2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版選修2-2

PAGE課時素養(yǎng)評價五簡潔復合函數(shù)的導數(shù)(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)y=cos2x的導數(shù)為 ()A.y′=sin2x B.y′=-sin2xC.y′=-2sin2x D.y′=2sin2x【解析】選C.y′=-sin2x·(2x)′=-2sin2x.2.設f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)=6,則x0的值為 ()A.0B.QUOTEC.3D.6【解析】選B.由f(x)=ln(3x-1),得f′(x)=QUOTE.由f′(x0)=QUOTE=6,解得x0=QUOTE.3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的圖象關于y軸對稱,則f′(0)=_________.(其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)) ()

A.0 B.ω C.φ D.1【解析】選A.因為函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的圖象關于y軸對稱,所以f(0)=sinφ=±1,故φ=kπ+QUOTE,k∈Z,①當k=2n,n∈Z時,f(x)=sinQUOTE=cosωx,這時,f′(x)=-ωsinωx,所以f′(0)=0.②當k=2n+1,n∈Z時,f(x)=sinQUOTE=-cosωx,這時,f′(x)=ωsinωx,所以f′(0)=0,綜上所述,f′(0)=0.4.設函數(shù)f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R)在點(1,f(1))處的切線為l,若直線l與圓C:x2+y2=QUOTE相切,則實數(shù)a的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選C.因為f(1)=a,f′(x)=2ax+QUOTE(x<2),所以f′(1)=2a-2,所以切線l的方程為2(a-1)x-y+2-a=0.因為直線l與圓相切,所以圓心到直線l的距離等于半徑,即QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.【延長探究】若將上題中條件改為“直線l與圓C:x2+y2=QUOTE相交”,則a的取值范圍為____________.

【解析】由題目知,直線l的方程為2(a-1)x-y+2-a=0.因為直線l與圓C:x2+y2=QUOTE相交,所以圓心到直線l的距離小于半徑.即QUOTE<QUOTE.解得a>QUOTE.答案:QUOTE5.曲線y=QUOTE在點(4,e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為 ()A.4 B.e2 C.QUOTE D.4e2【解析】選B.y′=QUOTE,曲線在點(4,e2)處的切線斜率為QUOTEe2,所以切線方程為:y-e2=QUOTEe2(x-4).令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=2,所以與坐標軸所圍成的三角形的面積S△=QUOTE×2×e2=e2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設f(x)=lnQUOTE,則f′(2)=____________.

【解題指南】令u(x)=QUOTE,可求得u′(x)=QUOTE,從而可求得f′(x),求出f′(2).【解析】因為f(x)=lnQUOTE,令u(x)=QUOTE,則f(u)=lnu,因為f′(u)=QUOTE,u′(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTE,由復合函數(shù)的導數(shù)公式得:f′(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以f′(2)=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】設f(x)=cos22x,則f′QUOTE=____________.

【解析】因為f(x)=cos22x=QUOTE+QUOTEcos4x,所以f′(x)=QUOTE(cos4x)′(4x)′=-2sin4x,所以f′QUOTE=-2sinQUOTE=-2.答案:-27.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),若f(x)=f′QUOTEsin3x+cos3x,則f′QUOTE=_______________.

【解析】因為f(x)=f′QUOTEsin3x+cos3x,所以f′(x)=f′QUOTE·3cos3x-3sin3x,所以令x=QUOTE可得f′QUOTE=f′QUOTE3cosQUOTE-3sinQUOTE=f′QUOTE×QUOTE-3×QUOTE,解得f′QUOTE=3QUOTE.答案:3QUOTE【補償訓練】設y=g(x)=f(sin2x)+f(cos2x),其中f(x)可導,則g′QUOTE=____________.

【解析】g′(x)=[f(sin2x)]′+[f(cos2x)]′=f′(sin2x)·2sinx·cosx+f′(cos2x)·2cosx·(-sinx)=sin2x[f′(sin2x)-f′(cos2x)],所以g′QUOTE=f′QUOTE-f′QUOTE=0.答案:08.已知函數(shù)f(x)=xQUOTE,則f′(2)=_______________.

【解析】因為f′(x)=(xe-x)′=x′e-x+x(e-x)′=e-x+x(-e-x)=(1-x)e-x.所以f′(2)=-e-2=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=(QUOTE-2)2.(2)y=x-sinQUOTEcosQUOTE.(3)y=sin2QUOTE.【解析】(1)因為y=(QUOTE-2)2,所以y′=2(QUOTE-2)(QUOTE-2)′=2(QUOTE-2)·QUOTE=1-QUOTE.(2)因為y=x-sinQUOTEcosQUOTE=x-QUOTEsin2QUOTE,所以y′=1-QUOTE(2QUOTE)′cos2QUOTE=1-QUOTEcos2QUOTE.(3)方法一:y′=2sinQUOTE·QUOTE′=2sinQUOTEcosQUOTE·QUOTE′=2sinQUOTE.方法二:因為y=sin2QUOTE=QUOTE,所以y′=QUOTE′+QUOTE×sinQUOTE×QUOTE′=2sinQUOTE.10.已知曲線y=x3+x-2在點P0處的切線l1平行于直線4x-y-1=0,且點P0在第三象限.(1)求P0的坐標.(2)若直線l⊥l1,且l也過切點P0,求直線l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解得x=±1.當x=1時,y=0;當x=-1時,y=-4.又因為點P0在第三象限,所以切點P0的坐標為(-1,-4).(2)因為直線l⊥l1,l1的斜率為4,所以直線l的斜率為-QUOTE.因為l過切點P0,點P0的坐標為(-1,-4),所以直線l的方程為y+4=-QUOTE(x+1),即x+4y+17=0.(20分鐘·40分)1.(5分)f(x)=esinxcosxsinx,則f′(0)= ()A.0B.1C.2D.e【解析】選B.因為f(x)=esinxcosxsinx,所以f′(x)=(esinx)′cosxsinx+esinx(cosx)′(sinx)+esinxcosx(sinx)′=esinxcos2xsinx+esinx(-sin2x)+esinxcos2x.所以f′(0)=0+0+1=1.2.(5分)若對隨意x∈R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,則f(x)= ()A.x4 B.x4-2C.4x3-5 D.x4+2【解析】選B.因為f′(x)=4x3.所以f(x)=x4+c,c∈R,因為f(1)=1+c=-1,所以c=-2,所以f(x)=x4-2.3.(5分)已知f(x)為偶函數(shù),當x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是____________.

【解析】設x>0,則-x<0,因為x≤0時,fQUOTE=e-x-1-x,所以fQUOTE=ex-1+x,又因為fQUOTE為偶函數(shù),所以fQUOTE=ex-1+x,f′QUOTE=ex-1+1,f′QUOTE=e1-1+1=2,所以切線方程為y-2=2QUOTE,即2x-y=0.答案:2x-y=0【補償訓練】函數(shù)y=lnQUOTE的導數(shù)為_______________.

【解析】y′=QUOTE′=QUOTE·QUOTE·=QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(5分)f(x)=QUOTE,且f′(1)=1,則a的值為____________.

【解析】因為f′(x)=QUOTE·(ax-1)′=QUOTE,所以f′(1)=QUOTE=1.解得a=2.答案:25.(10分)求曲線y=ln(3x-2)上的點到直線l:3x-y+3=0的最短距離.【解析】作出直線l:3x-y+3=0和曲線y=ln(3x-2)的圖象(略)可知它們無公共點,所以,平移直線l,使之與曲線相切時,切點到直線l的距離就是曲線上的點到直線l的最短距離,y′=QUOTE(3x-2)′=QUOTE.設切點為P(x0,y0),所以QUOTE=3,所以x0=1,所以y0=ln(3×1-2)=0,P(1,0).所以,曲線y=ln(3x-2)上的點到直線l:3x-y+3=0的最短距離為P(1,0)到直線l:3x-y+3=0的距離,d=QUOTE=QUOTE.6.(10分)設曲線y=f(x)=e-x(x≥0)在點M(t,e-t)處的切線L與x軸,y軸所圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的解析式.【解題指南】要求S(t)