第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用新定義不等式（四種題型）-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)熱點重難點題型解題方法與策略真題演練（新高考專用）

第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用、新定義、不等式（四種題型）【熱點、重難點題型】題型一：分期付款一、單選題1．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【分析】計算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則，故選：D2．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計算，則該顧客每個月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)每月還款元，每月還款按得利計算，11次還款的本利和等于銀行貸款按復(fù)利計算的本利和，由此可得．【詳解】設(shè)每月還款元，共還款11個月，所以，．故選：A．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率，當(dāng)付清全部房款時，各次付款的總和為（

）A．1205萬元 B．1255萬元 C．1305萬元 D．1360萬元【答案】B【分析】判斷出每次還款利息構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式求得利息和，再加上本金即可求解.【詳解】由題意知，還的次數(shù)為次，每次付款本金均為50萬元，利息依次為構(gòu)成了一個等差數(shù)列，則所還欠款利息總額為萬元，故各次付款的總和為萬元.故選：B.二、多選題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬元購買一臺小汽車，與銀行約定：這萬元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”【答案】BD【分析】因為小郭每年還款錢數(shù)相等，所以小郭選擇為“等額本息還款法”，所以利用等比數(shù)列前項和公式求出，再設(shè)小郭第3年還款的現(xiàn)值為，根據(jù)復(fù)利規(guī)則求出．【詳解】解：小郭與銀行約定，每年還一次欠款，并且每年還款的錢數(shù)都相等，小郭靖選擇的還款方式為“等額本息還款法”，故D正確，C錯誤，設(shè)每年應(yīng)還元，還款10次，則該人10年還款的現(xiàn)金與利息和為，銀行貸款元10年后的本利和為．，，即，故A錯誤．設(shè)小郭第三年還款的現(xiàn)值為，則，所以，故B正確；故選：BD5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，則小張該筆貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①【答案】ACD【分析】等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為，則，，等額本息還款方式中，設(shè)小張每月還款額為元，則，分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列模型研究，依次判斷即可【詳解】對于A，由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為（元），故A正確.對于B，設(shè)小張每月還款額為元，則，所以，即，故B錯誤.對于C，小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），故C正確.對于D，因為，所以從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①，故D正確.故選：ACD三、填空題6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款______．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式即得.【詳解】由題意得，，.故答案為：.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）趙先生準(zhǔn)備通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個月所要還款的錢數(shù)為______元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）【答案】【分析】本題首先可設(shè)每一期所還款數(shù)為元，然后結(jié)合題意列出每期所還款本金，并根據(jù)貸款5000元列出方程，最后借助等比數(shù)列前項和公式進(jìn)行計算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)每一期所還款數(shù)為元，因為貸款的月利率為，所以每期所還款本金依次為、、、、，則，即，，，，小明每個月所要還款約元，故答案為：.四、解答題8．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知某新型水稻產(chǎn)量的年增長率為．某糧食種植基地計劃種植該品種水稻．已知該基地2020年儲有該品種水稻的產(chǎn)量為15萬噸．現(xiàn)計劃從下一年（2021年）起，每年年初種植，年底從中分出固定的產(chǎn)量用于銷售，15年后清空種植并更換種植品種．設(shè)年后該品種水稻的剩余產(chǎn)量為萬噸．(1)設(shè)每年用于銷售的產(chǎn)量為萬噸，請用和表示；(2)求（用表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得的遞推關(guān)系，從而可求的通項公式.（2）根據(jù)15年后清空種植并更換種植品種結(jié)合（1）的結(jié)果可得可求.(1)由題設(shè)可得，且，故，故，故，而符合該式，故.(2)由（1）可得，因為15年后清空種植并更換種植品種，故，所以，故.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，試計算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數(shù)據(jù)：．（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式．【答案】（1）（元）；（2）小張申請該筆貸款能夠獲批；（3）小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式．【分析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成等差數(shù)列，記為，用表示數(shù)列的前項和，則，，則，故小張的該筆貸款的總利息為（元）．（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），因為，所以從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式．題型二：產(chǎn)值增長一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）科技創(chuàng)新離不開科研經(jīng)費的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標(biāo).“十三五”時期我國科技實力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國全社會研發(fā)經(jīng)費投入達(dá)到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎(chǔ)研究經(jīng)費投入占研發(fā)經(jīng)費投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會研發(fā)經(jīng)費投入年均增長要大于7%，到2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費占比要達(dá)到8%以上，請估計2025年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費為（

）A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右【答案】D【分析】由題意可知，2025年我國全社會研發(fā)經(jīng)費投入不得低于,再根據(jù)2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費占比要達(dá)到8%以上，即可求出2025年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費的最低值，從而選出正確選項.【詳解】由題意可知，2025年我國全社會研發(fā)經(jīng)費投入不得低于億元，又因為2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費占比要達(dá)到8%以上，所以2025年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費不得低于億元故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎金的衰分比為，若分得獎金1000元，則，所分得獎金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎勵68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎金，且甲與丙共獲得獎金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元【答案】B【解析】設(shè)“衰分比”為，甲獲得的獎金為，聯(lián)立方程解得，得到答案.【詳解】設(shè)“衰分比”為，甲獲得的獎金為，則.，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品、土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底街繳房租800元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為（

）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元【答案】C【解析】設(shè)1月月底小王手中有現(xiàn)款為元，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意可知，所以數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，求出即得解.【詳解】設(shè)1月月底小王手中有現(xiàn)款為元，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為，則，即，所以數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，，即，年利潤為元，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列，求出新數(shù)列的通項關(guān)系.4．（2021秋·江蘇淮安·高三江蘇省盱眙中學(xué)?？计谥校?020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費資金至多為（

）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．44【答案】B【分析】由題可知5年后投入再生產(chǎn)的資金為：，即求.【詳解】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費資金為萬元，則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：，2年后投入再生產(chǎn)的資金為：，5年后投入再生產(chǎn)的資金為：∴，∴.故選：B5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年5月底該攤主的年所得收入為（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元【答案】B【分析】設(shè)攤主6月底手中現(xiàn)款為，n月月底攤主手中的現(xiàn)款為，n+1月月底攤主手中的現(xiàn)款為，則可得二者之間的關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列成等比數(shù)列，求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)，從6月份起每月底用于下月進(jìn)貨的資金依次記為，，…，，，同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.2，所以，，∴總利潤為，故選:B．二、多選題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（

）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達(dá)41萬【答案】BCD【分析】由題可知，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為之間的遞推關(guān)系為，，進(jìn)而根據(jù)遞推關(guān)系求出通項公式即可得答案.【詳解】對于A選項，元，故A錯誤對于B選項，第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則第月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意故B正確；對于C選項，由得所以數(shù)列是首項為公比為1.2的等比數(shù)列，所以，即所以2020年小王的年利潤為元，故C正確；對于D選項，兩年后，小王手中現(xiàn)款為元，即41萬，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查數(shù)列的實際應(yīng)用，考查知識遷移與應(yīng)用能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)學(xué)生活情境，建立數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，，進(jìn)而根據(jù)數(shù)學(xué)模型討論各選項.三、解答題7．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達(dá)，每年年底把除運營成本萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.(1)若，在第3年年底扣除運營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？(2)每年的運營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運營成本后資金達(dá)到3000萬元？（結(jié)果精確到萬元）【答案】(1)936萬元(2)3000萬元【分析】（1）用表示第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，然后根據(jù)已知計算可得；（2）由已知寫出，然后由求得的范圍．【詳解】（1）記為第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，則，故第3年年底扣除運營成本后直播平臺的資金為936萬元.（2），由，得，故運營成本最多控制在萬元，才能使得直播平臺在第6年年底扣除運營成本后資金達(dá)到3000萬元.8．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三校考階段練習(xí)）某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年比上一年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設(shè)表示前n年的純利潤（前n年的總收入前n年的總支出投資額）．(1)從第幾年開始獲得純利潤？(2)若五年后，該臺商為開發(fā)新項目，決定出售該廠，現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．問哪種方案較合算？【答案】(1)第三年；(2)選擇第①種方案.【分析】（1）由題意寫出的表達(dá)式，獲得純利潤就是要求，求解即可；（2）分別求出兩種情況下的總利潤以及所需時間，經(jīng)過對比，可選出較為合算的方案.（1）由題意，知每年的經(jīng)費構(gòu)成了以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，則，獲得純利潤就是要求，即，解得．又，故從第三年開始獲得純利潤；（2）①年平均利潤為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故此方案獲利（萬美元），此時．②，當(dāng)時，．故此方案共獲利（萬美元）．比較兩種方案，在獲利相同的前提下，第①種方案只需六年，第②種方案需要十年，故選擇第①種方案．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內(nèi)多個城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關(guān)政策或征求意見稿．為了響應(yīng)國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房．預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米．(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米?(2)到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?【答案】(1)2030；(2)2026﹒【分析】(1)設(shè)保障性租賃住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等差數(shù)列，其中，，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，即可求解．(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等比數(shù)列，其中，，則可得的通項公式，通過求解不等式，即可求解．（1）設(shè)保障性租賃住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等差數(shù)列，其中，，則，令≥475，即，而為正整數(shù)，解得，故到2030年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米；（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等比數(shù)列，其中，，則，由題意知，，則，滿足上式不等式的最小正整數(shù)，故到2026年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為萬元;進(jìn)行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預(yù)測,從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤?【答案】(1),(2),(3)至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.【分析】(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式求和(2)是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和減去600，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式求出即可(3)作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【詳解】(1)由題意得是等差數(shù)列，所以由題意得所以所以是首項為250，公比為的等比數(shù)列所以所以(2)是數(shù)列的前項和所以是數(shù)列的前項和減去600，所以(3)易得此函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增且時時所以至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.【點睛】本題考查的是數(shù)列的綜合知識，包含通項公式的求法、前n項和的求法及數(shù)列的單調(diào)性.11．（2022·上海·高三專題練習(xí)）某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月增加2萬元．如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個月中的累計生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時間個月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個月的累計生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬，從第6個月開始，每個月的生產(chǎn)凈收入都與第5個月相同．同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元．（1）求前8個月的累計生產(chǎn)凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入．【答案】（1）；（2）經(jīng)過9個月投資開始見效．【詳解】試題分析:（1）根據(jù)g（3）得到k，再計算g（5）和g（5）﹣g（4），而g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]，從而得到結(jié)果；（2）求出投資前后前n個月的總收入，列不等式解出n的范圍即可．試題解析（1）據(jù)題意，解得，第5個月的凈收入為萬元，所以，萬元（2）即要想投資開始見效，必須且只需，即當(dāng)時，即不成立；當(dāng)時，即，驗算得，時，所以，經(jīng)過9個月投資開始見效．題型三：數(shù)列新定義一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，（互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項和，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義得出，然后由錯位相減法求得和，從而可得．【詳解】因為與互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①②得，則.于是.故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）01周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為01周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的01序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的01序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，數(shù)列有界 B．當(dāng)時，數(shù)列有界C．當(dāng)時，數(shù)列有界 D．當(dāng)時，數(shù)列有界【答案】B【分析】當(dāng)時，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得出，由此判斷A;構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，推出，進(jìn)而得到，從而說明，判斷B;當(dāng)時，說明成立，從而判斷C,D.【詳解】當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，故，因為，則，所以，（這是因為），令，則，故時單調(diào)遞增函數(shù)，故，則，假設(shè)，則，故由歸納法可得成立，所以，故數(shù)列無界，故A錯；又由，設(shè)則，故遞減，則，所以，則，則，故，則，故，即當(dāng)時，數(shù)列有界，故B正確當(dāng)時，，由，，假設(shè)，則，即成立，所以此時都無界，故C,D錯誤；【點睛】本題給定數(shù)列的新定義，要求能根據(jù)定義去判斷數(shù)列是否符合要求，其中涉及到構(gòu)造函數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性等問題，較為復(fù)雜，比較困難.5．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項乘積.則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用數(shù)學(xué)歸納法證明.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.記，證明出得到，即，用累加法得：，即可求出.記，證明出.得到，求出，即可得到.【詳解】因為，所以.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時，符合.假設(shè)時，結(jié)論成立，即.當(dāng)時，，所以顯然成立；因為，所以，所以，即，所以結(jié)論成立.綜上所述：對任意的均成立.記函數(shù)..因為，所以（x=1取等號），所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.記，則（x=1取等號），所以在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，所以，所以，累加得：.因為，所以，即，所以，所以，即.記，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以即.綜上所述：.故選：C【點睛】（1）數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與自然數(shù)n有關(guān)的問題；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用的思路層次有三個:其一直接構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其二直接做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其三先做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明.二、多選題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項為，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時第次得到數(shù)列1，，2此時所以，故A項正確；結(jié)合A項中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項正確；由B項分析可知即，故C項錯誤.，故D項正確.故選：ABD.【點睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對于復(fù)雜問題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.所以對于復(fù)雜問題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.8．（2022·福建南平·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個點對應(yīng)的這項的和為0，則，同時第圈的最后一個點對應(yīng)坐標(biāo)為，設(shè)在第圈，則圈共有個數(shù)，可判斷前圈共有個數(shù)，所在點的坐標(biāo)為，向前推導(dǎo)，則可判斷A，B選項；當(dāng)時，所在點的坐標(biāo)為，即可判斷C選項；借助與圖可知，即項之和，對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，…，，即可求解判斷D選項.【詳解】由題，第一圈從點到點共8個點，由對稱性可知；第二圈從點到點共16個點，由對稱性可知，即，以此類推，可得第圈的個點對應(yīng)的這項的和為0，即，設(shè)在第圈，則，由此可知前圈共有個數(shù)，故，則，所在點的坐標(biāo)為，則，所在點的坐標(biāo)為，則，所在點的坐標(biāo)為，則，故A正確；，故B正確；所在點的坐標(biāo)為，則，所在點的坐標(biāo)為，則，故C錯誤；，對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：觀察圖形，利用對稱性求解問題，對D選項，考慮已知的前項和與所求的關(guān)系，結(jié)合圖形，可適當(dāng)先列舉找到規(guī)律，再求解.三、雙空題9．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率．由，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計算，……．若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，已知，則________；________．【答案】

6

【分析】根據(jù)題意不斷計算即可解出．【詳解】因為為強(qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率，所以；由可得，，即為弱率；由可得，．故答案為：6；．四、解答題10．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，2，2，1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.【詳解】(1)因為所以，因為所以所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，當(dāng)時：若，則，利用性質(zhì)③：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因為，有即當(dāng)時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，，因此，此時，，滿足題意.【點睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)解法一首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（的情況類似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二：假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項，下面我們用反證法來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，即由②可知：，若，則，與假設(shè)矛盾；若，則，與假設(shè)矛盾；若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；綜上可知，假設(shè)不成立，則.同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負(fù)，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類討論驗證不行即可．（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個負(fù)數(shù)（恰21個），這表明中僅一個負(fù)的，沒有0，且這個負(fù)的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對①：，矛盾，對②：，也矛盾，綜上，當(dāng)時，數(shù)列滿足題意，．【點睛】關(guān)鍵點睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，若無窮數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列.(1)數(shù)列是否為數(shù)列？說明理由；(2)已知其中為常數(shù).若數(shù)列為數(shù)列，求；(3)已知數(shù)列滿足，，，求.【答案】(1)是數(shù)列，理由見解析；(2)；(3).【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)判斷即可；(2)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，求出即可；(3)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，利用所給的條件，合理演繹即可.【詳解】（1）∵，∴，符合的定義，故數(shù)列是數(shù)列；（2）依題意，，，因為是數(shù)列，，①，②,由①②兩式解得.（3）∵是數(shù)列，，，①，，②，，由①②得又因為，，所以.同理解得.∴猜想是等差數(shù)列，則，公差，所以數(shù)列通項公式為.下面再證明數(shù)列為滿足條件的唯一數(shù)列.因為，則，假設(shè)存在使得不成立，且此時最小的為，則，，，因為，所以，與假設(shè)想矛盾，所以，恒成立，所以.下面證明數(shù)列為數(shù)列；檢驗：，∴是數(shù)列；，∴是數(shù)列；，∴是數(shù)列，并且，（），∴，符合題意，故.14．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果無窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)下列無窮等差數(shù)列中，是“數(shù)列”的為___________；（直接寫出結(jié)論）、、、、、、、、、、、、(2)證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則且公差；(3)若數(shù)列是“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求的所有通項公式.【答案】(1)、(2)證明見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義可得出結(jié)論；（2）驗證成立，利用①②推導(dǎo)出，假設(shè)，可得出等差數(shù)列是遞減數(shù)列，結(jié)合①得出，結(jié)合可得出或，，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性推出矛盾，從而說明不成立，即可證得結(jié)論成立；（3）由（2）知，，可得知數(shù)列是遞增數(shù)列，推導(dǎo)出不成立，可得出，分、兩種情況討論，驗證、滿足①②，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：由“數(shù)列”的定義可知，數(shù)列、為“數(shù)列”.（2）證明：若，則由①可知，所以或，且公差，以下設(shè).由①，、，，，兩式作差得，因為，所以.由①，、，，，兩式作差得，因為，所以，因此，.若，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，由①為中的項，因此，，解得，由且公差，所以或，，，由①，為中的項，且，這與等差數(shù)列遞減矛盾，因此，不成立.綜上，且公差.（3）解：因為公差，所以，即是遞增數(shù)列.若，因為，所以，則，且，由①為中的項，這與等差數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾.因此，，又由（2），故.由，知，且中存在一項為正整數(shù)，取最小的正整數(shù)項.則由②，，使得且，.因此，解得，又，故.因為是遞增數(shù)列，（i）若，則，此時.因為，，令，有，且，所以滿足條件①.因為，令，有，所以滿足條件②.（ii）若，則，.因為，.令，則，且，所以滿足條件①.因為，令，，有，所以滿足條件②.綜上，或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的新定義“數(shù)列”，在第二問的證明中，可采取反證法證明不成立，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證出結(jié)論；在第三問的求解，要注意對是否為零進(jìn)行分類討論，結(jié)合①②進(jìn)行驗證即可.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列：，，…，，其中是給定的正整數(shù)，且.令，，，，，.這里，表示括號中各數(shù)的最大值，表示括號中各數(shù)的最小值.(1)若數(shù)列：2，0，2，1，4，2，求，的值；(2)若數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，且，求的值；(3)若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列中所有項的一個排列，求的所有可能值（用表示）.【答案】(1)，；(2)；(3)所有可能值為.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義寫出，即可.（2）討論數(shù)列A的項各不相等或存在相等項，當(dāng)各項都不相等，根據(jù)題設(shè)定義判斷，當(dāng)存在相等項，由等比數(shù)列通項公式求q，進(jìn)而確定的值；（3）利用數(shù)列A的單調(diào)性結(jié)合（2）的結(jié)論求的取值范圍，估計所有可能取值，再應(yīng)用分類討論求證對應(yīng)所有可能值均可取到，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，，，，則，，，，則，所以，.（2）若數(shù)列任意兩項均不相等，當(dāng)時；當(dāng)且時，，又，，此時；綜上，，故，不合要求；要使，即存在且使，即，又，則，當(dāng)，則，不合要求；當(dāng)，則，滿足題設(shè)；綜上，.（3）由題設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且，由（2）知：，根據(jù)題設(shè)定義，存在且，，則，由比數(shù)列中個項大，，同理，所以；又至少比數(shù)列中一項小，，同理，所以；綜上，.令數(shù)列，下證各值均可取到，ⅰ、當(dāng)，而數(shù)列遞增，，且，此時，，，則；ⅱ、當(dāng)時，，則，當(dāng)且時，令，則，所以，，此時；ⅲ、給定，令()且()，則()，()，又?jǐn)?shù)列遞增，，()，()，所以，此時且，故，綜上，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，首先根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和定義求的取值范圍，再由定義結(jié)合分類討論求證范圍內(nèi)所有可能值都可取到.16．（2022·北京·?？既＃τ跀?shù)列，，…，，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列，，…，，，記，，．對于數(shù)列，，…，與，，…，，定義．若數(shù)列，，…，滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若，寫出，并求；(2)對于任意給定的正整數(shù)，是否存在數(shù)列，使得若存在，寫出一個數(shù)列，若不存在，說明理由：(3)若數(shù)列滿足，求數(shù)列A的個數(shù)．【答案】(1)；；(2)不存在適合題意的數(shù)列；(3).【分析】（1）利用變換的定義即；（2）利用數(shù)列的定義，記中有個，有個，則，進(jìn)而即得；（3）由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.（1）由，可得，，∴；（2）∵，由數(shù)列A為數(shù)列，所以，對于數(shù)列，，…，中相鄰的兩項，令，若，則，若，則，記中有個，有個，則，因為與的奇偶性相同，而與的奇偶性不同，故不存在適合題意的數(shù)列；（3）首先證明，對于數(shù)列，，…，，有，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，∵，，∴，故，其次，由數(shù)列為數(shù)列可知，，解得，這說明數(shù)列中任意相鄰兩項不同的情況有2次，若數(shù)列中的個數(shù)為個，此時數(shù)列有個，所以數(shù)列的個數(shù)為個.【點睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.題型四：數(shù)列不等式一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

二、多選題2．（2022·河北·模擬預(yù)測）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現(xiàn)是一個等比數(shù)列，按照等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗證即可，其中B選項是化簡成一個等差數(shù)列進(jìn)行判斷，CD兩個選項需要利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行判斷，尤其是D選項，需要構(gòu)造新數(shù)列，利用做差法驗證單調(diào)性.【詳解】由題可知，；，；，由此可知，即一個等比數(shù)列；A：，A錯誤；B：，因為，所以該數(shù)列為遞減數(shù)列，又因為當(dāng)時，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時，，原式成立；當(dāng)時，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因為，所以取，由此可知時；時，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯誤.故選：BC3．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）在數(shù)列中，對于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時，【答案】ACD【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.【詳解】A：由，對有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯誤；C：由且，當(dāng)時，此時且，數(shù)列遞增；當(dāng)時，此時，數(shù)列遞減；所以時數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時且數(shù)列遞減，即時，正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項B應(yīng)用反證法，假設(shè)為常數(shù)列求通項，判斷是否與矛盾；對于C、D，將遞推式變形為，討論、時研究數(shù)列的單調(diào)性.4．（2022秋·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和記為，則下列說法正確的是（

）A．任意 B．任意C．任意 D．任意【答案】BCD【分析】B：由題設(shè)得且，，討論大小關(guān)系，結(jié)合給定條件即可判斷；A：根據(jù)B的結(jié)論及，易知隨n變化的趨勢，并構(gòu)造求得，即可判斷；C：由A分析結(jié)果及即可判斷；結(jié)合C可判斷D.【詳解】由，且，又，故，，則，當(dāng)時，則，即，顯然與矛盾；當(dāng)時，則，即，顯然與矛盾；所以且，即遞增，B正確；由，根據(jù)B結(jié)論知：隨n的增大，無限趨近于0，則無限接近于1，又，令且遞增，則，即，綜上，，A錯誤；由，根據(jù)A的結(jié)論有，又，可得，所以，即，綜上，，C正確；由C結(jié)論知：所以成立，D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用已知條件，將各項結(jié)論作轉(zhuǎn)化，并應(yīng)用分類討論、極限、函數(shù)思想判斷數(shù)列不等式是否恒成立.5．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列，對任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC選項，可以通過令，從而得到矛盾，對于D，可通過特例判斷其有可能成立.【詳解】對于A，可取，此時，所以，與為正項數(shù)列矛盾，舍去；對于C，可取，此時，所以，與為正項數(shù)列矛盾，舍去；對于B，可取，則，所以，即，故累加后可得，整理得到，時，也符合該式，從而.此時，故成立，若成立，取，則，但此時，，不成立，故B錯誤.對于D，可令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，滿足題干條件，此時，，故D選項可能成立故選：D【點睛】對于數(shù)列相關(guān)的不等問題，要結(jié)合題干條件進(jìn)行適當(dāng)變形，利用基本不等式或?qū)Ш瘮?shù)進(jìn)行求解.三、雙空題6．（2022秋·北京昌平·高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列對任意的，都有，且．①當(dāng)時，_________．②若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P＝_________．【答案】

2

1【分析】根據(jù)通項公式確定的周期性即可求，由題設(shè)可得，討論的奇偶性確定后續(xù)數(shù)列出現(xiàn)奇數(shù)項與相等，列方程求P的值.【詳解】由題設(shè)通項公式，可得，故從第二項開始形成周期為3的數(shù)列，而，故．當(dāng)時，為奇數(shù)時為偶數(shù)，故；若為奇數(shù)，由，故，不滿足；若為偶數(shù)，則直到為奇教，有，故，當(dāng)時滿足條件，此時，即，故答案為：2，1【點睛】關(guān)鍵點點睛：討論的奇偶性，判斷數(shù)列后續(xù)出現(xiàn)的奇數(shù)項與相等時是否為奇數(shù).四、解答題7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為Sn，滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若不等式2對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）利用得，變形得，則可證明等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得答案；（3）令，通過計算的正負(fù)，求出的最大值，將題目轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.【詳解】（1）①②①②得，即，變形可得，又，得故數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可得，.（2）令，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，又，，因為不等式對任意的正整數(shù)恒成立，，解得.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可