第09講數列的綜合應用新定義不等式（四種題型）-沖刺2023年高考數學熱點重難點題型解題方法與策略真題演練（新高考專用）

第09講數列的綜合應用、新定義、不等式（四種題型）【熱點、重難點題型】題型一：分期付款一、單選題1．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【分析】計算出每月應還的本金數，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D2．（2022·四川達州·統考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復利計算，則該顧客每個月應還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設每月還款元，每月還款按得利計算，11次還款的本利和等于銀行貸款按復利計算的本利和，由此可得．【詳解】設每月還款元，共還款11個月，所以，．故選：A．3．（2022·全國·高三專題練習）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率，當付清全部房款時，各次付款的總和為（

）A．1205萬元 B．1255萬元 C．1305萬元 D．1360萬元【答案】B【分析】判斷出每次還款利息構成等差數列，由等差數列求和公式求得利息和，再加上本金即可求解.【詳解】由題意知，還的次數為次，每次付款本金均為50萬元，利息依次為構成了一個等差數列，則所還欠款利息總額為萬元，故各次付款的總和為萬元.故選：B.二、多選題4．（2022·全國·高三專題練習）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬元購買一臺小汽車，與銀行約定：這萬元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數為萬元，則（

）A． B．小郭第年還款的現值為萬元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”【答案】BD【分析】因為小郭每年還款錢數相等，所以小郭選擇為“等額本息還款法”，所以利用等比數列前項和公式求出，再設小郭第3年還款的現值為，根據復利規(guī)則求出．【詳解】解：小郭與銀行約定，每年還一次欠款，并且每年還款的錢數都相等，小郭靖選擇的還款方式為“等額本息還款法”，故D正確，C錯誤，設每年應還元，還款10次，則該人10年還款的現金與利息和為，銀行貸款元10年后的本利和為．，，即，故A錯誤．設小郭第三年還款的現值為，則，所以，故B正確；故選：BD5．（2022·全國·高三專題練習）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（

）（參考數據：，計算結果取整數）A．選擇方式①，若第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，則小張該筆貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇方式①【答案】ACD【分析】等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，記為，則，，等額本息還款方式中，設小張每月還款額為元，則，分別利用等差數列、等比數列模型研究，依次判斷即可【詳解】對于A，由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，記為，表示數列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為（元），故A正確.對于B，設小張每月還款額為元，則，所以，即，故B錯誤.對于C，小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），故C正確.對于D，因為，所以從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇方式①，故D正確.故選：ACD三、填空題6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實驗中學校考階段練習）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現計劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款______．【答案】【分析】根據等比數列求和公式即得.【詳解】由題意得，，.故答案為：.7．（2022·全國·高三專題練習）趙先生準備通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個月所要還款的錢數為______元．（精確到元，參考數據）【答案】【分析】本題首先可設每一期所還款數為元，然后結合題意列出每期所還款本金，并根據貸款5000元列出方程，最后借助等比數列前項和公式進行計算即可得出結果.【詳解】設每一期所還款數為元，因為貸款的月利率為，所以每期所還款本金依次為、、、、，則，即，，，，小明每個月所要還款約元，故答案為：.四、解答題8．（2022·浙江·高三專題練習）已知某新型水稻產量的年增長率為．某糧食種植基地計劃種植該品種水稻．已知該基地2020年儲有該品種水稻的產量為15萬噸．現計劃從下一年（2021年）起，每年年初種植，年底從中分出固定的產量用于銷售，15年后清空種植并更換種植品種．設年后該品種水稻的剩余產量為萬噸．(1)設每年用于銷售的產量為萬噸，請用和表示；(2)求（用表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意可得的遞推關系，從而可求的通項公式.（2）根據15年后清空種植并更換種植品種結合（1）的結果可得可求.(1)由題設可得，且，故，故，故，而符合該式，故.(2)由（1）可得，因為15年后清空種植并更換種植品種，故，所以，故.9．（2022·全國·高三專題練習）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數據：．（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度考慮，小張應選擇哪種還款方式．【答案】（1）（元）；（2）小張申請該筆貸款能夠獲批；（3）小張應選擇等額本金的還款方式．【分析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，即可由等差數列的前項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，設小張每月還款額為元，由等比數列求和公式及參考數據，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成等差數列，記為，用表示數列的前項和，則，，則，故小張的該筆貸款的總利息為（元）．（2）設小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），因為，所以從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇等額本金的還款方式．題型二：產值增長一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）科技創(chuàng)新離不開科研經費的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標.“十三五”時期我國科技實力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國全社會研發(fā)經費投入達到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎研究經費投入占研發(fā)經費投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會研發(fā)經費投入年均增長要大于7%，到2025年基礎研究經費占比要達到8%以上，請估計2025年我國基礎研究經費為（

）A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右【答案】D【分析】由題意可知，2025年我國全社會研發(fā)經費投入不得低于,再根據2025年基礎研究經費占比要達到8%以上，即可求出2025年我國基礎研究經費的最低值，從而選出正確選項.【詳解】由題意可知，2025年我國全社會研發(fā)經費投入不得低于億元，又因為2025年基礎研究經費占比要達到8%以上，所以2025年我國基礎研究經費不得低于億元故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎金的衰分比為，若分得獎金1000元，則，所分得獎金分別為800元和640元.某科研所四位技術人員甲、乙、丙、丁攻關成功，共獲得單位獎勵68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎金，且甲與丙共獲得獎金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元【答案】B【解析】設“衰分比”為，甲獲得的獎金為，聯立方程解得，得到答案.【詳解】設“衰分比”為，甲獲得的獎金為，則.，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.3．（2023·全國·高三專題練習）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農產品、土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優(yōu)價廉，上市后供不應求，據測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底街繳房租800元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù)，預計2020年小王的農產品加工廠的年利潤為（

）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元【答案】C【解析】設1月月底小王手中有現款為元，月月底小王手中有現款為，月月底小王手中有現款為，由題意可知，所以數列是首項為4800，公比為1.2的等比數列，求出即得解.【詳解】設1月月底小王手中有現款為元，月月底小王手中有現款為，月月底小王手中有現款為，則，即，所以數列是首項為4800，公比為1.2的等比數列，，即，年利潤為元，故選：C【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是根據遞推關系構造數列，求出新數列的通項關系.4．（2021秋·江蘇淮安·高三江蘇省盱眙中學?？计谥校?020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產為了實現5年后投入再生產的資金達到800萬元的目標，每年應扣除的消費資金至多為（

）（單位：萬元，結果精確到萬元）（參考數據：，）A．83 B．60 C．50 D．44【答案】B【分析】由題可知5年后投入再生產的資金為：，即求.【詳解】設每年應扣除的消費資金為萬元，則1年后投入再生產的資金為：，2年后投入再生產的資金為：，5年后投入再生產的資金為：∴，∴.故選：B5．（2022·全國·高三專題練習）為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經濟”為響應國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關政策去鼓勵“地攤經濟”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進貨.因質優(yōu)價廉，供不應求，據測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費1000元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2021年5月底該攤主的年所得收入為（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元【答案】B【分析】設攤主6月底手中現款為，n月月底攤主手中的現款為，n+1月月底攤主手中的現款為，則可得二者之間的關系，構造新數列成等比數列，求解，即可得到答案．【詳解】設，從6月份起每月底用于下月進貨的資金依次記為，，…，，，同理可得，所以，而，所以數列是等比數列，公比為1.2，所以，，∴總利潤為，故選:B．二、多選題6．（2022·全國·高三專題練習）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的農產品土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優(yōu)價廉，上市后供不應求，據測算每月獲得的利潤是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).設第月月底小王手中有現款為，則下列論述正確的有（

）(參考數據：)A．B．C．2020年小王的年利潤為40000元D．兩年后，小王手中現款達41萬【答案】BCD【分析】由題可知，月月底小王手中有現款為，月月底小王手中有現款為之間的遞推關系為，，進而根據遞推關系求出通項公式即可得答案.【詳解】對于A選項，元，故A錯誤對于B選項，第月月底小王手中有現款為，則第月月底小王手中有現款為，由題意故B正確；對于C選項，由得所以數列是首項為公比為1.2的等比數列，所以，即所以2020年小王的年利潤為元，故C正確；對于D選項，兩年后，小王手中現款為元，即41萬，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查數列的實際應用，考查知識遷移與應用能力，是中檔題.本題解題的關鍵是根據已知數學生活情境，建立數列遞推關系的數學模型，，進而根據數學模型討論各選項.三、解答題7．（2022·上海金山·統考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達，每年年底把除運營成本萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.(1)若，在第3年年底扣除運營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？(2)每年的運營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運營成本后資金達到3000萬元？（結果精確到萬元）【答案】(1)936萬元(2)3000萬元【分析】（1）用表示第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，然后根據已知計算可得；（2）由已知寫出，然后由求得的范圍．【詳解】（1）記為第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，則，故第3年年底扣除運營成本后直播平臺的資金為936萬元.（2），由，得，故運營成本最多控制在萬元，才能使得直播平臺在第6年年底扣除運營成本后資金達到3000萬元.8．（2022秋·山東濟寧·高三?？茧A段練習）某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年比上一年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設表示前n年的純利潤（前n年的總收入前n年的總支出投資額）．(1)從第幾年開始獲得純利潤？(2)若五年后，該臺商為開發(fā)新項目，決定出售該廠，現有兩種方案：①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．問哪種方案較合算？【答案】(1)第三年；(2)選擇第①種方案.【分析】（1）由題意寫出的表達式，獲得純利潤就是要求，求解即可；（2）分別求出兩種情況下的總利潤以及所需時間，經過對比，可選出較為合算的方案.（1）由題意，知每年的經費構成了以12為首項，4為公差的等差數列，則，獲得純利潤就是要求，即，解得．又，故從第三年開始獲得純利潤；（2）①年平均利潤為，當且僅當時取等號，故此方案獲利（萬美元），此時．②，當時，．故此方案共獲利（萬美元）．比較兩種方案，在獲利相同的前提下，第①種方案只需六年，第②種方案需要十年，故選擇第①種方案．9．（2022·全國·高三專題練習）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國務院辦公廳發(fā)布《關于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內多個城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關政策或征求意見稿．為了響應國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房．預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米．(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米?(2)到哪一年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?【答案】(1)2030；(2)2026﹒【分析】(1)設保障性租賃住房面積形成數列，由題意可知，是等差數列，其中，，結合等差數列的前項和公式，即可求解．(2)設新建住房面積形成數列，由題意可知，是等比數列，其中，，則可得的通項公式，通過求解不等式，即可求解．（1）設保障性租賃住房面積形成數列，由題意可知，是等差數列，其中，，則，令≥475，即，而為正整數，解得，故到2030年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米；（2）設新建住房面積形成數列，由題意可知，是等比數列，其中，，則，由題意知，，則，滿足上式不等式的最小正整數，故到2026年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于．10．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設備老化等原因,企業(yè)的生產能力將逐年下降.若不進行技術改造,預測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術改造資金的情況下,預計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元;進行技術改造后,在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元,進行技術改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預測,從2016年起該企業(yè)至少經過多少年,進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤?【答案】(1),(2),(3)至少經過4年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤.【分析】(1)利用等差數列、等比數列的通項公式求和(2)是數列的前項和，是數列的前項和減去600，利用等差數列和等比數列的前項和公式求出即可(3)作差，利用函數的單調性，即可得出結論【詳解】(1)由題意得是等差數列，所以由題意得所以所以是首項為250，公比為的等比數列所以所以(2)是數列的前項和所以是數列的前項和減去600，所以(3)易得此函數當時單調遞增且時時所以至少經過4年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤.【點睛】本題考查的是數列的綜合知識，包含通項公式的求法、前n項和的求法及數列的單調性.11．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）某化工廠從今年一月起，若不改善生產環(huán)境，按生產現狀，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月增加2萬元．如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設備（改造設備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據測算，添加回收凈化設備并投產后的前5個月中的累計生產凈收入是生產時間個月的二次函數（是常數），且前3個月的累計生產凈收入可達309萬，從第6個月開始，每個月的生產凈收入都與第5個月相同．同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元．（1）求前8個月的累計生產凈收入的值；（2）問經過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入．【答案】（1）；（2）經過9個月投資開始見效．【詳解】試題分析:（1）根據g（3）得到k，再計算g（5）和g（5）﹣g（4），而g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]，從而得到結果；（2）求出投資前后前n個月的總收入，列不等式解出n的范圍即可．試題解析（1）據題意，解得，第5個月的凈收入為萬元，所以，萬元（2）即要想投資開始見效，必須且只需，即當時，即不成立；當時，即，驗算得，時，所以，經過9個月投資開始見效．題型三：數列新定義一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，即，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”.記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據斐波那契數列的性質進行求解即可.【詳解】由，得.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）在數學和許多分支中都能見到很多以瑞士數學家歐拉命名的常數?公式和定理，如：歐拉函數（）的函數值等于所有不超過正整數n且與n互素的正整數的個數，（互素是指兩個整數的公約數只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數列的前n項和，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據歐拉函數定義得出，然后由錯位相減法求得和，從而可得．【詳解】因為與互素的數為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①②得，則.于是.故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習）01周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數，使得成立，則稱其為01周期序列，并稱滿足的最小正整數為這個序列的周期.對于周期為的01序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的01序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據新定義，逐一檢驗即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數列的新定義問題，涉及到周期數列，考查學生對新定義的理解能力以及數學運算能力，是一道中檔題.4．（2023·全國·高三專題練習）對于數列，若存在正數，使得對一切正整數，恒有，則稱數列有界；若這樣的正數不存在，則稱數列無界，已知數列滿足：，，記數列的前項和為，數列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A．當時，數列有界 B．當時，數列有界C．當時，數列有界 D．當時，數列有界【答案】B【分析】當時，構造新函數，利用導數判斷其單調性，進而得出，由此判斷A;構造函數，判斷其單調性，推出，進而得到，從而說明，判斷B;當時，說明成立，從而判斷C,D.【詳解】當時，令，則，當時，，故，因為，則，所以，（這是因為），令，則，故時單調遞增函數，故，則，假設，則，故由歸納法可得成立，所以，故數列無界，故A錯；又由，設則，故遞減，則，所以，則，則，故，則，故，即當時，數列有界，故B正確當時，，由，，假設，則，即成立，所以此時都無界，故C,D錯誤；【點睛】本題給定數列的新定義，要求能根據定義去判斷數列是否符合要求，其中涉及到構造函數，并判斷函數的單調性等問題，較為復雜，比較困難.5．（2022·浙江·高三專題練習）已知數列滿足，記表示數列的前n項乘積.則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用數學歸納法證明.構造函數，利用導數證明出.記，證明出得到，即，用累加法得：，即可求出.記，證明出.得到，求出，即可得到.【詳解】因為，所以.下面用數學歸納法證明.當n=1時，符合.假設時，結論成立，即.當時，，所以顯然成立；因為，所以，所以，即，所以結論成立.綜上所述：對任意的均成立.記函數..因為，所以（x=1取等號），所以在單調遞增，所以，即，所以，即，所以數列為單調遞增函數，所以.記，則（x=1取等號），所以在上單調遞增，所以，即.所以，所以，所以，累加得：.因為，所以，即，所以，所以，即.記，則，所以在上單調遞減，所以，即.所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以即.綜上所述：.故選：C【點睛】（1）數學歸納法可以用來證明與自然數n有關的問題；（2）利用導數證明不等式，常用的思路層次有三個:其一直接構造函數利用導數證明；其二直接做差構造函數利用導數證明；其三先做適當的變換后再做差構造函數利用導數證明.二、多選題6．（2023·全國·高三專題練習）設正整數，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.7．（2022·全國·高三專題練習）在數學課堂上，教師引導學生構造新數列：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.將數列1,2進行構造，第1次得到數列1,3,2；第2次得到數列1,4,3,5,2；…；第次得到數列1，，2；…記，數列的前項為，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據數列的構造方法先寫出前面幾次數列的結果，尋找規(guī)律，再進行推理運算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數列1,3,2，此時第2次得到數列1,4,3,5,2，此時第3次得到數列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時第4次得到數列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時第次得到數列1，，2此時所以，故A項正確；結合A項中列出的數列可得：用等比數列求和可得則又所以，故B項正確；由B項分析可知即，故C項錯誤.，故D項正確.故選：ABD.【點睛】本題需要根據數列的構造方法先寫出前面幾次數列的結果，尋找規(guī)律，對于復雜問題，著名數學家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學好數學的一個訣竅.所以對于復雜問題我們應該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進的思想.8．（2022·福建南平·統考三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數列的前項和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個點對應的這項的和為0，則，同時第圈的最后一個點對應坐標為，設在第圈，則圈共有個數，可判斷前圈共有個數，所在點的坐標為，向前推導，則可判斷A，B選項；當時，所在點的坐標為，即可判斷C選項；借助與圖可知，即項之和，對應點的坐標為，，…，，即可求解判斷D選項.【詳解】由題，第一圈從點到點共8個點，由對稱性可知；第二圈從點到點共16個點，由對稱性可知，即，以此類推，可得第圈的個點對應的這項的和為0，即，設在第圈，則，由此可知前圈共有個數，故，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故A正確；，故B正確；所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故C錯誤；，對應點的坐標為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：觀察圖形，利用對稱性求解問題，對D選項，考慮已知的前項和與所求的關系，結合圖形，可適當先列舉找到規(guī)律，再求解.三、雙空題9．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）數學家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率．由，取3為弱率，4為強率，得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，……．若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，已知，則________；________．【答案】

6

【分析】根據題意不斷計算即可解出．【詳解】因為為強率，由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為強率，所以；由可得，，即為弱率；由可得，．故答案為：6；．四、解答題10．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學校考階段練習）設p為實數.若無窮數列滿足如下三個性質，則稱為數列：①，且；②；③，．（1）如果數列的前4項為2，2，2，1，那么是否可能為數列？說明理由；（2）若數列是數列，求；（3）設數列的前項和為.是否存在數列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．【答案】（1）不可以是數列；理由見解析；（2）；（3）存在；．【分析】(1)由題意考查的值即可說明數列不是數列；(2)由題意首先確定數列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構造數列，易知數列是的，結合(2)中的結論求解不等式即可確定滿足題意的實數的值.【詳解】(1)因為所以，因為所以所以數列，不可能是數列.(2)性質①，由性質③，因此或，或，若，由性質②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當，則前四項為:0，0，0，1，下面用數學歸納法證明：當時，經驗證命題成立，假設當時命題成立，當時：若，則，利用性質③：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因為，有即當時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質③可知：，由于，因此數列為數列.由（2）可知:若；，，因此，此時，，滿足題意.【點睛】本題屬于數列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.11．（2022·全國·高三專題練習）已知是無窮數列．給出兩個性質：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數列是否滿足性質①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數列是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：為等比數列.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.【分析】(Ⅰ)根據定義驗證，即可判斷；(Ⅱ)根據定義逐一驗證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數列中的項數同號，然后證明，最后，用數學歸納法證明數列為等比數列即可.解法二：首先假設數列中的項數均為正數，然后證得成等比數列，之后證得成等比數列，同理即可證得數列為等比數列，從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有性質①；(Ⅱ)具有性質①；具有性質②；(Ⅲ)解法一首先，證明數列中的項數同號，不妨設恒為正數：顯然，假設數列中存在負項，設，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數列的單調性矛盾，假設不成立.第二種情況：若，由①知存在實數，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數列的單調性可知：，這與的定義矛盾，假設不成立.同理可證得數列中的項數恒為負數.綜上可得，數列中的項數同號.其次，證明：利用性質②：取，此時，由數列的單調性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數學歸納法證明數列為等比數列：假設數列的前項成等比數列，不妨設，其中，（的情況類似）由①可得：存在整數，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數列的單調性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結合數列的單調性有：，注意到均為整數，故，代入（**）式，從而.總上可得，數列的通項公式為：.即數列為等比數列.解法二：假設數列中的項數均為正數：首先利用性質②：取，此時，由數列的單調性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數列，不妨設，然后利用性質①：取，則，即數列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數列的單調性可知，在性質②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設矛盾；若，則：，與假設矛盾；若，則：，與數列的單調性矛盾；即不存在滿足題意的正整數，可見不成立，從而，然后利用性質①：取，則數列中存在一項，下面我們用反證法來證明，否則，由數列的單調性可知，在性質②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，即由②可知：，若，則，與假設矛盾；若，則，與假設矛盾；若，由于為正整數，故，則，與矛盾；綜上可知，假設不成立，則.同理可得：，從而數列為等比數列，同理，當數列中的項數均為負數時亦可證得數列為等比數列.由推理過程易知數列中的項要么恒正要么恒負，不會同時出現正數和負數.從而題中的結論得證，數列為等比數列.【點睛】本題主要考查數列的綜合運用，等比數列的證明，數列性質的應用，數學歸納法與推理方法、不等式的性質的綜合運用等知識，意在考查學生的轉化能力和推理能力.12．（2022·全國·高三專題練習）已知為有窮整數數列．給定正整數m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數列？是否為連續(xù)可表數列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數列；不是連續(xù)可表數列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據和的個數易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負數，再確定負數只能是，然后分類討論驗證不行即可．（1），，，，，所以是連續(xù)可表數列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數列．（2）若,設為,則至多，6個數字，沒有個，矛盾；當時,數列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數，矛盾,從而若,則，至多可表個數，而，所以其中有負的，從而可表1~20及那個負數（恰21個），這表明中僅一個負的，沒有0，且這個負的在中絕對值最小，同時中沒有兩數相同,設那個負數為，則所有數之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對①：，矛盾，對②：，也矛盾，綜上，當時，數列滿足題意，．【點睛】關鍵點睛，先理解題意，是否為可表數列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數否定；第三問先通過和值的可能個數否定，再驗證時，數列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數不合題．13．（2023·全國·高三專題練習）設為正整數，若無窮數列滿足，則稱為數列.(1)數列是否為數列？說明理由；(2)已知其中為常數.若數列為數列，求；(3)已知數列滿足，，，求.【答案】(1)是數列，理由見解析；(2)；(3).【分析】(1)根據數列的性質判斷即可；(2)根據數列的性質，求出即可；(3)根據數列的性質，利用所給的條件，合理演繹即可.【詳解】（1）∵，∴，符合的定義，故數列是數列；（2）依題意，，，因為是數列，，①，②,由①②兩式解得.（3）∵是數列，，，①，，②，，由①②得又因為，，所以.同理解得.∴猜想是等差數列，則，公差，所以數列通項公式為.下面再證明數列為滿足條件的唯一數列.因為，則，假設存在使得不成立，且此時最小的為，則，，，因為，所以，與假設想矛盾，所以，恒成立，所以.下面證明數列為數列；檢驗：，∴是數列；，∴是數列；，∴是數列，并且，（），∴，符合題意，故.14．（2023·北京海淀·高三101中學?？茧A段練習）如果無窮數列是等差數列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱數列是“數列”.(1)下列無窮等差數列中，是“數列”的為___________；（直接寫出結論）、、、、、、、、、、、、(2)證明：若數列是“數列”，則且公差；(3)若數列是“數列”且其公差為常數，求的所有通項公式.【答案】(1)、(2)證明見解析(3)或【分析】（1）根據“數列”的定義可得出結論；（2）驗證成立，利用①②推導出，假設，可得出等差數列是遞減數列，結合①得出，結合可得出或，，再結合不等式的基本性質以及數列的單調性推出矛盾，從而說明不成立，即可證得結論成立；（3）由（2）知，，可得知數列是遞增數列，推導出不成立，可得出，分、兩種情況討論，驗證、滿足①②，即可得出結果.【詳解】（1）解：由“數列”的定義可知，數列、為“數列”.（2）證明：若，則由①可知，所以或，且公差，以下設.由①，、，，，兩式作差得，因為，所以.由①，、，，，兩式作差得，因為，所以，因此，.若，則等差數列是遞減數列，由①為中的項，因此，，解得，由且公差，所以或，，，由①，為中的項，且，這與等差數列遞減矛盾，因此，不成立.綜上，且公差.（3）解：因為公差，所以，即是遞增數列.若，因為，所以，則，且，由①為中的項，這與等差數列是遞增數列矛盾.因此，，又由（2），故.由，知，且中存在一項為正整數，取最小的正整數項.則由②，，使得且，.因此，解得，又，故.因為是遞增數列，（i）若，則，此時.因為，，令，有，且，所以滿足條件①.因為，令，有，所以滿足條件②.（ii）若，則，.因為，.令，則，且，所以滿足條件①.因為，令，，有，所以滿足條件②.綜上，或.【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列的新定義“數列”，在第二問的證明中，可采取反證法證明不成立，結合數列的單調性可證出結論；在第三問的求解，要注意對是否為零進行分類討論，結合①②進行驗證即可.15．（2023·全國·高三專題練習）已知數列：，，…，，其中是給定的正整數，且.令，，，，，.這里，表示括號中各數的最大值，表示括號中各數的最小值.(1)若數列：2，0，2，1，4，2，求，的值；(2)若數列是首項為1，公比為的等比數列，且，求的值；(3)若數列是公差的等差數列，數列是數列中所有項的一個排列，求的所有可能值（用表示）.【答案】(1)，；(2)；(3)所有可能值為.【分析】（1）根據函數定義寫出，即可.（2）討論數列A的項各不相等或存在相等項，當各項都不相等，根據題設定義判斷，當存在相等項，由等比數列通項公式求q，進而確定的值；（3）利用數列A的單調性結合（2）的結論求的取值范圍，估計所有可能取值，再應用分類討論求證對應所有可能值均可取到，即可得結果.【詳解】（1）由題設，，，，則，，，，則，所以，.（2）若數列任意兩項均不相等，當時；當且時，，又，，此時；綜上，，故，不合要求；要使，即存在且使，即，又，則，當，則，不合要求；當，則，滿足題設；綜上，.（3）由題設數列單調遞增且，由（2）知：，根據題設定義，存在且，，則，由比數列中個項大，，同理，所以；又至少比數列中一項小，，同理，所以；綜上，.令數列，下證各值均可取到，ⅰ、當，而數列遞增，，且，此時，，，則；ⅱ、當時，，則，當且時，令，則，所以，，此時；ⅲ、給定，令()且()，則()，()，又數列遞增，，()，()，所以，此時且，故，綜上，.【點睛】關鍵點點睛：第三問，首先根據數列的單調性和定義求的取值范圍，再由定義結合分類討論求證范圍內所有可能值都可取到.16．（2022·北京·?？既＃τ跀盗校?，…，，定義變換，將數列變換成數列，，…，，，記，，．對于數列，，…，與，，…，，定義．若數列，，…，滿足，則稱數列為數列．(1)若，寫出，并求；(2)對于任意給定的正整數，是否存在數列，使得若存在，寫出一個數列，若不存在，說明理由：(3)若數列滿足，求數列A的個數．【答案】(1)；；(2)不存在適合題意的數列；(3).【分析】（1）利用變換的定義即；（2）利用數列的定義，記中有個，有個，則，進而即得；（3）由題可得，進而可得，然后結合條件即得.（1）由，可得，，∴；（2）∵，由數列A為數列，所以，對于數列，，…，中相鄰的兩項，令，若，則，若，則，記中有個，有個，則，因為與的奇偶性相同，而與的奇偶性不同，故不存在適合題意的數列；（3）首先證明，對于數列，，…，，有，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，∵，，∴，故，其次，由數列為數列可知，，解得，這說明數列中任意相鄰兩項不同的情況有2次，若數列中的個數為個，此時數列有個，所以數列的個數為個.【點睛】數學中的新定義題目解題策略：①仔細閱讀，理解新定義的內涵；②根據新定義，對對應知識進行再遷移.題型四：數列不等式一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.

二、多選題2．（2022·河北·模擬預測）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現代數學的基礎，著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現是一個等比數列，按照等比數列的性質逐一驗證即可，其中B選項是化簡成一個等差數列進行判斷，CD兩個選項需要利用數列的單調性進行判斷，尤其是D選項，需要構造新數列，利用做差法驗證單調性.【詳解】由題可知，；，；，由此可知，即一個等比數列；A：，A錯誤；B：，因為，所以該數列為遞減數列，又因為當時，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當時，，原式成立；當時，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因為，所以取，由此可知時；時，故為最大值，，根據單調性，即不恒成立，D錯誤.故選：BC3．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學考試）在數列中，對于任意的都有，且，則下列結論正確的是（

）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數列不可能為常數列C．若，則數列為遞增數列D．若，則當時，【答案】ACD【分析】A由遞推式有上，結合恒成立，即可判斷：B反證法：假設為常數列，根據遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數列單調性，即可判斷.【詳解】A：由，對有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數列且，則滿足，錯誤；C：由且，當時，此時且，數列遞增；當時，此時，數列遞減；所以時數列為遞增數列，正確；D：由C分析知：時且數列遞減，即時，正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：選項B應用反證法，假設為常數列求通項，判斷是否與矛盾；對于C、D，將遞推式變形為，討論、時研究數列的單調性.4．（2022秋·福建泉州·高三校聯考期中）數列滿足，數列的前n項和記為，則下列說法正確的是（

）A．任意 B．任意C．任意 D．任意【答案】BCD【分析】B：由題設得且，，討論大小關系，結合給定條件即可判斷；A：根據B的結論及，易知隨n變化的趨勢，并構造求得，即可判斷；C：由A分析結果及即可判斷；結合C可判斷D.【詳解】由，且，又，故，，則，當時，則，即，顯然與矛盾；當時，則，即，顯然與矛盾；所以且，即遞增，B正確；由，根據B結論知：隨n的增大，無限趨近于0，則無限接近于1，又，令且遞增，則，即，綜上，，A錯誤；由，根據A的結論有，又，可得，所以，即，綜上，，C正確；由C結論知：所以成立，D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：利用已知條件，將各項結論作轉化，并應用分類討論、極限、函數思想判斷數列不等式是否恒成立.5．（2022·浙江紹興·統考模擬預測）已知正項數列，對任意的正整數m、n都有，則下列結論可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC選項，可以通過令，從而得到矛盾，對于D，可通過特例判斷其有可能成立.【詳解】對于A，可取，此時，所以，與為正項數列矛盾，舍去；對于C，可取，此時，所以，與為正項數列矛盾，舍去；對于B，可取，則，所以，即，故累加后可得，整理得到，時，也符合該式，從而.此時，故成立，若成立，取，則，但此時，，不成立，故B錯誤.對于D，可令，則，當且僅當時等號成立，滿足題干條件，此時，，故D選項可能成立故選：D【點睛】對于數列相關的不等問題，要結合題干條件進行適當變形，利用基本不等式或導函數進行求解.三、雙空題6．（2022秋·北京昌平·高三昌平一中?？茧A段練習）已知數列對任意的，都有，且．①當時，_________．②若存在，當且為奇數時，恒為常數P，則P＝_________．【答案】

2

1【分析】根據通項公式確定的周期性即可求，由題設可得，討論的奇偶性確定后續(xù)數列出現奇數項與相等，列方程求P的值.【詳解】由題設通項公式，可得，故從第二項開始形成周期為3的數列，而，故．當時，為奇數時為偶數，故；若為奇數，由，故，不滿足；若為偶數，則直到為奇教，有，故，當時滿足條件，此時，即，故答案為：2，1【點睛】關鍵點點睛：討論的奇偶性，判斷數列后續(xù)出現的奇數項與相等時是否為奇數.四、解答題7．（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為Sn，滿足．(1)求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)若不等式2對任意的正整數n恒成立，求實數λ的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）利用得，變形得，則可證明等比數列，根據等比數列的通項公式可得答案；（3）令，通過計算的正負，求出的最大值，將題目轉化為，解不等式即可.【詳解】（1）①②①②得，即，變形可得，又，得故數列是以1為首項，為公比的等比數列，由等比數列的通項公式可得，.（2）令，則當或時，，當時，又，，因為不等式對任意的正整數恒成立，，解得.8．（2023·全國·高三專題練習）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數列的公差為，根據題意列出方程組即可