第8章 平面截切立體

第2章制圖的基本知識第3章點、線、面的投影第4章線面幾何元素間的相對位置第5章投影變換第6章曲線與曲面第7章基本立體第8章平面截切立體第10章

組合體第11章軸測圖第12章建筑形體的表達方法第13章透視投影第14章標高投影第15章計算機繪圖第1章

緒論

第9章

兩立體相貫8.1平面與平面體截交

8.2平面與曲面體截交

第8章

平面截切立體【知識目標】

1.掌握平面截切平面體所得截交線的性質(zhì)、特征及作圖方法。

2.掌握平面截切曲面體所得截交線的性質(zhì)、特征及作圖方法。【能力目標】

1.能分析和判斷截交線的空間形狀與投影特征。2.能從單一平面截切立體的知識遷移到多個平面組合截切立體的情況。3.能分析和解決復雜空間幾何問題。第8章

平面截切立體返回本章目錄第8章

平面截切立體平面與立體相交，即用平面截切立體從而形成新的立體。

截切立體的平面稱為截平面。截平面與立體表面相交產(chǎn)生的交線稱為截交線。由截交線圍成的平面圖形通常稱為截斷面。平面P為截平面。截交線概述線段AB、BC、CA為截交線。返回本章目錄△ABC為截斷面。截交線組成的是一個封閉的平面圖形。截交線是截平面和立體表面的共有線，其上的點是截平面和立體表面的共有點。截交線的特征返回本章目錄第8章

平面截切立體第8章

平面截切立體8.1平面與平面體截交

平面截切平面立體，截交線是由直線段構(gòu)成的封閉多邊形，多邊形的頂點是截平面與平面立體的棱、頂邊或底邊的交點，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。返回本章目錄第8章

平面截切立體例8-1如圖，正垂面P截切四棱錐，求作截切后立體的左側(cè)投影，并完成其水平投影。返回本章目錄8.1平面與平面體截交第8章

平面截切立體例8-1如圖，正垂面P截切四棱錐，求作截切后立體的左側(cè)投影，并完成其水平投影。分析：

正垂面P截切四棱錐后所產(chǎn)生的截交線是一個封閉的平面四邊形。

四邊形的頂點A、B、C、D分別是截平面P和四棱錐的四條棱邊S1、S2、S3、S4的交點。

根據(jù)該平面四邊形在正面投影上積聚的直線求其水平投影和側(cè)面投影。返回本章目錄8.1平面與平面體截交第8章

平面截切立體作圖步驟：畫出未截切的四棱錐的側(cè)面投影。

返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-1如圖，正垂面P截切四棱錐，求作截切后立體的左側(cè)投影，并完成其水平投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：②

根據(jù)正面投影，按照投影規(guī)律求截平面與四條棱邊的交點A、B、C、D的水平投影a′、b′、c′、d′和側(cè)面投影a″、b″、c″、d″。8.1平面與平面體截交例8-1如圖，正垂面P截切四棱錐，求作截切后立體的左側(cè)投影，并完成其水平投影。返回本章目錄第8章

平面截切立體作圖步驟：水平投影中按順序連接abcd，側(cè)面投影中按順序連接a″b″c″d″，得到截交線的另兩面投影。返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-1如圖，正垂面P截切四棱錐，求作截切后立體的左側(cè)投影，并完成其水平投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：④加粗可見圖線。注意：在水平投影中需將未截切的四條棱邊畫出，側(cè)面投影中C3棱位于形體的右側(cè)，被立體本身遮擋，應畫成細虛線。8.1平面與平面體截交例8-1如圖，正垂面P截切四棱錐，求作截切后立體的左側(cè)投影，并完成其水平投影。返回本章目錄第8章

平面截切立體分析：

本題目的主要目標是作出截交線的水平投影。

正垂面P截切五棱柱后所產(chǎn)生的截交線是一個封閉的平面五邊形，五邊形的頂點分別是截平面P和五棱柱的五條棱邊的交點。

該截交線的正面投影和側(cè)面投影均已知。返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-2如圖，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。第8章

平面截切立體例8-2如圖，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。作圖步驟：根據(jù)投影關系，畫出未截切五棱柱的水平投影，注意：組成底面的兩條棱邊不可見，用細虛線畫出。

返回本章目錄8.1平面與平面體截交第8章

平面截切立體例8-2如圖，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。作圖步驟：在正面投影和側(cè)面投影中標注截交線和五棱柱五條棱邊的交點，先標注側(cè)面投影中的a″、b″、c″、d″、e″，再標注正面投影中的a′、b′、c′、d′、e′，最后根據(jù)投影關系，作出五個點的水平投影a、b、c、d、e，并按順序連接，即得到截交線的水平投影。

返回本章目錄8.1平面與平面體截交第8章

平面截切立體例8-2如圖，五棱柱被正垂面截切，求作其水平投影。作圖步驟：在水平投影中將被截切掉的棱線擦除，并加粗可見圖線，得到正垂面截切五棱柱的水平投影。返回本章目錄8.1平面與平面體截交最終結(jié)果第8章

平面截切立體例8-3如圖，正四棱錐被挖切，補畫該立體的水平投影，并完成側(cè)面投影。分析：

被挖切的正四棱錐可看作是由一個水平面和一個正垂面截切而成。

分別求出兩個截平面截切棱錐產(chǎn)生的截交線，最后還需分析四條棱被截切的情況。

求截交線時需要確定截平面和棱及側(cè)面的交點，然后將交點按順序連接形成一個封閉多邊形。

在此過程中，要注意判斷多邊形每條邊在各投影中的可見性。返回本章目錄8.1平面與平面體截交第8章

平面截切立體作圖步驟：根據(jù)投影關系，繪制未被挖切正四棱錐的側(cè)面投影，四條棱分別是s″a″、s″b″、s″c″和s″d″。返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-3如圖，正四棱錐被挖切，補畫該立體的水平投影，并完成側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：求作水平面P形成的截交線。

該截平面與正四棱錐三條棱的交點是E、F、I；與兩個側(cè)面的交點是G和H。作出五個交點的水平投影和側(cè)面投影。

在側(cè)面投影中，該截交線積聚成一條線段，可見，將線段i″f″加粗；在水平投影中，該截交線反映實形，按順序連接五個交點，形成五邊形efghi，其中交線gh被形體遮擋，不可見，用細虛線繪制。

返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-3如圖，正四棱錐被挖切，補畫該立體的水平投影，并完成側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：求作正垂面Q形成的截交線。

該截平面與正四棱錐三條棱的交點是J、K、L；與兩個側(cè)面的交點是G和H。作出五個交點的水平投影和側(cè)面投影。

在側(cè)面投影中，該截交線為五邊形，順序連接五個交點，可見，將五邊形g″h″l″j″k″加粗；在水平投影中，該截交線具有類似形，連接交點形成五邊形ghljk，交線gh用細虛線繪制

。返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-3如圖，正四棱錐被挖切，補畫該立體的水平投影，并完成側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：補齊四棱錐中未被截切的棱。

經(jīng)過兩個平面截切，該形體的四條棱部分被截切，需要進行逐一分析。SA棱上點J到點E之間的棱被截切，SB棱上點K到點F之間的棱被截切，SC棱未被截切，SD棱上點L到點I之間的棱被截切。

在水平投影和側(cè)面投影中將未被截切的棱進行加粗。需要注意，SC棱未被截切，側(cè)面投影中該棱不可見，需要畫成虛線，根據(jù)圖線繪制的優(yōu)先順序可知，僅在點j″和e″之間為虛線。

返回本章目錄8.1平面與平面體截交例8-3如圖，正四棱錐被挖切，補畫該立體的水平投影，并完成側(cè)面投影。第8章

平面截切立體例8-3如圖，正四棱錐被挖切，補畫該立體的水平投影，并完成側(cè)面投影。最終結(jié)果返回本章目錄8.1平面與平面體截交第8章

平面截切立體8.2平面與曲面體截交

平面與回轉(zhuǎn)體相交產(chǎn)生截交線的形狀與回轉(zhuǎn)體的形狀、截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置有關。

應用回轉(zhuǎn)體表面取點法求出截交線上的點，再用平滑曲線將各點順序相連，即可求得截交線。8.2.1平面與圓柱體的截交線

平面截切圓柱體時，和圓柱體軸線的相對位置有三種情況：平行、垂直和傾斜，產(chǎn)生的截交線分別是矩形、圓和橢圓。返回本章目錄第8章

平面截切立體截平面的位置立體效果圖截交線的形狀三面投影平行于圓柱體的回轉(zhuǎn)軸線垂直于圓柱體的回轉(zhuǎn)軸線

傾斜于圓柱體的回轉(zhuǎn)軸線矩形圓橢圓返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-4圓柱體被正垂面P截切，正面投影和水平投影如圖，完成其側(cè)面投影。分析：

正垂面P與圓柱體的軸線傾斜，截交線為橢圓。

截交線的正面投影為直線，水平投影積聚為圓，側(cè)面投影為橢圓。

利用圓柱體表面取點法求出側(cè)面投影橢圓的特殊位置點和一般位置點，然后用平滑的曲線將各點按順序連接，即可得截交線。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體作圖步驟：畫出未截切圓柱體的側(cè)面投影

求出截交線上的特殊位置點A、B、C、D。

先在正面投影和水平投影上標注，按照投影規(guī)律，作出側(cè)面投影中的點，這四個點也是截交線橢圓的長軸和短軸的端點。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交例8-4圓柱體被正垂面P截切，正面投影和水平投影如圖，完成其側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：求截交線上的一般位置點E、F、G、H，為簡化作圖過程，可取前后、左右對稱的四個點，作圖過程與上一步相同。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交例8-4圓柱體被正垂面P截切，正面投影和水平投影如圖，完成其側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：用平滑曲線順序連接側(cè)面投影中各點的投影，得到截交線的側(cè)面投影，并加粗未截切圓柱體的轉(zhuǎn)向輪廓線。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交例8-4圓柱體被正垂面P截切，正面投影和水平投影如圖，完成其側(cè)面投影。第8章

平面截切立體例8-5截切的圓柱體如圖，補畫側(cè)面投影中缺漏的圖線，并完成水平投影。分析：

該圓柱體被三個平面截切形成。

求解此類問題的方法是逐一分析每個截平面截切圓柱體產(chǎn)生的截交線。

需注意截平面之間交線的可見性，最后還需分析回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)向輪廓線是否被截切。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-5截切的圓柱體如圖，補畫側(cè)面投影中缺漏的圖線，并完成水平投影。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交作圖步驟：求截平面P產(chǎn)生的截交線。

該截平面是一個水平面，平行于圓柱體的軸線，產(chǎn)生的截交線形狀為矩形。

截交線的正面投影已知，由正面投影先確定截交線的側(cè)面投影，再根據(jù)投影關系確定截交線的水平投影。第8章

平面截切立體例8-5截切的圓柱體如圖，補畫側(cè)面投影中缺漏的圖線，并完成水平投影。作圖步驟：求截平面Q產(chǎn)生的截交線。

該截平面是一個側(cè)平面，垂直于圓柱體的軸線，產(chǎn)生的截交線形狀為圓弧+直線段。

截交線的正面投影已知，由正面投影先確定截交線的側(cè)面投影，再根據(jù)投影關系確定截交線的水平投影。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-5截切的圓柱體如圖，補畫側(cè)面投影中缺漏的圖線，并完成水平投影。作圖步驟：求截平面R產(chǎn)生的截交線。

該截平面是一個正垂面，傾斜于圓柱體的軸線，產(chǎn)生的截交線形狀為前后兩段橢圓弧+兩段直線。

求橢圓弧的方法是表面取點法，通過作出截交線上的特殊位置點和一般位置點的投影，再用平滑曲線相連即可得到截交線。關鍵：確定該截交線與圓柱體上下轉(zhuǎn)向輪廓線上的點A和點B的投影。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-5截切的圓柱體如圖，補畫側(cè)面投影中缺漏的圖線，并完成水平投影。作圖步驟：補齊轉(zhuǎn)向輪廓線。

在水平投影中，點a和點b左側(cè)的轉(zhuǎn)向輪廓線被截切，右側(cè)的轉(zhuǎn)向輪廓線沒有被截切，需要加粗。最終結(jié)果返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體8.2.1平面與圓錐體的截交線截平面的位置立體效果圖截交線的形狀視圖過椎頂垂直于圓錐的回轉(zhuǎn)軸線

截平面與圓錐回轉(zhuǎn)軸線的夾角θ>半錐頂角α等腰三角形圓橢圓返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體8.2.1平面與圓錐體的截交線截平面的位置立體效果圖截交線的形狀視圖截平面與圓錐回轉(zhuǎn)軸線的夾角θ=半錐頂角α截平面與圓錐回轉(zhuǎn)軸線的夾角θ<半錐頂角α（含θ=0）拋物線+直線雙曲線+直線返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-6圓錐被平行于回轉(zhuǎn)軸線的側(cè)平面P截切，正面投影和水平投影如圖，

完成側(cè)面投影。分析：

側(cè)平面P與圓錐的回轉(zhuǎn)軸線平行，與圓錐面的交線為雙曲線，與圓錐底面的交線為直線。

利用圓錐表面取點法求出側(cè)面投影中截交線的特殊位置點和一般位置點，然后用平滑的圓弧將各點按順序連接，即可得截交線。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-6圓錐被平行于回轉(zhuǎn)軸線的側(cè)平面P截切，正面投影和水平投影如圖，

完成側(cè)面投影。作圖步驟：畫出未截切圓錐的側(cè)面投影。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-6圓錐被平行于回轉(zhuǎn)軸線的側(cè)平面P截切，正面投影和水平投影如圖，

完成側(cè)面投影。作圖步驟：求出截交線上的特殊位置點A、B、C。

先在正面投影和水平投影上標注，按照投影規(guī)律，作出側(cè)面投影中的點。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-6圓錐被平行于回轉(zhuǎn)軸線的側(cè)平面P截切，正面投影和水平投影如圖，

完成側(cè)面投影。作圖步驟：求截交線上的一般位置點D、E。

為簡化作圖，可將此兩點選擇為相對于正立投影面的重影點。

先在正面投影中標注d′和e′，利用緯圓法，求得水平投影中的d和e，根據(jù)投影關系，可作出側(cè)面投影中的d″和e″。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-6圓錐被平行于回轉(zhuǎn)軸線的側(cè)平面P截切，正面投影和水平投影如圖，

完成側(cè)面投影。作圖步驟：用平滑曲線順序連接側(cè)面投影中c″、e″、a″、d″和b″，用直線連接c″和b″，得到截交線的側(cè)面投影。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-6圓錐被平行于回轉(zhuǎn)軸線的側(cè)平面P截切，正面投影和水平投影如圖，

完成側(cè)面投影。最終結(jié)果返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-7補畫被截切圓錐水平投影和側(cè)面投影中缺漏的圖線。分析：

該形體的形成過程可看作是用一個水平面和一個正垂面截切圓錐。

水平面與圓錐的回轉(zhuǎn)軸線垂直，形成的截交線是圓??；正垂面與圓錐的回轉(zhuǎn)軸線傾斜（與圓錐回轉(zhuǎn)軸線的夾角θ>半錐頂角α），形成的截交線為橢圓弧。

作圖過程中需對截平面形成的截交線逐個進行分析，最后還需分析兩截平面的交線。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-7補畫被截切圓錐水平投影和側(cè)面投影中缺漏的圖線。作圖步驟：求水平面P截切圓錐形成的截交線。

標注截交線上三個點A、B、C的正面投影a′、b′、c′，此三點在同一個水平緯圓上，利用緯圓法，確定其水平投影a、b、c，按照投影規(guī)律，作出其側(cè)面投影。

在水平投影和側(cè)面投影中將三點相連，形成截交線的水平投影和側(cè)面投影，水平投影由一段圓弧和一段直線構(gòu)成一個封閉的平面圖形，側(cè)面投影是一條直線。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-7補畫被截切圓錐水平投影和側(cè)面投影中缺漏的圖線。作圖步驟：求正垂面Q截切圓錐形成的截交線。

利用表面取點法，求截交線上的三個特殊位置點D、E、F的水平投影和側(cè)面投影，先在正面投影中標注d′、e′和f′，根據(jù)投影關系，可作出其水平投影和側(cè)面投影。

在水平投影和側(cè)面投影中用平滑曲線將各點相連，形成截交線的水平投影和側(cè)面投影，均是由一段橢圓弧和一段直線構(gòu)成的一個封閉平面圖形。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-7補畫被截切圓錐水平投影和側(cè)面投影中缺漏的圖線。作圖步驟：分析兩截平面的交線AB，在水平投影和側(cè)面投影中均可見。

補齊側(cè)面投影中未截切圓錐體下方的轉(zhuǎn)向輪廓線至點e″和f″。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體例8-7補畫被截切圓錐水平投影和側(cè)面投影中缺漏的圖線。最終結(jié)果返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體8.2.3平面與球體的截交線平面與球體的截交線都是圓。球被一個正平面、一個水平面和一個側(cè)平面截切后所得立體的三面投影。求平面與球的截交線，可通過作圖找到球上特殊位置點和一般位置點的投影，然后將各點順序相連。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交第8章

平面截切立體分析：

該形體的形成過程可看作是用兩個側(cè)平面和一個水平面截切球。

利用緯圓法分別求出三個截平面和球的截交線，最后還需對球的轉(zhuǎn)向輪廓線是否被截切進行分析。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交例8-8補畫被截切球的水平投影和側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：求側(cè)平面P截切球形成的截交線。

該截交線是由側(cè)平圓的一段圓弧和一條線段構(gòu)成。

側(cè)面投影中，利用緯圓法可作出此側(cè)平圓，根據(jù)投影關系可得到截交線側(cè)面投影的圓弧和線段，其中圓弧部分在側(cè)面投影中可見，畫為粗實線，線段a″b″被形體遮擋，為不可見圖線，用細虛線畫出。

水平投影中，該截交線積聚為線段gh，為可見圖線，畫為粗實線，線段hb和ga不可見，畫為虛線，由于粗實線優(yōu)先于虛線，因此這兩段虛線不再畫出。返回本章目錄8.2平面與曲面體截交例8-8補畫被截切球的水平投影和側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：求側(cè)平面Q截切球形成的截交線。

該截交線的求解過程與P平面截交線的求法相同。

在側(cè)面投影中，側(cè)平圓上的圓弧部分被左側(cè)的形體遮擋，為不可見圖線，要用細虛線畫出。8.2平面與曲面體截交返回本章目錄例8-8補畫被截切球的水平投影和側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：求水平面R截切球形成的截交線。

該截交線是由水平圓的兩段圓弧和兩條線段構(gòu)成。

水平投影中，利用緯圓法可作出此水平圓，根據(jù)投影關系可得到截交線的水平投影，是由兩段圓弧和兩條線段圍成的一個封閉圖形，該圖形可見，畫為粗實線。

側(cè)面投影中，該截交線積聚為一條線段e″f″，其中a″e″和b″f″在左半球，可見，畫為粗實線，a″b″不可見，為虛線。8.2平面與曲面體截交返回本章目錄例8-8補畫被截切球的水平投影和側(cè)面投影。第8章

平面截切立體作圖步驟：補齊截切后球的轉(zhuǎn)向輪廓線。

側(cè)面投影中，左、右半球轉(zhuǎn)向輪廓線上點E和點F之上的部分被截切，需加粗下方的轉(zhuǎn)向輪廓線；

水平投影中，上、下半球轉(zhuǎn)向輪廓線上，處于前半球點G和點I之間、后半球點H和點J之間的部分被截切，需加粗剩余的轉(zhuǎn)向輪廓線。8.2平面與曲面體截交返回本章目錄例8-8補畫被截切球的水平投影和側(cè)面投影。第8章

平面截切立體例8-8補畫被截切球的水平投影和側(cè)面投影。最終結(jié)果8.2平面與曲面體截交返回本章目錄第8章

平面截切立體分析：

該形體是一個由圓臺、圓柱和