2019-2020學(xué)年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-3.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題-理-蘇教版

2019-2020學(xué)年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)3.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題理蘇教版一、填空題1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi)_______．解析∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函數(shù)在(0,9)上單調(diào)遞增，在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝9時(shí)，函數(shù)取得最大值．答案9萬(wàn)件2．設(shè)m∈R，若函數(shù)y＝ex＋2mx有大于零的極值點(diǎn)，則m的取值范圍是________．解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex＋2mx有大于零的極值點(diǎn)，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的實(shí)根．令y1＝ex，y2＝－2m，則兩曲線的交點(diǎn)必在第一象限．由圖象可得－2m>1，即m<－eq\f(1,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))3．設(shè)p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥eq\f(4,3)，則p是q的________條件．解析∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.由f(x)為增函數(shù)得f′(x)≥0在R上恒成立，則Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥eq\f(4,3).故為充分必要條件．答案充分必要4．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為_(kāi)_______．解析令g(x)＝f(x)－2x－4，則g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上遞增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0.∴g(x)＞0?x＞－1.答案(－1，＋∞)5．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是________．解析結(jié)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)a>0或a<－1時(shí)，在x＝a處取得極小值，當(dāng)－1<a<0時(shí)，在x＝a處取得極大值，故a∈(－1,0)．答案(－1,0)6．有一長(zhǎng)為16m的籬笆要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2.解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬為：eq\f(16－2x,2)＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案167．一輛列車沿直線軌道前進(jìn)，從剎車開(kāi)始到停車這段時(shí)間內(nèi)，測(cè)得剎車后t秒內(nèi)列車前進(jìn)的距離為S＝27t－0.45t2米解析S′(t)＝27－0.9t，由瞬時(shí)速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期間列車前進(jìn)了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案304058．挖一條隧道，截面下方為矩形，上方為半圓(如圖)， 如果截面積為20m2，當(dāng)寬為_(kāi)_______時(shí)，使截面周長(zhǎng)最?。馕觯喝鐖D所示，設(shè)半圓的半徑為r，矩形的高為h，則截面積S＝2rh＋eq\f(πr2,2)＝20，截面周長(zhǎng)C＝2r＋2h＋πr＝2r＋eq\f(20－\f(πr2,2),r)＋πr＝2r＋eq\f(20,r)－eq\f(πr,2)＋πr＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r).設(shè)C′(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))－eq\f(20,r2)，令C′(r)＝0，解得r＝2eq\r(\f(10,4＋π)).故當(dāng)r＝2eq\r(\f(10,4＋π))時(shí)，周長(zhǎng)C最小，即寬為4eq\r(\f(10,4＋π))時(shí)，截面周長(zhǎng)最小．答案：4eq\r(\f(10,4＋π))9．將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形的周長(zhǎng)2,梯形的面積)，則s的最小值是________．解析如圖所示，設(shè)AD＝xm(0＜x＜1)，則DE＝AD＝xm，∴梯形的周長(zhǎng)為x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2(m2)，∴梯形的面積為eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),4)x2(m2)，∴s＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0＜x＜1)，∴s′＝eq\f(－8\r(3),3)×eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令s′＝0得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時(shí)，s′＜0，s遞減；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))時(shí)，s′＞0，s遞增．故當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)，s的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案eq\f(32\r(3),3)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對(duì)于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立；當(dāng)x>0，即x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).設(shè)g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，則g′(x)＝eq\f(31－2x,x4)，所以g(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，因此g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，從而a≥4.當(dāng)x<0，即x∈[－1,0)時(shí)，同理a≤eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上可知a＝4.答案4二、解答題11．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．解設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800.所以當(dāng)x＝15cm時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也就是最大值，此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).12．某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．(1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.解(1)設(shè)容器為V，則由題意，得V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3.又V＝eq\f(80π,3)，故l＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4,3)r＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r)).由于l≥2r，所以0<r≤2.所以建造費(fèi)用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))×3＋4πr2c.因此y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r3－\f(20,c－2)))，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0，故當(dāng)r3－eq\f(20,c－2)＝0，即r＝eq\r(3,\f(20,c－2))時(shí)．令eq\r(3,\f(20,c－2))＝m，則m>0，所以y′＝eq\f(8πc－2,r2)(r－m)(r2＋rm＋m2)．①當(dāng)0<m<2即c>eq\f(9,2)時(shí)，若r∈(0，m)，則y′<0；若r∈(m,2)，則y′>0所以當(dāng)r＝m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．②當(dāng)m≥2即3<c≤eq\f(9,2)時(shí)，若r∈(0,2)時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)減，所以當(dāng)r＝2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)3<c≤eq\f(9,2)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；當(dāng)c>eq\f(9,2)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).13．已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f′x＋\f(m,2)))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．解(1)根據(jù)題意知，f′(x)＝eq\f(a1－x,x)(x＞0)，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)．(2)∵f′(2)＝－eq\f(a,2)＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3.∴g(x)＝x3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋2))x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′t＜0，,g′3＞0.))由題意知：對(duì)于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′1＜0，,g′2＜0，,g′3＞0，))∴－eq\f(37,3)＜m＜－9.14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增．若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，lna)單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于k<eq\f(x＋1,ex－1)＋x(x>0)①令g(x)＝eq\f(x＋1,ex－1)＋x，則g′(x)＝eq\f(－