專題8-3圓錐曲線小題綜合（講練）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題83圓錐曲線小題綜合目錄TOC\o"11"\h\u講高考 1題型全歸納 6【題型一】圓錐曲線定義型 6【題型二】焦點弦與焦半徑型 8【題型三】定比分點 11【題型四】離心率綜合 13【題型五】雙曲線漸近線型 15【題型六】拋物線中的設(shè)點計算型 18【題型七】切線型 20【題型八】切點弦型 22【題型九】曲線軌跡型 25專題訓(xùn)練 28講高考1．（2017·全國·高考真題）已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，即，因為雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，所以雙曲線中，半焦距，又因為雙曲線滿足，即，又由，即，解得，可得，所以雙曲線的方程為.故選：A．2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B6．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)頂點在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因為，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B7．（2019·北京·高考真題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【分析】將所給方程進行等價變形確定x的范圍可得整點坐標(biāo)和個數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點到坐標(biāo)原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.【詳解】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,1),(1,0),(1,1),(1,0),(1,1)六個整點,結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯誤.故選C.【點睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用,屬于難題,注重基礎(chǔ)知識?基本運算能力及分析問題解決問題的能力考查,滲透“美育思想”.8．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A． B．3 C． D．4【答案】B【詳解】分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標(biāo)，從而得到，根據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線的傾斜角為或，根據(jù)相關(guān)圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為，利用點斜式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，求得，利用兩點間距離公式求得的值.詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個點之間的距離，再分析點是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線的斜率，結(jié)合過右焦點的條件，利用點斜式方程寫出直線的方程，之后聯(lián)立求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，之后應(yīng)用兩點間距離公式求得結(jié)果.題型全歸納【題型一】圓錐曲線定義型【講題型】例題1.，拋物線的焦點為，若對于拋物線上的任意點，的最小值為41，則的值等于______.【答案】42或22【詳解】由題意，（1）當(dāng)點在拋物線的內(nèi)部或曲線上時，則滿足，解得，過點點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以,當(dāng)三點共線時，此時的距離最小，且最小值為，可得，解得；（2）當(dāng)點在拋物線的外部時，則滿足，解得，如圖所示，當(dāng)三點共線時，的距離最小，且最小值為，即，解得或（舍去），綜上所述，實數(shù)的值等于42或22.故答案為：42或22.例題2.已知雙曲線:的左焦點為點,右焦點為點,點為雙曲線上一動點,則直線與的斜率的積的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為∵∴或，故或，故填.【講技巧】基本定義(1)橢圓定義：動點P滿足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c為常數(shù))(2)雙曲線定義：動點P滿足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0).(3)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.拓展定義.A,B是橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點，M為A,B中點，則（可用點差法快速證明）2.A,B是雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點，M為A,B中點，則（可用點差法快速證明）【練題型】1.已知拋物線的焦點為，直線與交于，兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為____．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于點，于點，由拋物線的定義可設(shè)：，由勾股定理可知：，由梯形中位線的性質(zhì)可得：，則：.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即的最小值為.2.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為，，設(shè)四邊形的周長為，面積為，且滿足，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【詳解】快捷解法原題解法麻煩如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)，由圓與雙曲線的對稱性可知，點與點關(guān)于原點對稱，所以，因為圓是以為直徑，所以圓的半徑為，因為點在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡可得，整理得，，，所以，因為，所以，，因為，所以，因為，聯(lián)立可得，，因為為圓的直徑，所以,即，，，，，，所以離心率．【題型二】焦點弦與焦半徑型【講題型】例題1.如圖，過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦、，若與面積之和的最小值為16，則拋物線的方程為______.【答案】【分析】根據(jù)焦半徑公式表示出面積表達(dá)式，根據(jù)直線和x軸夾角的范圍得到面積的范圍.【詳解】設(shè)直線AC和x軸的夾角為由焦半徑公式得到面積之和為：通分化簡得到原式子化簡為根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)t=1時有最小值，此時拋物線方程為：。故答案為.題2.已知橢圓的上頂點為A，離心率為e，若在C上存在點P，使得，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，利用得到在區(qū)間上有解，結(jié)合端點值的符號得到，求出的最小值.【詳解】易知，設(shè)，則，所以，即，即方程在區(qū)間上有解，令，因為，，所以只需即解得：.故選：C.【講技巧】1.已知F是拋物線的焦點，點P在拋物線上，則2.若焦點弦的傾斜角為，則（橫放）若的傾斜角為，則（豎放）【練題型】1.設(shè)拋物線的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，則弦長______．【答案】【詳解】拋物線焦點坐標(biāo)為，設(shè)點設(shè)直線l方程為，由拋物線的定義有，由，得，即.所以有，又由得：，所以，由(1),(2)聯(lián)立解得：.又故答案為：2.設(shè)分別為橢圓的左?右焦點，若在直線（c為半焦距）上存在點P，使的長度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，得到，求得，進而求得橢圓離心率的范圍.【詳解】如圖所示，橢圓，可得焦距，因為在直線上存在點P，使的長度恰好為橢圓的焦距，可得，即，可得，即，解得【題型三】定比分點【講題型】例題1.已知橢圓的左右焦點分別為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，且，則橢圓的離心率=（）A. B. C. D.【答案】D快解：【詳解】橢圓的左右焦點分別為，過且斜率為的直線為聯(lián)立直線與橢圓方程消后，化簡可得因為直線交橢圓于A，B，設(shè)由韋達(dá)定理可得且，可得，代入韋達(dá)定理表達(dá)式可得即化簡可得所以故選：D．例題2.拋物線y2=4x，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，與拋物線交于A、B兩點，若BA=4BF，則△【答案】433【詳解】由題意可知：AF=3解得：cosα=12,α=則y1-y2=【講技巧】1.過圓錐曲線的焦點F的弦AB與對稱軸（橢圓是長軸，雙曲線是實軸）的夾角為2.已知AB為拋物線的焦點弦，【練題型】1.已知橢圓：的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且，則當(dāng)時，橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】因為，所以可設(shè)，由，得，即，因為在橢圓上，所以，即，即，即，即在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即橢圓的離心率的取值范圍為.2.已知橢圓：的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點．若，則＝________．【答案】【解析】試題分析：由已知e＝，所以，所以，，則橢圓方程＝1變?yōu)椋O(shè)A，又＝3，所以，所以，所以，①，②．①－9×②，得，所以，所以，所以，，從而，，所以A，B，故．【題型四】離心率綜合【講題型】例題1.已知橢圓與雙曲線有公共的左、右焦點,它們在第一象限交于點,其離心率分別為,以為直徑的圓恰好過點,則________.【答案】.【詳解】由橢圓定義得，①在第一象限，由雙曲線定義得，②由①②得，因為為直徑的圓恰好過點,所以，，，，，即，故答案為2.例題2.已知為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上的一點，連接并過作垂直于的直線交雙曲線左支于，其中，為等腰三角形．則雙曲線的離心率為_．【答案】【解析】連接并延長交右支于點，設(shè)，則，因為雙曲線是中心對稱，且，所以四邊形是平行四邊形．因是等腰三角形，，所以，故，且，根據(jù)雙曲線的定義，有，所以，解得，所以，所以，．【講技巧】解題時要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式．求離心率的常用方法有：（1）根據(jù)條件求得，利用或求解；（2）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程或不等式，利用將其化為關(guān)于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍．【練題型】1.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，Ρ是它們的一個公共點，且∠F1ΡF2=πA．3 B．433 C．2 D【答案】D【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義PF1+設(shè)F1F2=2c∴化簡a12+3a22=4c2，該式變成1e2.已知是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將與橢圓的左、右焦點連接起來，由橢圓的對稱性得到一個平行四邊形，利用橢圓的定義和余弦定理，結(jié)合重要不等式可得離心率的范圍.【詳解】如圖設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，設(shè)直線與橢圓相交于，連接.根據(jù)橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義有：由余弦定理有：即所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又的斜率存在，故不可能在軸上.所以等號不能成立,即即，所以故選：A【題型五】雙曲線漸近線型【講題型】例題1.已知雙曲線的中心為，左、右頂點分別為，左、右焦點為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點．若，，則的離心率等于_________．【答案】解法一：已知，得漸近線的斜率為，得又，，所以即，解得，故解法二：已知，得又漸近線的斜率為，可得．在中，由余弦定理，得，即，而到漸近線的距離是，所以．結(jié)合條件，得漸近線滿足，所以，解得，故例題2.已知雙曲線的左焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，垂線與雙曲線的另一條漸近線相交于點，為坐標(biāo)原點.若為等腰三角形，則雙曲線的離心率為__________．【答案】2或【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為①當(dāng)時，如下圖所示：為鈍角，為等腰三角形，即，解得：②當(dāng)時，如下圖所示：為鈍角，為等腰三角形又，，即，解得：綜上所述：雙曲線的離心率為或故答案為：或【講技巧】漸近線（1）焦點到漸近線的距離為b（2）定點到漸近線的距離為（3）一直線交雙曲線的漸近線于A.B兩點。A,B的中點為M，則.（4）過雙曲線上任意一點P做切線，分別角兩漸近線于M,N兩點，O為坐標(biāo)原點則有如下結(jié)論：①OM·ON=a2+b2；②；③【練題型】1.已知雙曲線的右頂點為,且以為圓心，雙曲線虛軸長為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________．【答案】【詳解】如圖所示：過點作于，則一條漸近線方程為：，點到直線的距離為即故答案為：2.已知是雙曲線：（，）的左焦點，過點的直線與雙曲線的左支和兩條漸近線依次交于，，三點．若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】可設(shè)出直線，與兩漸近線方程聯(lián)立，解出，利用兩者的關(guān)系式求出直線的斜率.進而表示出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，得到的關(guān)系式，從而求得離心率.【詳解】，故有故設(shè)過點的直線方程為：聯(lián)立，解之得同理聯(lián)立解之得由有，故解之得直線為：則，又故又在雙曲線上可得：得。故。故答案為：．【題型六】拋物線中的設(shè)點計算型【講題型】例題1.設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且PM＝2MF，則直線OM的斜率的最大值為________.【答案】【詳解】如圖，由題可知F，設(shè)P點坐標(biāo)為(y0＞0)，則kOM＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝2p2等號成立.例題2.已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，(其中O為坐標(biāo)原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是________.【答案】3【詳解】如圖，可設(shè)A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，則＝(m2，m)，＝(n2，n)，＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴l(xiāng)AB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0).S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，則S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)，即m=時等號成立.故△ABO與△AFO面積之和的最小值為3.【講技巧】是拋物線的焦點弦，設(shè)，在準(zhǔn)線上的射影分別為，則：（1）；（2）；（3）若傾斜角為，則；（4）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）；（6）若是中點，則，；（7）共線，共線；（8）．【練題型】1.已知直線與拋物線交于兩點，點，，且，則__________．【答案】3.【詳解】設(shè)，，則，，，則有，代入方程，故有，同理，有，即可視為方程的兩根，則.故答案為3.2.已知拋物線，過其焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，，則_____.【答案】16【解析】試題分析：焦點，設(shè)方程設(shè)，，因為,即，整理得：①與聯(lián)立可得，可得，，，代入①可得，，所以，所以，解得，所以，所以,故填：16.【題型七】切線型【講題型】例題1.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，使得過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若長軸端點，由橢圓性質(zhì)：過的兩條切線互相垂直可得，結(jié)合求橢圓離心率的范圍.【詳解】在橢圓的長軸端點處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點，使過的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C例題2.．兩個長軸在軸上、中心在坐標(biāo)原點且離心率相同的橢圓．若，分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內(nèi)層橢圓作切線，，切點分別為，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立，根據(jù)直線為橢圓的切線，由△，得到，同理得到，然后由兩切線斜率之積等于求解.【詳解】解：設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立，消去可得：，因為直線為橢圓的切線，所以△，化簡可得：，設(shè)直線的方程為：，同理可得，因為兩切線斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為．故選：B．【講技巧】1.橢圓：若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.2.雙曲線：若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.3.點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：；【練題型】1.已知點是拋物線的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰在以、為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)切線方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由可求得的值，設(shè)點，利用韋達(dá)定理求出的值，利用雙曲線的定義求出的值，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】拋物線的焦點為，易知點，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，即，則，解得，設(shè)點，由韋達(dá)定理可得，以、為焦點的雙曲線的實軸長為，則，則，因此，該雙曲線的離心率為，故選：B.2.已知拋物線的準(zhǔn)線上有一點，過點作的切線，，切點分別為，，點為的焦點，則對于以下命題：①，，三點共線；②；③；④，其中正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)過的直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合題設(shè)得，若兩切線斜率分別為、，②由根與系數(shù)關(guān)系及兩線垂直的判定即知正誤；④由根與系數(shù)關(guān)系可得，結(jié)合②的結(jié)論即可判斷正誤；①設(shè)，聯(lián)立拋物線求參數(shù)k、t間的關(guān)系即可判斷；③應(yīng)用兩點式及A、B在拋物線上可得，討論m判斷位置關(guān)系.【詳解】設(shè)過的直線與相切，將代入，得，令，即，設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，則，，故兩切線垂直，故②正確；由上知：可得，，故，故④正確；設(shè)直線，代入，得，則，故，即直線過，則，，三點共線，故①正確；因為，當(dāng)時，故；當(dāng)時，顯然，故③正確.因此正確命題的個數(shù)為4.故選：D.【題型八】切點弦型【講題型】例題1.已知橢圓E:的左焦點為F，過點P(2，t)作橢圓E的切線PA、PB，切點分別是A、B，則三角形ABF面積最大值為（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】設(shè),，并求出切線PA、PB的方程，進而求出直線方程，并確定其過定點，且定點為橢圓的右焦點，再聯(lián)立方程求得，，再表示出，利用基本不等式求出范圍即可.【詳解】由橢圓方程，知，，設(shè)右焦點為，即設(shè),，由橢圓的切線方程可知切線PA的方程為，切線PB的方程為由于點P在切線PA、PB上，則，故直線方程為，所以直線過定點，且定點為橢圓的右焦點，聯(lián)立方程，消去x得：由韋達(dá)定理得，，令，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故三角形ABF面積最大值為故選：A例題2.已知點在拋物線上，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點，，若直線的斜率為，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，設(shè)，，，求得，，進而得到，從而求得，利用，求點坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解.【詳解】由題意可知過所作圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，所以，設(shè)，，，則，同理可得，，則，得，得，所以，故，將代入拋物線方程，得，得，故拋物線方程為．故選：A【講技巧】【講技巧】1.橢圓：若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.2.雙曲線：若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.3.點是拋物線外一點，則拋物線過點P的切點弦方程是：；【練題型】1.已知橢圓，圓，過橢圓上任一與頂點不重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，直線與軸，軸分別交于點，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則可得切線的方程，即可得到直線的方程，進而可求出點點的坐標(biāo)，再結(jié)橢圓方程可求出的值解：設(shè)，則切線的方程為，切線的方程為，因為點在切線上，所以，，所以直線的方程為，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，故選：D2.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，點，在拋物線上，過點，作拋物線的切線，，其中，，不與坐標(biāo)軸垂直，直線，交于點，若直線過點，則當(dāng)?shù)拿娣e最小時，（）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】由已知條件求出，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩條切線的方程，由兩切線方程求出點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式求出的高，由弦長公式求出，計算的面積結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最小值即可求解.【詳解】因為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，因為直線過點，設(shè)直線的方程為，由可得，所以，，由可得，所以，所以在點處的切線方程為：即，所以，同理可得在點處的切線方程為：，由可得：，，所以點的坐標(biāo)為，所以點到直線：的距離，，所以的面積為，所以當(dāng)時，的面積最小，此時，故選：C【題型九】曲線軌跡型【講題型】例題1.方程(x+y1)=0所表示的曲線是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由題意得方程，得或，且，所以方程所表示的曲線為選項D，故選D．考點：曲線與方程．例題2.平面上到兩個定點的距離的積為定值的動點軌跡一般稱為卡西尼（cassin）卵形線，已知曲線為到定點的距離之積為常數(shù)4的點的軌跡，關(guān)于曲線的幾何性質(zhì)有下四個結(jié)論，其中錯誤的是（）A．曲線關(guān)于原點對稱 B．的面積的最大值為2C．其中的取值范圍為 D．其中的取值范圍為【答案】D【分析】依題意得,化簡得，將代入可得A正確，由可得C正確，令，得可得，可知D錯誤，將的最大值代入到面積公式可知B正確，從而可知選：D【詳解】依題意得，兩邊平方得，得，將代入得，所以曲線關(guān)于原點對稱，A正確；由得，由得，則，所以，所以，故C正確；令，則，所以，所以時，取得最大值，所以，所以，所以D是錯誤的；由以上可知的最大值為，又的面積為，所以的面積的最大值為，所以B是正確的.故選：D【講技巧】求軌跡方程：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標(biāo)、表示相關(guān)點的坐標(biāo)、，然后代入點的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.【練題型】1.動點在圓上移動，過點作軸的垂線段，為垂足，則線段中點的軌跡方程是.A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出M（x0，y0），P（x，y），D（x0，0），由中點坐標(biāo)公式把M的坐標(biāo)用P的坐標(biāo)表示，代入圓的方程得答案．解：設(shè)線段中點為P設(shè)M（x0，y0），D（x0，0），∵P是的中點，∴，又M在圓上，∴x02+y02＝25，即x2+4y2＝25，．∴線段的中點P的軌跡方程是：．故選B．2.已知，動點是圓內(nèi)（含邊界）一點．記直線的傾斜角分別為，且滿足，則點的軌跡長度為________．【答案】【分析】根據(jù)斜率的公式可得與,再代入化簡求解即可得點的軌跡方程,繼而根據(jù)動點是圓內(nèi)（含邊界）一點求出長度即可.【詳解】設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,∴,又因為,知,即,.因為動點是圓內(nèi)一點,故.即,化簡可得,即的軌跡為方程.又圓心在上,所以的軌跡長度為圓的直徑.故答案為：一、單選題1．設(shè)為拋物線的焦點，點在上，點，若，則的中點到軸的距離是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】解：由題意得，，則，所以，由拋物線的定義得點到準(zhǔn)線的距離為，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入拋物線方程得，，所以的中點坐標(biāo)為，到軸的距離是.故選：C2．設(shè)分別是雙曲線的左?右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的方程可得兩焦點的坐標(biāo)及漸近錢的方程，由題意求出的方程，與漸近線聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，進而求出的值，由點到直線的距離公式，求的值，由由求出a，c的關(guān)系，進而求出離心率．【詳解】由雙曲線的方程可得雙曲線漸近線方程：，右焦點，到漸近線的距離，由漸近線的對稱性，設(shè)漸近線為，①則直線方程為∶②，由①②可得，則，左焦點，所以，由，有，得，即，，則的離心率為故選∶C·3．已知過橢圓的上焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為坐標(biāo)原點，直線分別與直線相交于兩點.若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點坐標(biāo)，結(jié)合已知條件、點在直線上及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】由題意可知，所以所以橢圓的上焦點為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，所以.由題設(shè)知，所在的直線方程為.因為直線與直線相交于點，所以；同理可得.所以.因為為銳角，所以，所以，即，解得：或，所以，或，或.故直線的斜率的取值范圍是.故選:D.4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線的一條漸近線上的點，且線段的中點在另一條漸近線上．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由中位線可知，即可得出一條漸近線的斜率，據(jù)此得出離心率.【詳解】因為分別是的中點，所以，又，所以，即，所以，故.故選：A5．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，若的面積為，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義求得點橫坐標(biāo)，代入拋物線方程得縱坐標(biāo)，再利用三角形面積公式即可得的值.【詳解】拋物線的焦點為，點在拋物線上，由拋物線的定義可得，，則，，解得或（舍）.故選：B.6．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因為，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．7．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過拋物線焦點作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線的切線，相交于點，那么阿基米德三角形滿足以下特性：①點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且為直角；③，已知為拋物線的準(zhǔn)線上一點，則阿基米德三角形面積的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程求得，通過PF⊥AB求得，再過點作軸交于點，進而得到為中點，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可．【詳解】易知，焦點，準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消整理得，則，，又PF⊥AB，可得，即，化簡得，過點作軸交于點，如圖所示：則，所以為中點，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故三角形PAB的面積的最小值為．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：過點作軸交于點，且證明為中點，得到，從而得到阿基米德三角形面積關(guān)于，的表達(dá)式，再結(jié)合基本不等式求解．8．已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，結(jié)合橢圓的定義解得，再由求解.【詳解】因為，所以，由橢圓的定義得：，解得，因為，所以，兩邊同除以a得，解得，因為，所以，所以該離心率的取值范圍是故選：D.二、多選題9．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點在軸的橢圓【答案】BD【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯；對于B選項，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；對于D選項，若，則，則，曲線的方程可化為，此時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D對.故選：BD.10．已知是雙曲線的左、右焦點，是C上一點，若C的離心率為，連結(jié)交C于點B，則（

）A．C的方程為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABD【分析】根據(jù)點A的坐標(biāo)和離心率求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐項分析.【詳解】對A，將點A的坐標(biāo)代入雙曲線方程，并由得下列方程組：，解得，∴雙曲線，A正確；對B，，，，，∴，B正確；對C，，，，周長，C錯誤；對D，令，則，

，在中，，∴，設(shè)的周長為l，內(nèi)切圓半徑為r，則，由三角形面積公式知：，

，D正確；故選：ABD．11．拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過上的點作的切線m，m與y軸、l、x軸分別相交于點N、P、Q，過M作l垂線，垂足為，則（

）A． B．為中點C．四邊形是菱形 D．若，則【答案】BCD【分析】設(shè)與軸交點為，則未必是的中點，即可判斷A，利用韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo)可判斷B，根據(jù)菱形的判定定理可判斷C，利用三角形的全等關(guān)系可判斷D.【詳解】設(shè)，可知斜率存在，可設(shè)，將代入可得，由，即可得，因此，令解得，所以，又因為，，要使，則必需為中點，則必有，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，才成立，無法滿足任意性，A錯誤；中令，于是，因為，，所以為中點，選項B正確.因為，所以是的垂直平分線，而軸，所以四邊形是菱形，選項C正確；，由，可得，所以.因為，所以，選項D正確.故選：BCD.12．已知橢圓C：的左