第一次月考（范圍第六章~第八章簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積）

第一次月考（范圍:第六章平面向量及其應(yīng)用~第八章簡(jiǎn)單幾何體的表面積體積）（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，解得，再由復(fù)數(shù)模的定義得答案.【詳解】由，得，所以.故選：D.2．（2023春·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量，且，則（

）A．1 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式列出方程，求出答案.【詳解】，解得：.故選：D3．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)平面向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩向量平行得出坐標(biāo)中的，即可求出的值.【詳解】由題意，∵，，，∴，解得，∴∴故選：A.4．（2021春·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)校考階段練習(xí)）的三內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，則角的大?。?/p>

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】解：由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：B5．（2022·廣東珠海·高一期末）正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則棱臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求棱臺(tái)的斜高，然后利用側(cè)面積公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，正四棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底面邊長(zhǎng)分別為，腰長(zhǎng)為，所以斜高為.所以側(cè)面積為().故選：B.6．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理和平面向量基本定理，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程求解即可.【詳解】由題可知，∵點(diǎn)F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故選：C．7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）圓柱的高等于球的直徑，圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，設(shè)球的體積為V，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合球與圓柱的體積和表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)球的半徑為R，圓柱底面圓的半徑為r，對(duì)于球，表面積，對(duì)于圓柱，側(cè)面積，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積等于球的表面積，所以，得，則，又，所以.故選：A.8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知A，B，C，D在球O的表面上，為等邊三角形且邊長(zhǎng)為3，平面ABC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，計(jì)算，，根據(jù)勾股定理得到，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，是中點(diǎn)，連接，如圖所示：，，則，四邊形為矩形，，，故，.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2022秋·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的實(shí)部為 B．復(fù)數(shù)的虛部為 C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)數(shù)的模為1【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模的定義判斷各選項(xiàng)．【詳解】的實(shí)部是，虛部是，共軛復(fù)數(shù)是，，正確選項(xiàng)為AC．故選：AC．10．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，若a＝2bsinA，則B等于（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】直接利用正弦定理進(jìn)行邊換角即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)閍＝2bsinA，由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，所以sinA·(2sinB－)＝0，因?yàn)?<A<，0<B<，所以sinA≠0，所以2sinB－＝0，解得sinB＝，所以B＝或.故選：AC.11．（2021·江蘇高一期末）已知圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺(tái)的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點(diǎn)，則（）A．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為B．當(dāng)圓錐的圓錐的體積相等時(shí)，C．圓臺(tái)的體積為D．當(dāng)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為【答案】BCD【解析】轉(zhuǎn)化求解圓臺(tái)的母線長(zhǎng)判斷Q；利用比例關(guān)系判斷B；求解體積判斷C；取得球的表面積判斷D．【詳解】解：圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為2，4，圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正切值為3，為上一點(diǎn)，，母線，與圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為6矛盾，所以A錯(cuò)誤；，，B正確；，C正確；設(shè)球心到上底面的距離為，則，解得，，，D正確；故選：BCD．12．（2023·高一單元測(cè)試）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與夾角為C．與共線的單位向量只有一個(gè)為D．存在，使得【答案】BD【分析】根據(jù)向量垂直、向量投影、向量夾角、共線向量、單位向量以及模的運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，在上的投影向量為，所以，，由于，所以，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，與共線的單位向量可以是，即和，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，則，，，，其中，所以，由于，，則當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，D選項(xiàng)正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）與向量共線的單位向量是_________．【答案】或【分析】利用與共線的單位向量為或求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以與向量共線的單位向量為或，故答案為：或.14．（2022·上海普陀·二模）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則________.【答案】##【解析】【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題設(shè)，，故.故答案為：15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐同底等高，且圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，則圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用勾股定理及圓的面積公式，結(jié)合圓柱圓錐的側(cè)面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，所以圓柱的側(cè)面積為.由題意可知，圓錐的底面周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為.所以圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為.故答案為：.16．（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期中）如圖，小李開(kāi)車在一條水平的公路上向正西方向前進(jìn)，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛1200m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°，則此山的高度為_(kāi)_____m【答案】【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由題，作出空間圖形如下，則有,因?yàn)榈竭_(dá)B處仰角為45°，所以，在中，，由正弦定理可得解得m，所以m，故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且（i是虛數(shù)單位），求a，b的值．【答案】或.【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)相等的條件列方程組即可解得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，解得：?18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正三棱柱側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2和4的矩形，求它的表面積．【答案】或【分析】根據(jù)已知分兩種情況來(lái)找三棱柱的底面積和高，再代入表面積計(jì)算公式即可.【詳解】因?yàn)檎庵膫?cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形,所以有以下兩種情況：當(dāng)2是下底面的周長(zhǎng)，4是正三棱柱的高時(shí)，正三棱柱的表面積為；當(dāng)4是下底面的周長(zhǎng)，2是正三棱柱的高時(shí)，正三棱柱的表面積為；故答案為：或.19．（2018春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）在矩形中，，，于，，為中點(diǎn).(1)求；(2)驗(yàn)證：、、是否三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)向量法可證：、、三點(diǎn)共線【分析】（1）利用已知條件，結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理，可求；（2）利用向量共線，證明三點(diǎn)共線.【詳解】（1）矩形中，，，則，和中，，，，，，（2），，則有，有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線.20．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為.（1）求證：；（2）若，試證明為直角三角形.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）用向量方法證明，由，兩邊同乘以，再利用向量數(shù)量積公式，即可得證；（1）證法一：，結(jié)合向量數(shù)量積公式即可得證；證法二：已知等式轉(zhuǎn)化為三角形邊角關(guān)系，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證.【詳解】（1）∵，

∴

∴

∴

（2）,由得，，

∴△ABC為直角三角形.

證法二：由（1）類似可證得：（*）

由得，即：，∴，結(jié)合（*）式得，∴，∴△ABC為直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查向量在三角形中的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，屬于中檔題.21．（2023春·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的坐標(biāo)分別為.(1)若三點(diǎn)共線，求角的值；(2)若，且四邊形為平行四邊形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三點(diǎn)共線可得，化簡(jiǎn)求得，結(jié)合即可求解；（2）由四邊形為平行四邊形，可得，采用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行代換，可得關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的范圍【詳解】（1）∵三點(diǎn)共線，∴，又，，∴，，又，∴.（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，而，∴，，∴，，所以，因?yàn)椋?，則，所以，即的取值范圍為.22．（2022春·江蘇徐州·高一校考競(jìng)賽）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知．(1)求;(2)若為的中點(diǎn),,求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定