第四章 投影變換

第4章投影變換土木工程制圖第4章投影變換4.1換面法投影變換的目的與方法4.2一般位置直線的三面投影均不反映直線的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的傾角；一般位置平面的三面投影也不反映平面的實(shí)形及其與投影面的傾角。V面投影反映直線實(shí)長(zhǎng)和αV面投影反映平面實(shí)形H面投影反映平面的β直線AB正平線平面ABCD正平面平面ABCD鉛垂面4.1投影變換的目的與方法

投影面平行線在其所平行投影面上的投影反映該直線的實(shí)長(zhǎng)和與投影面的傾角；

特殊位置平面在其所平行或垂直投影面上的投影反映該平面的實(shí)形或與投影面的傾角；投影變換的目的與方法（續(xù)）(1)換面法保持空間幾何元素不動(dòng)，用新投影面體系替換原有的投影體系。(2)旋轉(zhuǎn)法保持投影面體系不動(dòng)，使空間幾何元素繞某一定軸旋轉(zhuǎn)的方法。1.目的投影變換的目的就是將對(duì)于投影面一般位置的直線、平面等幾何元素改變?yōu)樘厥馕恢茫岳诤?jiǎn)化作圖。2.方法4.2換面法新投影面選擇原則

換面法的基本規(guī)律基本作圖問(wèn)題換面法的應(yīng)用舉例一、新投影面選擇原則VHABa

b

ab1.新設(shè)立的投影面必須垂直于某一保留的原投影面；2.新設(shè)立的投影面必須處于最有利的解題位置。

比如：新投影面應(yīng)平行或垂直于某空間幾何元素。V1a1'b1'X1X二、換面法的基本規(guī)律1.點(diǎn)的一次換面（1）替換V面VHXX1V1a'aAaxa1'ax1a1'a'aXaxHVOax1O1X1HV1舊投影不動(dòng)投影新投影①新投影與不動(dòng)投影的連線垂直于新投影軸，即a1'a⊥O1X1

；②新投影到新投影軸的距離等于舊投影到舊投影軸的距離，

即a1'ax1=a'ax。VHXAaxa'aX1ax1a'aXVHa1X1VH1H1a1ax1二、換面法的基本規(guī)律(續(xù))1.點(diǎn)的一次換面（2）替換H面VHXX1V1H2X2二、換面法的基本規(guī)律(續(xù))2.點(diǎn)的二次換面

(1)先把V面換成平面V1，V1

H;(2)再把H面換成平面H2，H2

V1

。a

aAaxa

1ax1ax2a2X1HV1X2V1H2a1

a

aXVH

axax1二、換面法的基本規(guī)律(續(xù))2.點(diǎn)的二次換面

(3)作圖過(guò)程

a2

ax2三、基本作圖問(wèn)題1.一般位置直線變換為投影面平行線目的：求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的傾角。分析：要滿足直線與新投影面平行，則新投影軸應(yīng)與不動(dòng)投影平行。①O1X1∥ab；②a1'b1'=AB；

傾角αα

a

b

abXVHa1'●b1'●

三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))1.一般位置直線變換為投影面平行線作圖過(guò)程：X1HV1實(shí)長(zhǎng)三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))2.投影面平行線變換為投影面垂直線分析：應(yīng)該選擇哪一個(gè)投影面進(jìn)行變換，要看給出的直線位置而定。給出的是正平線，則應(yīng)變換H面；給出的是水平線，則應(yīng)變換V面。以正平線為例要滿足直線與新投影面垂直，則須O1X1⊥a'b'。作圖過(guò)程：

a

b

abXVHX1VH1a1(b1)●三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))3.

一般位置直線變換為投影面垂直線分析：綜合前述第一、二個(gè)問(wèn)題，容易得出一般位置直線要變成新投影面垂直線，必須經(jīng)過(guò)兩次變換。即：

①一次換面把一般位置直線變成投影面平行線；②再次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))3.一般位置直線變換為投影面垂直線作圖過(guò)程：①一次換面把一般位置直線變成投影面平行線；②再次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。

a

b

abXVHb1'●a1'●a2(b2)●X1HV1X2H1V14.一般位置平面變換為投影面垂直面目的：求一般位置平面與投影面的傾角。分析：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。兩平面垂直需滿足什么條件？

一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？能否只進(jìn)行一次變換？三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))Xc

bcHBCa

b

aVAV1X1c1'b1'a1'(d1')dd

Dα若求一般位置平面的傾角β，又該如何做投影變換呢？三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))4.一般位置平面變換為投影面垂直面

作圖過(guò)程：ca

b

abXVHc

X1V1Ha1'c1'b1'●●●αc1'●b1'●a1'●三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))5.投影面垂直面變換為投影面平行面目的：求投影面垂直面的實(shí)形。分析：要滿足與新投影面平行，則新投影軸應(yīng)與平面的積聚性投影平行作圖過(guò)程：c

a

b

abXVH

c

X1V1H實(shí)形三、基本作圖問(wèn)題(續(xù))6.一般位置平面變換為投影面平行面目的：求一般位置平面的實(shí)形及與投影面的傾角。分析：須經(jīng)兩次變換。即：①一次換面把一般位置平面變成投影面垂直面；②再次換面把投影面垂直面變成投影面平行面。作圖過(guò)程：c

a

b

abXVH

c

X1V1HX2V1H2α●●●●●●a1'c1'b1'a2c2b2實(shí)形四、換面法應(yīng)用舉例1.求直線DE與△ABC的交點(diǎn)，并判別其可見(jiàn)性。分析：當(dāng)直線或平面的某個(gè)投影有積聚性時(shí)，其交點(diǎn)可在投影圖中得到，因而可將一般位置平面變換為投影面垂直面。作圖過(guò)程：四、換面法應(yīng)用舉例(續(xù))2.已知直線BC及點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作直線與BC線交于點(diǎn)D,并使∠BDA=60°,求點(diǎn)D的兩面投影。分析：當(dāng)由AD與BC相交兩直線所確定的平面平行于某投影面時(shí)，即可反映∠BDA的實(shí)