解密24不等式選講（分層訓(xùn)練）

解密24不等式選講A組基礎(chǔ)練A組基礎(chǔ)練1、（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（理））已知函數(shù)的最小值為m.(1)求m的值；(2)若正數(shù)a，b，c滿足，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）分類討論去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，可得m的值；（2）利用基本不等式進(jìn)行求解.(1)依題意則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.(2)依題意，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.2、（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知，函數(shù)的最小值為3，．(1)求的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由絕對(duì)值三角不等式定理列不等式求解；（2）作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知的解集.(1)由題意，，得或，又，故的值為．(2)畫出，的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)與相交于點(diǎn)，所以的解集為．3、（2021·河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若函數(shù)，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】（1）作出函數(shù)的圖象，進(jìn)而通過(guò)數(shù)形結(jié)合求得答案；（2）分別求出函數(shù)和的值域，進(jìn)而根據(jù)題意得到兩個(gè)函數(shù)值域間的包含關(guān)系求得答案.(1)如圖所示：聯(lián)立,聯(lián)立，易得，則不等式的解集為.(2)由（1），函數(shù)的值域?yàn)?，又，即函?shù)的值域?yàn)?對(duì)于任意的，都存在，使得成立，所以.4、（2021·四川自貢·一模（理））己知函數(shù)．(1)當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集；(2)若最小值為3，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）結(jié)合零點(diǎn)分段法來(lái)求得不等式的解集；（2）根據(jù)的最小值求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值．(1)當(dāng)時(shí)，，對(duì)于不等式，有：或或，解得或或，所以不等式的解集為.(2)依題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.5、（2022·河南南樂(lè)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，．(1)如果的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若在上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）求出函數(shù)的最大值，當(dāng)大于其最大值滿足題意；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.(1)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值4，若的解集為R，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，，所以在上有解，即為在上有解，∴在上有解，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，∴，故實(shí)數(shù)t的取值范圍．6、（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)一模（理））已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)關(guān)于的不等式的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）利用分類討論法可求不等式的解集；（2）利用絕對(duì)值三角不等式可求的最小值，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)即為，故或或，故或或，故的解集為，(2)即為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為1，而有解，故.7、（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知.(1)當(dāng)時(shí)，求與所圍成封閉圖形的面積；(2)若對(duì)于任意的，都存在，使成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）先用分段函數(shù)表示出來(lái)，再畫出函數(shù)圖形，結(jié)合其圖形可求出面積；（2）轉(zhuǎn)化為，最后利用基本不等式可求解.(1)由條件作出函數(shù)的圖象和直線，記交點(diǎn)為，.易求，，.如圖，所圍圖形為梯形ABCD，梯形的高為3，另一底長(zhǎng)為3，∴封閉圖形的面積為.(2)對(duì)，，，等價(jià)于，，，等價(jià)于.∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，解得或，∴的取值范圍為.8、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，試比較與的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，和三種情況解不等式即可；（2）先利用作差法判斷與1的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案【詳解】（1）由題當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)?。划?dāng)時(shí)，，得，此時(shí)取.綜上，不等式的解集為.（2）.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，即有，則，所以，由（1）已知函數(shù)為的增函數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含絕對(duì)值的不等式、基本不等式、不等式證明方法等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力；考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是比較與1的大小，屬于中檔題B組提升練B組提升練1、（安徽省六校教育研究會(huì)2022屆高三下學(xué)期2月第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知.(1)解不等式(2)已知最小值為m，若a，b，c∈R+，且求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）將函數(shù)改寫成分段函數(shù)，再分類討論分別解不等式，即可求出不等式的解集；（2）由（1）畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可知的最小值，即可得到，再利用柯西不等式計(jì)算可得；(1)解：因?yàn)榱?，即或或解得或或，所以不等式解集為：?2)解：由，函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可得函數(shù)的最小值，，由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).2、（四川省德陽(yáng)市20212022學(xué)年高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).(1)解不等式.(2)記函數(shù)的最小值為，若正實(shí)數(shù)??滿足，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）利用“零點(diǎn)分段法”，解不等式即可；（2）由題可得，可得，再利用柯西不等式可得結(jié)果.(1)∵，∴或或，解得：，故不等式的解集是；(2)由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)，∴，即，所以由柯西不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.3、（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)若，求不等式f(x)≥7的解集；(2)若，求m的取值范圍．【答案】(1)或.(2).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，分，，討論，分別求解即可；（2）原不等式等價(jià)于，即有，求解即可.(1)解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，解行；當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上可知，所求解集為或．(2)解：根據(jù)題意，，∴，∵，∴

∴，綜上，，使得時(shí)，m的取值范圍為．4、（2021·黑龍江·哈九中高三期末（理））已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，再利用零點(diǎn)分段法分類討論，即可求出不等式的解集；（2）利用絕對(duì)值的三角不等式得到，從而得到，再解絕對(duì)值不等式即可；(1)解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，不成立當(dāng)時(shí)，即綜上，解集為(2)解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”則，即或，解得或，故的取值范圍是5、（2022·陜西武功·二模（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，結(jié)合任意性的定義、解絕對(duì)值的方法進(jìn)行求解即可.(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，不等式的解集為.(2)，∴，解得或.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.6、（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)（其中，）．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若對(duì)，不等式恒成立，試求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）采用零點(diǎn)分段法來(lái)求得不等式的解集.（2）求得的最小值，由此得到，結(jié)合基本不等式求得的最小值．(1)當(dāng)時(shí)，，，等價(jià)于不等式組或或，解得或或，所以原不等式的解集為．(2)由，可得，所以，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故．要滿足題的條件，則有，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．7、（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)求直線與函數(shù)的圖象圍成的封閉圖形的面積．【答案】(1)；(2).【解析】(1)分類討論去絕對(duì)值求解即可；(2)作出f(x)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.(1)不等式等價(jià)于或或解得或，即不等式的解集為．(2)由的圖象可知直線與的圖象圍成的封閉圖形是四邊形，且，，，，則的面積．延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，從而的面積．故四邊形的面積為．8、（2022·河南焦作·一模（理））設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若關(guān)于的不等式無(wú)解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）分，和三種情況求解即可，（2）由題意可得，然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，從而可得的取值范圍(1)當(dāng)時(shí)，即為，①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，舍去；③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得．綜上，的解集為．(2)不等式無(wú)解，即無(wú)解，所以，因?yàn)?，所以，即的取值范圍是?、（2022·安徽馬鞍山·一模（理））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）將含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)化為分段函數(shù)形式，然后分段解不等式即可；（2）分別求出兩函數(shù)的最值，根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可解得答案.(1)當(dāng)時(shí)，，所以或或解得，所以不等式的解集為(2)由二次函數(shù)，

知函數(shù)在處取得最小值1，因?yàn)椋?/p>

時(shí)，；時(shí)，，

在時(shí)取得最大值，

所以要使二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，只需，即

所以m的取值范圍為．10、（2022·陜西寶雞·一模（文））關(guān)于的不等式的解集為，其中．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若正數(shù)，滿足，求的最小值．【答案】(1)，；(2)4.【解析】(1)把不等式化成一元二次不等式，再借助一元二次方程列式計(jì)算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合“1”的妙用計(jì)算作答.(1)依題意，不等式化為：，而，則是方程的二根，且，因此，且，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，不符合題意，所以，.(2)由(1)知，，，而，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，由解得：，所以當(dāng)時(shí)，取最小值4.11、（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（文））已知，，.(1)求的范圍；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）利用基本不等式可求得的取值范圍；（2）由已知可得出，令，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，通分、因式分解后判斷符號(hào)，即可證得結(jié)論成立.(1)解：因?yàn)椋?，則，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.