數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章§不等式的證明第課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4不等式的證明第1課時(shí)比較法、分析法1．理解用比較法、分析法證明不等式的一般方法和步驟，并能證明具體的不等式．2．理解不等式證明方法的意義，并掌握不等式中取得等號(hào)的條件．1．比較法(1）求差比較法．①理論依據(jù)：a＞b?______；a＜b?______．②證明步驟:____→變形→____→得出結(jié)論．（2)求商比較法．①理論依據(jù)：b＞0，eq\f(a，b）＞1?______；b＜0，eq\f(a,b)＞1?____．②證明步驟:____→變形→________________．【做一做1－1】已知x,y∈R,M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy,則M與N的大小關(guān)系是（）．A．M≥NB．M≤NC．M＝ND．不能確定【做一做1－2】設(shè)m＞1,P＝eq\r(m)－eq\r（m－1)，Q＝eq\r(m＋1)－eq\r（m)，則P與Q的大小關(guān)系是__________．2．分析法（1)定義：從____________出發(fā)，分析使此不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件________的問(wèn)題，如果能夠使這些充分條件都具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種證明方法叫做______．（2)思路：“執(zhí)果索因”的證明方法，即從______________出發(fā),不斷地用充分條件來(lái)代替前面的不等式，直到____________為止．【做一做2】若a＋b＝1，求證:eq\r(a＋\f（1，2))＋eq\r（b＋\f（1,2))≤2．答案：1．（1)①a－b＞0a－b＜0②作差定號(hào)(2)①a＞ba＜b②作商判斷與1的大小關(guān)系【做一做1－1】AM－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝eq\f(1,2）[（x2＋y2－2xy)＋（x2－2x＋1）＋（y2－2y＋1）］＝eq\f（1，2）［（x－y）2＋(x－1)2＋（y－1）2］≥0．∴M≥N．【做一做1－2】P＞QP＝eq\r（m)－eq\r（m－1)＝eq\f(1,\r(m）＋\r（m－1))＞0,Q＝eq\r（m＋1）－eq\r（m）＝eq\f(1,\r（m＋1)＋\r（m）)＞0，∴eq\f(P，Q）＝eq\f(\r(m＋1）＋\r(m），\r(m）＋\r(m－1)）＞1，∴P＞Q．2．(1)所要證明的結(jié)論是否成立分析法（2)求證的不等式找到已知不等式【做一做2】分析：利用分析法來(lái)考慮，容易找到證明思路．證明：要證eq\r(a＋\f(1,2））＋eq\r(b＋\f（1，2））≤2,即證eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（a＋\f（1,2））＋\r（b＋\f(1，2）)））2≤4,即證a＋b＋1＋2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r(a＋\f（1,2））·\r(b＋\f(1,2)））)≤4．∵a＋b＝1，故就是要證eq\r(a＋\f（1,2)）·eq\r（b＋\f（1，2）)≤1，即證ab＋eq\f（1，2)(a＋b)＋eq\f(1,4)≤1,即證ab≤eq\f(1，4），只需證ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2）））2，也就是只需2ab≤a2＋b2成立，這顯然是成立的．故原不等式成立．1．比較大小關(guān)系的一般方法剖析:比較大小關(guān)系的一般方法是求差或求商比較法．可以先用特殊值賦值的方法對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，再進(jìn)行比較．還有一類較為特殊的比較大小的問(wèn)題，如數(shù)列問(wèn)題中，兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小可能會(huì)隨一些變量或參數(shù)的不同范圍而發(fā)生變化，這就要注意對(duì)相關(guān)問(wèn)題的討論，大小關(guān)系一定或不一定，首先應(yīng)判斷．2．求商比較法中的符號(hào)問(wèn)題剖析：在求商比較法中，eq\f(b,a)＞1?b＞a是不正確的，這與a，b的符號(hào)有關(guān),比如若a，b＞0，由eq\f(b,a）＞1,可得b＞a,但若a，b＜0，由eq\f（b,a)＞1，可得b＜a，所以在求商比較法中，要對(duì)a，b的符號(hào)作出判斷．對(duì)于此類問(wèn)題,分為含參數(shù)變量類的和大小固定的，因而可以通過(guò)特殊值的方法先進(jìn)行一定的猜測(cè)，進(jìn)而再給出推理或證明過(guò)程．題型一用求差比較法證明不等式【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求證:ax2＋by2≥(ax＋by）2．分析：利用eq\x(作差)→eq\x(變形)→eq\x（定號(hào)）→eq\x(結(jié)論）的步驟去證明．反思：利用比較法來(lái)證明不等式時(shí)，為了說(shuō)明差式的符號(hào)，有下列三種常用的方法：①將差式分解因式；②將差式通過(guò)配方寫成一些正(負(fù))數(shù)的和；③構(gòu)造新函數(shù)，證明函數(shù)恒正或恒負(fù)．題型二用求商比較法證明不等式【例2】已知a≥1,求證：eq\r(a＋1)－eq\r(a）＜eq\r(a)－eq\r(a－1）．分析：因?yàn)閍≥1，所以不等式兩邊都大于0，可考慮用求商比較法比較大?。此?根據(jù)左、右兩邊都含無(wú)理根號(hào)的特點(diǎn)，也可以采取兩邊平方的方法來(lái)比較，但是應(yīng)先判斷兩邊的符號(hào)，都大于0時(shí)，兩邊平方是等價(jià)變形，否則要改變不等號(hào)方向．題型三用分析法證明不等式【例3】已知α，β∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）））,且α≠β，求證:tanα＋tanβ＞2taneq\f（α＋β，2）．分析：本題證明關(guān)系比較復(fù)雜，直接證明不易觀察出因果關(guān)系，因此可以用分析法去找出證明思路．反思:利用分析法論證“若A則B"這個(gè)命題的模式是:欲證命題B為真，只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真，從而又……只需證明命題A為真，又已知A為真，故B為真．可簡(jiǎn)寫成B?B1?B2?…?Bn?A．題型四易錯(cuò)辨析【例4】設(shè)a＋b＞0,n為偶數(shù),求證：eq\f（bn－1,an）＋eq\f(an－1，bn）≥eq\f(1，a)＋eq\f（1，b)．錯(cuò)解：eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1，bn)－eq\f(1,a）－eq\f（1，b)＝eq\f（an－bnan－1－bn－1，abn)．∵n為偶數(shù)，∴(ab）n＞0．又an－bn和an－1－bn－1同號(hào)，∴eq\f（bn－1，an）＋eq\f(an－1,bn)－eq\f(1，a）－eq\f（1,b)＞0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f（1,a)＋eq\f（1,b)．錯(cuò)因分析：由a＋b＞0可知a，b同正,也可以存在一正一負(fù)的情況，上面錯(cuò)解沒(méi)有考慮這種情況,并且等號(hào)的取得也沒(méi)有考慮．反思:在證明不等式的過(guò)程中，充分挖掘條件，利用條件是關(guān)鍵，特別是“等號(hào)"是否成立的條件的判斷上要特別注意．答案：【例1】證明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－（ax＋by）2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a（1－a）x2＋b（1－b)y2－2abxy＝abx2＋aby2－2abxy＝ab（x－y）2．又a，b∈R,∴ab（x－y）2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by）2．【例2】證明:∵a≥1，∴eq\r(a＋1)－eq\r（a）＞0，eq\r(a)－eq\r(a－1)＞0,∴eq\f(左邊，右邊）＝eq\f(\r(a＋1)－\r（a)，\r（a)－\r（a－1)）＝eq\f（\r（a)＋\r(a－1），\r(a＋1）＋\r(a))＜1，∴左邊＜右邊，即eq\r（a＋1）－eq\r(a)＜eq\r(a）－eq\r(a－1）．【例3】證明：欲證tanα＋tanβ＞2taneq\f（α＋β，2)，只需證eq\f（sinα，cosα)＋eq\f(sinβ，cosβ）＞eq\f(2sin\f（α＋β，2)，cos\f(α＋β,2）），只需證eq\f(sinα＋β,cosαcosβ)＞eq\f(2sin\f(α＋β,2),cos\f（α＋β，2))．∵eq\f(α＋β，2）∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2））），∴sineq\f（α＋β,2)＞0．又∵sin（α＋β）＝2sineq\f(α＋β，2)coseq\f(α＋β，2），故只需證eq\f(cos\f（α＋β，2），cosαcosβ）＞eq\f(1，cos\f（α＋β,2）)，∴只需證cos2eq\f(α＋β，2）＞cosαcosβ，即證eq\f(1＋cosα＋β，2）＞cosαcosβ，即證1＋cosαcosβ－sinαsinβ＞2cosαcosβ．只需證1＞cos(α－β），∵α≠β，∴結(jié)論顯然成立．故原不等式成立．【例4】正解：eq\f(bn－1,an）＋eq\f（an－1,bn）－eq\f（1,a)－eq\f(1，b）＝eq\f（an－bnan－1－bn－1，abn）．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，（an－bn)(an－1－bn－1）≥0，（ab)n＞0，∴eq\f（an－bnan－1－bn－1,abn)≥0，∴eq\f(bn－1，an）＋eq\f（an－1,bn)≥eq\f（1，a)＋eq\f(1，b）．當(dāng)a，b有一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a＞0，b＜0．∵a＋b＞0，∴a＞｜b|．又∵n為偶數(shù),∴（an－bn）（an－1－bn－1)＞0．∵(ab)n＞0，∴eq\f(an－bnan－1－bn－1,abn)＞0，∴eq\f(bn－1,an)＋eq\f（an－1,bn）＞eq\f(1，a)＋eq\f(1，b）．綜上,原不等式成立．1已知x＞0,y＞0，則下列關(guān)系式成立的是（）．A．B．C．D．2設(shè)n∈N＋，則eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3）__________eq\r（n＋2）－eq\r(n＋1）．3若a，b，m，n都為正實(shí)數(shù),且m＋n＝1，則eq\r(ma＋nb)與meq\r（a)＋neq\r(b)的大小關(guān)系是__________．4（2010·江蘇高考）設(shè)a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥eq\r(ab)（a2＋b2)．答案:1．A假設(shè)成立,下面證明：要證明．只需證（x2＋y2)3＞（x3＋y3）2,即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即證3x4y2＋3x2y4＞2x3y3．∵x＞0，y＞0,∴x2y2＞0，即證3x2＋3y2＞2xy．∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy,∴3x2＋3y2＞2xy成立．∴．2．＜∵eq\r（n＋4）－eq\r（n＋3)＝eq\f(1,\r(n＋4)＋\r(n＋3))，eq\r(n＋2）－eq\r(n＋1）＝eq\f（1,\r(n＋2)＋\r(n＋1）)，∴eq\f（\r(n＋4)－\r（n＋3)，\r（n＋2）－\r（n＋1））＝eq\f（\r(n＋2）＋\r（n＋1）,\r(n＋4）＋\r（n＋3）)＜1，又eq\r（n＋4）＋eq\r（n＋3）＞0，∴eq\r（n＋2)＋eq\r(n＋1）＜eq\r（n＋4）＋eq\r（n＋3），∴eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＜eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)．3．eq\r（ma＋nb）≥meq\r（a）＋neq\r(b）由a，b，m,n為正數(shù)，且m＋n＝1,可知m＝1－n,n＝1－m，∴(eq\r（ma＋nb））2－（meq\r（a)＋neq\r（b）)2＝ma＋nb－m2a－n2b－2mneq\r（ab）＝m（1－m）a＋n（1－n）b－2mneq\r(ab）＝mn(eq\r(a)－eq\r（b））2≥0．又eq\r(ma＋nb)＞0，meq\r(a)＋neq\r(b）＞0，∴eq\r(ma＋nb)≥meq\r(a）＋neq\r（b)．4．證明：由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求差,得a3＋b3－eq\r（ab）（a2＋b2)＝a2eq\r(a)（eq\r（a）－eq\r(b））＋b2eq\r（b)(eq\r(b）－eq\r（a）)＝（eq\