數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測評正弦定理、余弦定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘）1．（2016·山東)△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA）．則A＝（）A.eq\f（3π,4）B。eq\f(π，3)C。eq\f(π，4)D.eq\f（π，6)【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA,所以2b2（1－sinA)＝2b2(1－cosA），所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0＜A＜π，所以A＝eq\f（π，4).【答案】C2．（2017·甘肅定西模擬）在△ABC中,角A，B,C所對邊長分別為a,b，c，若a2＋b2＝2c2,則cosC的最小值為(）A。eq\f(\r(3），2）B。eq\f（\r（2）,2）C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2）【解析】因?yàn)閍2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcosC，cosC＝eq\f（c2,2ab）＝eq\f（1，2)×eq\f（a2＋b2,2ab)≥eq\f（1，2)×eq\f(2ab，2ab）＝eq\f(1，2)。故選C?！敬鸢浮緾3．(2017·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）在△ABC中，a＝2，A＝45°，若此三角形有兩解,則b的范圍為()A．2＜b＜2eq\r(2)B．b＞2C．b＜2D.eq\f（1，2）＜b＜eq\r(2）【解析】∵在△ABC中,a＝2，A＝45°,且此三角形有兩解，∴由正弦定理eq\f（a，sinA)＝eq\f(b，sinB)＝2eq\r(2)，得b＝2eq\r（2）sinB，B＋C＝180°－45°＝135°，由B有兩個值，得到這兩個值互補(bǔ)，若B≤45°，則和B互補(bǔ)的角B′≥135°，這樣A＋B′≥180°，不成立，∴45°＜B＜135°.又若B＝90°,這樣補(bǔ)角也是90°，一解,∴eq\f(\r（2),2)＜sinB＜1，∴2＜b＜2eq\r(2），故選A?！敬鸢浮緼4．(2017·遼寧沈陽模擬）在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分線CD把三角形面積分為4∶3兩部分，則cosA＝(）A.eq\f（1,3）B。eq\f(2,3)C.eq\f(3,4）D.eq\f(4,5)【解析】∵∠A∶∠B＝1∶2，即B＝2A,∴B＞A，∴AC＞BC.∵角平分線CD把三角形面積分成4∶3兩部分，∴由角平分線定理得BC∶AC＝BD∶AD＝3∶4，∴由正弦定理eq\f（BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB）得eq\f(sinA，sinB）＝eq\f（3，4），整理得eq\f(sinA,sin2A)＝eq\f(sinA,2sinAcosA)＝eq\f（3，4）,則cosA＝eq\f（2,3).故選B。【答案】B5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a,b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B,C的對邊,若cosB＝eq\f(4，5），a＝10,△ABC的面積為42，則b＋eq\f(a，sinA)的值等于（)A。eq\f（27\r（2）,2）B．16eq\r（2）C．8eq\r（2）D．16【解析】∵cosB＝eq\f(4,5),B為三角形內(nèi)角，∴sinB＝eq\r(1－cos2B）＝eq\f(3，5）.∵a＝10,△ABC的面積為42，∴eq\f(1,2)acsinB＝42，即3c＝42，解得c＝14，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝100＋196－224＝72，即b＝6eq\r（2).再由正弦定理可得eq\f（a,sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f(6\r(2),\f(3,5))＝10eq\r（2),∴b＋eq\f（a,sinA）＝16eq\r（2）,故選B.【答案】B6．（2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC的周長等于20，面積是10eq\r(3）,A＝60°，則a＝________．【解析】∵A＝60°，∴S△ABC＝eq\f（1,2)bcsinA＝10eq\r(3),即eq\f（\r（3）,4)bc＝10eq\r（3)，解得bc＝40.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA,得a2＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－120,∵△ABC的周長a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，得a2＝（20－a）2－120，解得a＝7。【答案】77．(2016·北京）在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r（3）c，則eq\f（b，c）＝________．【解析】在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，將∠A＝eq\f(2π，3），a＝eq\r(3)c代入，可得(eq\r(3）c）2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2））)，整理得2c2＝b2＋bc?！遚≠0，∴等式兩邊同時(shí)除以c2，得2＝eq\f（b2,c2）＋eq\f(bc，c2）,即2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b,c）))eq\s\up12（2）＋eq\f（b，c）。令t＝eq\f（b，c)（t＞0）,有2＝t2＋t,即t2＋t－2＝0,解得t＝1或t＝－2（舍去),故eq\f（b,c）＝1.【答案】18．（2017·甘肅張掖二模）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a，b,c且acosB－bcosA＝eq\f（3，5）c，則eq\f(tanA,tanB)的值為________．【解析】由acosB－bcosA＝eq\f(3，5)c及正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝eq\f（3，5）sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝eq\f（3,5)sin(A＋B），即5(sinAcosB－sinBcosA)＝3（sinAcosB＋sinBcosA）即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，所以eq\f（tanA，tanB）＝4。【答案】49．（2016·浙江)在△ABC中,內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b,c.已知b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；（2）若cosB＝eq\f（2，3)，求cosC的值．【解析】（1）證明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB,于是sinB＝sin(A－B)．因?yàn)锳，B∈(0,π),所以0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B）或B＝A－B.因此A＝π（舍去）或A＝2B，所以A＝2B。(2)由cosB＝eq\f(2，3)得sinB＝eq\f（\r（5)，3)，cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,9），故cosA＝－eq\f(1，9），sinA＝eq\f（4\r（5）,9），cosC＝－cos（A＋B）＝－cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(22,27)。10．(2016·湖北宜昌調(diào)研）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,且c＝eq\r(3)asinC－ccosA.（1）求A；（2)若a＝1，△ABC的面積為eq\f(\r(3)，4)，求b，c.【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理，得sinC＝eq\r（3）sinAsinC－sinCcosA.∵sinC≠0,∴1＝eq\r(3）sinA－cosA＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（A－\f(π,6))）,即sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（A－\f（π,6)))＝eq\f(1,2）.又∵A∈（0，π），∴A－eq\f(π，6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，6),\f(5π,6）））,∴A－eq\f（π，6）＝eq\f（π，6)，∴A＝eq\f(π，3）。(2)S＝eq\f（1，2）bcsinA，即eq\f(\r（3),4）＝eq\f(1，2）bc·eq\f(\r(3），2），∴bc＝1。①又∵a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccoseq\f（π，3）,即1＝（b＋c）2－3,且b，c為正數(shù)，∴b＋c＝2.②由①②兩式，解得b＝c＝1.B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：20分鐘）11．（2016·課標(biāo)全國Ⅲ)在△ABC中，B＝eq\f（π，4),BC邊上的高等于eq\f（1，3)BC，則sinA＝（)A.eq\f（3，10)B.eq\f(\r（10),10)C。eq\f（\r(5)，5）D。eq\f（3\r(10），10)【解析】設(shè)BC邊上的高為AD，則BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝eq\r（AD2＋DC2)＝eq\r（5）AD.由正弦定理，知eq\f（AC，sinB）＝eq\f(BC，sinA)，即eq\f（\r（5)AD，\f（\r（2），2))＝eq\f（3AD，sinA)，解得sinA＝eq\f（3\r（10)，10)，故選D.【答案】D12．(2017·河南洛陽期中）在△ABC中，角A，B,C所對的邊分別為a,b，c，已知tanA＝eq\f（1，2）,tanB＝eq\f(1，3)，且最長邊的長為1,則△ABC最短邊的長為________．【解析】由題意可得tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB，1－tanAtanB）＝－eq\f(\f（1,2)＋\f（1,3），1－\f(1,2）×\f(1,3））＝－1，∴C＝135°，c為最長邊，故c＝1。又∵0＜tanB＝eq\f（1,3)＜eq\f（1,2）＝tanA，∴B為最小角，b為最短邊，∵tanB＝eq\f（1,3）,∴sinB＝eq\f（\r(10），10），由正弦定理可得b＝eq\f（csinB,sinC)＝eq\f(\r(5),5).【答案】eq\f（\r(5),5）13．（2015·重慶）在△ABC中,B＝120°，AB＝eq\r(2），A的角平分線AD＝eq\r（3），則AC＝________．【解析】由正弦定理得eq\f（AB，sin∠ADB)＝eq\f(AD，sinB)，即eq\f(\r（2）,sin∠ADB)＝eq\f（\r（3),sin120°）,解得sin∠ADB＝eq\f(\r(2),2),所以∠ADB＝45°，從而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°,AC＝eq\f（\r(2）×sin120°,sin30°）＝eq\r(6)?！敬鸢浮縠q\r（6）14．（2016·課標(biāo)全國Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f（4，5），cosC＝eq\f（5,13），a＝1，則b＝________．【解析】在△ABC中，cosA＝eq\f(4，5)，cosC＝eq\f（5，13)，∴sinA＝eq\f（3,5），sinC＝eq\f(12,13），∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(3,5）×eq\f（5,13)＋eq\f（12,13）×eq\f(4,5)＝eq\f(63，65)?！嘤烧叶ɡ韊q\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB），可得b＝eq\f(asinB,sinA)＝1×eq\f（63，65)×eq\f（5,3)＝eq\f（21,13）.【答案】eq\f(21,13)15．（2017·貴州貴陽六中月考）在△ABC中，角A,B，C所對的邊分別是a，b，c,已知cos2A－3cos（B＋C）＝1。(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面積S＝5eq\r（3),b＝5，求sinBsinC的值．【解析】(1)由cos2A－3cos（B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝eq\f（1，2)