點（包括端點），則的最小值為__________.【答案】/【分析】設(shè)，運用向量的線性運算和數(shù)量積運算得，設(shè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】解：不妨設(shè)，則，所以，因為，所以，設(shè)，則，對稱軸為，所以，所以的最小值為.故答案為：.練習(xí)8．如圖，在中，點P為線段AB上的一個動點(不包含端點)，且滿足．（1）若，用向量，表示；（2）若，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算法則即可求出．（2）根據(jù)向量的加減的幾何意義，得到，即可求出范圍．【詳解】（1）若，則，，，則．（2），，，，，且，．，，的取值范圍為．練習(xí)9．梯形中，，，，，點在線段上運動.(1)當(dāng)點是線段的中點時，求；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意求得，將目標(biāo)向量表達為，結(jié)合向量的數(shù)量積運算即可求得結(jié)果；（2）選定，為基底，表達目標(biāo)向量，再根據(jù)平面向量共線定理，設(shè)，將數(shù)量積表達為的函數(shù)，再求函數(shù)最大值即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，作圖如下：由題意，，.（2）設(shè)，，所以時，的最大值是．練習(xí)10．已知中，，，點為線段上的動點，動點滿足，則的最小值等于_____．【答案】．【詳解】令，，設(shè)（），∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值是，故填：．3.坐標(biāo)法例5．已知正方形ABCD的邊長為1，若點E是AB邊上的中點，則的值為__________，若點E是AB邊上的動點，則的最大值為__________．【答案】11【分析】分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，得出向量，，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算得出答案.【詳解】如圖分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

則，,，若點E是AB邊上的中點，則，所以所以；若點E是AB邊上的動點，設(shè)，所以，所以，由，可得，所以當(dāng)時，的最大值為1故答案為：1；1例6．已知在中，為平面內(nèi)一點，則的最小值是__________.【答案】【分析】先用余弦定理求出，建立坐標(biāo)系，再用坐標(biāo)的方法求解.【詳解】

由余弦定理得：，以B點為原點，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，則A點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，設(shè)，則，，當(dāng)時，上式最小=6；故答案為：.練習(xí)11．如圖，在四邊形中，，，，且，.

(1)求實數(shù)的值；(2)若，是線段上的動點，且，求的最小值.【答案】(1)(2)11【分析】（1）根據(jù)和向量的數(shù)量積定義求解即可；（2）方法1，以，所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值；方法2：由向量的線性運算表示出，求出的最小值即可得出答案.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，又，∴，∴.（2）如圖，過點作，垂足為，

則，，，（方法1）以為原點，以，所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，∴，，∴，∴當(dāng)時，取得最小值11.（方法2）設(shè)線段的中點為，則當(dāng)于點時，，所以的最小值為.練習(xí)12．（多選）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（

）

A．B．實數(shù)的值為C．D．若M，N是線段BC上的動點，且，則的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算，結(jié)合已知條件，即可判斷A、B；根據(jù)圖形，表示出，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可得出C項；建立平面直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出，配方根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【詳解】對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，，所以，，所以，所以，，故B項正確；對于C項，，所以，，故C正確；對于D項，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意可知，，，，則，不妨設(shè)，，則，所以，，，所以，，所以，當(dāng)時，有最小值為，故D正確.故選：BCD.練習(xí)13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，為軸上兩個動點，且，則的最小值為________.【答案】【分析】設(shè)，的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】設(shè)，1.若，則，可得，當(dāng)時，取到最小值；2.若，則，可得，當(dāng)時，取到最小值；綜上所述：取到最小值.故答案為：.練習(xí)14．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點在線段上運動，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】求出線段滿足的方程，設(shè)出點的坐標(biāo)，從而可表示出，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其范圍.【詳解】由題意可知線段滿足的方程為，設(shè)，則，因為，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值4，所以的取值范圍為，故答案為：練習(xí)15．在平面四邊形中（如圖所示），，若點為邊上的動點，則的最小值為_____________；

【答案】/【分析】以點A為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系求解作答.【詳解】因，則以點A為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過點C作于G，作于F，因為，所以，即，于是有，，則，而，則有，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時，，所以的最小值為.故答案為：.題型二 “四心”問題1.內(nèi)心例7．已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合平面向量線性運算以及正弦定理等知識求得正確答案.【詳解】延長，分別交于.內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，則.故選：C例8．在△中，，，，O為△的內(nèi)心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的減法法則化簡題中的等量關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】由得，則，因為O為△的內(nèi)心，所以，從而，解得，，所以.故選：C.練習(xí)16．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B練習(xí)17．已知為所在平面上的一點，且.若，則是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心【答案】B【分析】利用平面向量基本定理及向量數(shù)量積的運算可求得，由此可得點I在的平分線上，同理可得，點I在的平分線上，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以在角A的平分線上，故點I在的平分線上，同理可得，點I在的平分線上，故點I在的內(nèi)心，故選：B.練習(xí)18．在△ABC中，，O為△ABC的內(nèi)心，若，則x＋y的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)三點共線可得，結(jié)合圖像分析運算．【詳解】如圖：圓O在邊上的切點分別為，連接，延長交于點設(shè)，則，則設(shè)∵三點共線，則，即即故選：D．練習(xí)19．在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為______．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)共線向量的幾何意義和二倍角公式解答．【詳解】延長AO交BC于D，設(shè)BC與圓O相切于點E，AC與圓O相切于點F，則OE＝OF，則，設(shè)，因為B、C、D三點共線，所以，即，因為，，所以，所以．故答案是：練習(xí)20．已知點P為的內(nèi)心，，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理可求,進而根據(jù)切線長定理可求，進而根據(jù)數(shù)量積的運算以及幾何意義即可求解.【詳解】在，由余弦定理得,設(shè)分別是邊上的切點，設(shè)，則，所以，由得，，即，①同理由,②聯(lián)立①②以及即可解得：，故答案為：2.外心例9．如圖，O為的外心，，，為鈍角，是邊的中點，則_________.

【答案】10【分析】運用向量加法法則可得，再結(jié)合三角形外心性質(zhì)、平面向量數(shù)量積定義及運算求解即可.【詳解】取的中點，連接，取的中點，連接，如圖所示，

因為為的外心，則，所以，因為為的外心，則，所以，又是邊的中點，根據(jù)平行四邊形法則有：，所以.故答案為：10.例10．在中，為的外心，則__________.若，則的值為__________.【答案】/【分析】由余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，結(jié)合，再由外心是三邊中垂線的交點，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，列出方程組，求得，即可求解.【詳解】在中，因為，由余弦定理得，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，可得，所以，如圖所示，因為外心是三邊中垂線的交點，則有，即，又因為，可得，所以，解得，所以.故答案為：，.

練習(xí)21．已知O為的外心，，則（

）A．的最小值為，此時為直角三角形B．的最大值為，此時為直角三角形C．的最小值為，此時為等邊三角形D．的最大值為，此時為等邊三角形【答案】D【分析】將題設(shè)中向量式轉(zhuǎn)化為，故可根據(jù)三點共線及的幾何意義可得其取值范圍，故可得正確的選項.【詳解】若，則，此時為鈍角三角形.當(dāng)時，如圖，設(shè)直線交直線于點D，不失一般性，記，則，故可得，若，則，而，故，若，此時，而，當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形時取最小值（此值為等邊三角形的高），故此時，綜上，的取值范圍是．當(dāng)為等邊三角形時，以取得最大值為，故選：D.練習(xí)22．設(shè)點O是的外心（外接圓圓心），，求的值．【答案】【分析】可畫出圖形，并將O和AC中點D相連，O和AB的中點E相連，從而得到，根據(jù)數(shù)量積的計算公式及條件可得出，而，即可得出的值．【詳解】如圖，取AC中點D，AB中點E，并連接OD，OE，則，，.練習(xí)23．在中，，O為三角形的外心，則為______．【答案】8【分析】作出圖形，利用余弦定理求出角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用正弦定理得到外接圓的半徑，再次利用余弦定理求出與的夾角即可求解.【詳解】如圖，連接，在中，由余弦定理可得，，則，在中，由正弦定理可得，，則，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，故答案為：.練習(xí)24．在中，，，O為的外心，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，且，則_______.【答案】【分析】先求出.設(shè)則.由，利用二倍角公式求出，根據(jù)數(shù)量積的定義直接求解.【詳解】如圖示，作出的外接圓O，設(shè)半徑為R.由正弦定理得：,即，解得：，所以.設(shè)則.所以.因為O為的外心，所以,所以.同理：,.因為，所以，所以.由二倍角的余弦公式可得：.所以.故答案為：.【點睛】向量的基本運算處理的常用方法：(1)向量幾何化：畫出合適的圖形，利用向量的運算法則處理；(2)向量坐標(biāo)化：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算處理．練習(xí)25．在中，，，，為的外心，若，，，則______.【答案】【分析】利用三角形外心的性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義計算即可.【詳解】如圖所示，取AB中點E，則由三角形的外心的性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得：，同理可知：，故，，而，，，則，即，，則，，則，所以.故答案為：3.垂心例11．在中，若，則點H是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【分析】根據(jù)向量的運算結(jié)合向量垂直分析判斷.【詳解】因為，則，所以，即點H在邊的高線所在直線上，同理可得：，所以點H為的三條高線的交點，即點H是的垂心.故選：A.例12．已知H是的垂心，，則的最大內(nèi)角的正弦值是_________．【答案】【分析】利用五心的向量表達式可求，結(jié)合三角形中的恒等式可求最大內(nèi)角的正弦值.我們也可以利用求出內(nèi)角的余弦值，從而可求最大角的正弦值.【詳解】法1：根據(jù)三角形五心的向量表達，有，設(shè)分別為，根據(jù)三角恒等式，可得，因此的最大內(nèi)角的正切值為，因此最大內(nèi)角的正弦值為．法2：因為H是的垂心，故，設(shè)，則，故，同理，，，而，故，同理，，，因為，故最大，故.故答案為：練習(xí)26．是所在平面上一點，若，則是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)推導(dǎo)出，進一步可得出，，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，則，所以，，同理可得，，故是的垂心.故選：D.練習(xí)27．已知在中，，點為的垂心，則=________．【答案】18【分析】延長交于點，根據(jù)及垂心的性質(zhì)得到為的中點，，再根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)即可得答案【詳解】延長交于點，因為，點為的垂心，所以為的中點，，所以，故答案為：18練習(xí)28．奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設(shè)，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設(shè)，其中．，，解得．當(dāng)時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的線性運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件得，設(shè)，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結(jié)果，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.練習(xí)29．設(shè)H是的垂心，且，則_____．【答案】【分析】由三角形垂心性質(zhì)及已知條件可求得，，由向量的夾角公式即可求解．【詳解】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.故答案為：．練習(xí)30．已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．4.重心例13．在中，為上的中線，G為的重心，分別為線段上的動點，且三點共線，若，，則的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算表示出，利用三點共線可得，繼而將化為，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意在中，為上的中線，G為的重心，且，，，

故,由于三點共線，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，結(jié)合，即時等號成立，故的最小值為3，故選：B例14．已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【答案】B【分析】利用三角形重心的性質(zhì)及平面向量的線性運算，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】如圖所示是的重心，,,,,，即，點為的中點，即點為邊中線的兩個三等分點，，，故選：B.練習(xí)31．已知點G為三角形ABC的重