32644869解密24不等式選講(講義)-2022年高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講義分層訓(xùn)練

解密24不等式選講考點(diǎn)熱度★★★☆☆內(nèi)容索引核心考點(diǎn)1含絕對(duì)值不等式的解集及其應(yīng)用核心考點(diǎn)2不等式的證明高考考點(diǎn)三年高考探源預(yù)測(cè)含絕對(duì)值不等式的解集及其應(yīng)用2021年全國(guó)甲卷文理232021年全國(guó)甲卷文理232020新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ232020新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ232019新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ232019新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ23從近三年高考情況來(lái)看，主要考查絕對(duì)值不等式的求解、恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題以及不等式的證明，多以解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等．不等式的證明2019新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ232020新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ23核心考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解集及其應(yīng)用考法含絕對(duì)值不等式的解集及其應(yīng)用1、（四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2022屆高三第一次統(tǒng)一檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，M為不等式的解集．(1)求M；(2)若a，，且，證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析﹒【解析】(1)分類討論去絕對(duì)值符號(hào)求解不等式即可；(2)由得，則(a，b)表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓內(nèi)部的點(diǎn)，故可設(shè)(a，b)為(，)，，，代入即可求出其范圍.(1)由已知得當(dāng)時(shí)，由得(舍去)；當(dāng)時(shí)，由得，∴；當(dāng)時(shí)，由得，∴．綜上可得的解集．(2)由，即，令，，，，∴，由，∴，∴．由，∴，，∴．2、（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟20212022學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)，．(1)若，解不等式；(2)設(shè)，均為正數(shù)，，的最大值為，求的最小值．【答案】(1)(2)5【解析】（1）零點(diǎn)分段法求解絕對(duì)值不等式；（2）由柯西不等式求出，再由絕對(duì)值三角不等式求出的最小值.(1)時(shí)，不等式為．當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，此時(shí)無(wú)解．綜上所述，不等式的解集為．(2)由柯西不等式得，∴，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即號(hào)時(shí)等號(hào)成立．則的最大值為．由已知得：，故．∴．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值為5．3、（2022·黑龍江·哈九中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù).(1)畫(huà)出的圖象；(2)求不等式的解集.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為分段函數(shù)形式，再作出分段函數(shù)的圖像；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為求解或，再結(jié)合函數(shù)圖像求解不等式即可.(1)由題意，，作出函數(shù)圖像如圖所示，(2)，即或，由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即或，所以的解集為.4、（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知.(1)解不等式；(2)若，關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）用分類討論思想去絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)不等式求解；（2）利用絕對(duì)值值三角不等式求得的最大值，然后解相應(yīng)不等式可得．(1)依題意，所以或或解得，所以不等式的解集為.(2)因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因?yàn)閷?duì)關(guān)于的不等式成立，所以，解得或.所以滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是.☆技巧點(diǎn)撥☆含絕對(duì)值不等式的解法1．公式法：對(duì)于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a??a<x<a(a>0)和|x|>a?x>a或x<?a(a>0)直接求解不等式；2．平方法：對(duì)于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式兩邊平方的技巧,去掉絕對(duì)值,需保證不等式兩邊同正或同負(fù)，即|f(x)|≥|g(x)|?f(x)2≥g2(x)；3．零點(diǎn)分段法：對(duì)于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解；4．幾何法：對(duì)于形如|x±a|±|x±b|≤c,|x±a|±|x±b|≥c，利用絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)求解，即（1）定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí),等號(hào)成立.（2）定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|a?c|≤|a?b|+|b?c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a?b)(b?c)≥0時(shí),等號(hào)成立.（3）推論1:||a|?|b||≤|a+b|.（4）推論2:||a|?|b||≤|a?b|.5．圖象法：對(duì)于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可構(gòu)造y=|f(x)|+|g(x)|?a或y=|f(x)|+|g(x)|與y=a，在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象求解或通過(guò)移項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)函數(shù).核心考點(diǎn)二不等式的證明考法不等式的證明1、（2022·河南南陽(yáng)·高三期末（理））已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)若，記函數(shù)，且的最大值為M，若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值即可求出不等式的解集；（2）將代入函數(shù)中，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求出，再結(jié)合不等式的性即可求解.(1)當(dāng)時(shí)，，由不等式，可得或，解得，所以不等式的解集為.(2)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得的最大值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即證.2、（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）首先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再分類討論，即可求出不等式的解集；（2）由（1）可得的函數(shù)圖象，即可得到，再將展開(kāi)，利用基本不等式得到，即可得證；(1)解：由題意，

當(dāng)時(shí)，，即，得；

當(dāng)時(shí)，，即，得；

當(dāng)時(shí)，，即，得．

綜上，不等式的解集為．(2)解：由（1）得函數(shù)的圖象如下所示：所以在時(shí)取得最大值為1，所以．因?yàn)?，且，所以?/p>

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，故，又，所以．3、（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)設(shè)，且，求證：.【答案】(1){或}；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)分類討論去絕對(duì)值即可求解；(2)根據(jù)絕對(duì)值得幾何意義確定f(x)的最小值，用基本不等式求的最大值，證明左邊的最大值小于右邊的最小值即可.(1)由題意得，，當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，∴；當(dāng)時(shí)，不等式化為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，∴，則不等式的解集為或.(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，即.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴，即.4、（2022·云南昭通·高三期末（理））已知函數(shù)，且的解集為.(1)求m的值；(2)若是正實(shí)數(shù)，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由得，求出可得答案；（2）由柯西不等式可得答案.(1)依題意，，即，.(2)由（1）知，由柯西不等式得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).5、（2022·貴州貴陽(yáng)·高三期末（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若均為正實(shí)數(shù)，且的最小值為5，求證：.【答案】(1)3(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)x的范圍分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得f(x)的最小值；（2）根據(jù)的最小值為5，可得到a+b=5,將變?yōu)?展開(kāi)后利用基本不等式即可證明.(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上，的最小值為3(2)證明：均為正實(shí)數(shù)，且的最小值為5，即，（當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，取“=”）☆技巧點(diǎn)撥☆不等式證明的常用方法（1）作差比較.作差比較的步驟：①作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差.②變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和.③判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào).注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通