數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精§4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征1．能結(jié)合具體情境理解不同數(shù)字特征的意義，并能根據(jù)問(wèn)題的需要選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)的信息．2．通過(guò)實(shí)例理解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．1．眾數(shù)(1）定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)特征:一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能________個(gè)，也可能沒(méi)有，它反映了該組數(shù)據(jù)的________．眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無(wú)法客觀地反映總體特征．2．中位數(shù)（1）定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢涣?處于________位置的數(shù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（2）特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是________的，反映了該組數(shù)據(jù)的________．中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線(xiàn),它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)．【做一做1】某班50名學(xué)生右眼視力的檢查結(jié)果如下表所示：視力0。10。20。30。40。50。60.70。81.01。21.5人數(shù)113434468106則該班學(xué)生右眼視力的眾數(shù)為_(kāi)_________，中位數(shù)為_(kāi)_________．3．平均數(shù)(1）定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),數(shù)據(jù)x1，x2,…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x）＝________________。（2）特征：平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的________．任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是________和________都不具有的性質(zhì)．所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的________，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的________的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低．【做一做2】對(duì)甲、乙二人的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析,各抽4門(mén)功課,得到的觀測(cè)值如下:甲65828085乙75657090問(wèn):甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)較好?4．標(biāo)準(zhǔn)差（1）定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來(lái)計(jì)算s＝________________________________________________________________________.可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．（2）特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞________波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較________；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較______．【做一做3】從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)?nèi)缦卤?，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為()．分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010A．eq\r(3)B．eq\f（2\r（10）,5）C．3D．eq\f（8,5)5．方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2＝________________________________________________________________________。(2)特征：與標(biāo)準(zhǔn)差的作用________，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．（3）取值范圍：________.數(shù)據(jù)組x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to（x），方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b（a，b為非零常數(shù))的平均數(shù)為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as?！咀鲆蛔?】下列能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的是()．A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)6．極差(1)定義：一組數(shù)據(jù)的最______值與最______值的差稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的極差．（2）特征：表示該組數(shù)據(jù)之間的差異情況．極差利用了數(shù)據(jù)組中最大和最小的兩個(gè)值，對(duì)極值過(guò)于敏感．但由于只涉及兩個(gè)數(shù)據(jù)，便于得到,所以極差在實(shí)際中也經(jīng)常應(yīng)用．【做一做5】一組數(shù)據(jù)3，－1,0，2,x的極差是5，則x＝__________.平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差(方差)這兩個(gè)數(shù)字特征在實(shí)際問(wèn)題中如何應(yīng)用?剖析：平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平，在實(shí)際應(yīng)用中，平均數(shù)常被理解為平均水平．標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度的大小，反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周?chē)某潭?標(biāo)準(zhǔn)差越小表明在樣本平均數(shù)的周?chē)郊?；反之，?biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散．在實(shí)際應(yīng)用中,標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性，常常與平均數(shù)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題．例如，要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員中選一名參加2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)，如果你是教練，你會(huì)制定怎樣的選拔標(biāo)準(zhǔn)？制定怎樣的選拔方案？選拔標(biāo)準(zhǔn)是：要考慮射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平即平均射擊環(huán)數(shù)，再就是考慮射擊運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的穩(wěn)定性．當(dāng)射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)不相同時(shí)，選擇平均數(shù)較大的運(yùn)動(dòng)員;當(dāng)射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同時(shí)，選擇發(fā)揮穩(wěn)定(標(biāo)準(zhǔn)差較小)的運(yùn)動(dòng)員．選拔方案：讓這兩名運(yùn)動(dòng)員在相同的環(huán)境中進(jìn)行相同次數(shù)的射擊，比如參加射擊世錦賽、世界杯、國(guó)際邀請(qǐng)賽、熱身賽或國(guó)內(nèi)比賽，并記錄每次射擊的環(huán)數(shù)．然后計(jì)算兩名運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差，再根據(jù)選拔標(biāo)準(zhǔn)作出選擇．題型一平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用【例題1】某公司30名職工的月工資（單位：元）如下：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11212320工資5500500035003000250020001500(1）求該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．（2）假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5000元提升到20000元,董事長(zhǎng)的工資從5500元提升到30000元，那么該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元）(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的月工資水平？結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法．分析：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解．反思：平均數(shù)是將所有的數(shù)據(jù)都考慮進(jìn)去得到的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最常用的量，中位數(shù)可靠性較差，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí),常用中位數(shù)表示該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．而眾數(shù)求法較簡(jiǎn)便，也經(jīng)常被用到．考查一組數(shù)據(jù)的特征時(shí)，這三個(gè)數(shù)字特征要結(jié)合在一起考慮．大多情況下人們會(huì)把眼光僅停留在工資表中的最大值與最小值處，把最高工資作為一個(gè)單位工資的評(píng)價(jià)，這是一種錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)方式．題型二標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算【例題2】已知一個(gè)樣本為x,1,y，5，其中x，y是方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝2，，x2＋y2＝10))的解,則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是（）．A．2B．eq\r(2)C．5D．eq\r(5)反思：深刻理解平均數(shù)、方差的計(jì)算公式，靈活應(yīng)用x＋y＝2和x2＋y2＝10進(jìn)行整體求解是提高解題速度的關(guān)鍵．題型三綜合應(yīng)用題【例題3】對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲：27,38,30,37,35，31；乙:33，29，38，34,28,36。根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀．分析：分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均值與方差，然后加以比較并作出判斷．反思:判斷甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的優(yōu)劣,通常用平均數(shù)和方差作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)比較，當(dāng)平均數(shù)相同時(shí),還應(yīng)考察他們的成績(jī)波動(dòng)情況（方差),以達(dá)到判斷上的合理性和全面性．1（2011廣東汕頭期中，6)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）．A．91.5和91.5B．91。5和92C．91和91。5D．92和922甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件,現(xiàn)要檢驗(yàn)它們的運(yùn)行情況，統(tǒng)計(jì)10天中兩臺(tái)機(jī)床每天出的次品數(shù)分別為甲:0,1,0，2，2，0，3，1,2,4；乙：2,3，1,1,0，2,1，1，0，1。則出次品數(shù)較少的為（)．A．甲B．乙C．相同D．不能比較3已知一個(gè)樣本中含有5個(gè)數(shù)據(jù)3，5,7,4，6，則樣本方差為(）．A．1B．2C．3D．44已知一組數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn的方差是a,那么另一組數(shù)據(jù)x1－2,x2－2,…，xn－2的方差是________．5對(duì)甲、乙的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門(mén)功課，得到的觀測(cè)值如下：甲6080709070乙8060708075問(wèn):甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)較好?誰(shuí)的各門(mén)功課發(fā)展較平衡？答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．（1)最多(2）不止一集中趨勢(shì)2．（1)中間(2）唯一集中趨勢(shì)【做一做1】1。20。83．(1)eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n）（2)平均水平眾數(shù)中位數(shù)信息極端值【做一做2】解：eq\x\to(x）甲＝eq\f(1，4)（65＋82＋80＋85)＝78,eq\x\to(x）乙＝eq\f(1，4)（75＋65＋70＋90）＝75，∴甲的平均成績(jī)較好．4．（1）eq\r（\f（1,n)[（x1－\x\to(x））2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋(xn－\x\to(x))2］）（2)平均數(shù)大小【做一做3】B這100人的總成績(jī)?yōu)?×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，則平均成績(jī)?yōu)閑q\f(300，100)＝3,則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f（1，100）[(5－3）2×20＋(4－3）2×10＋(3－3）2×30＋(2－3）2×30＋(1－3）2×10］)＝eq\f(2\r(10)，5)。5．（1）eq\f（1，n）[（x1－eq\x\to(x))2＋（x2－eq\x\to（x））2＋…＋(xn－eq\x\to（x））2](2）相同（3)[0，＋∞)【做一做4】B方差能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的大小．6．(1）大小【做一做5】－2或4典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解:(1)平均數(shù)是eq\f(5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×2＋2000×3＋1500×20，30）＝2050（元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（2)平均數(shù)是eq\f(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×2＋2000×3＋1500×20,30）≈3367（元),中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（3）在這個(gè)問(wèn)題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的月工資水平．因?yàn)楣局猩贁?shù)人的月工資與大多數(shù)人的月工資差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與職工整體月工資的偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的月工資水平．【例題2】D∵x＋y＝2，x2＋y2＝10，∴eq\x\to（x）＝eq\f（1,4）(x＋1＋y＋5)＝eq\f（1,4）［（x＋y)＋6]＝2，s2＝eq\f(1,4）［(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2］＝eq\f(1，4）[（x2＋y2）－4（x＋y）＋18]＝eq\f(1，4）×20＝5,∴s＝eq\r（s2）＝eq\r（5).【例題3】解：eq\x\to（x)甲＝eq\f(1,6）×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s甲2＝eq\f（1，6）×[（27－33）2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1，6)×94≈15.7,eq\x\to（x)乙＝eq\f(1,6）×（33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33,s乙2＝eq\f（1，6)×[(33－33）2＋(29－33)2＋…＋（36－33)2］＝eq\f(1，6)×76≈12.7?！鄀q\x\to(x）甲＝eq\x\to(x）乙，s甲2＞s乙2．這說(shuō)明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀．隨堂練習(xí)·鞏固1．Aeq\x\to（x)＝90＋eq\f(1，8）(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91。5.中位數(shù)＝eq\f（91＋92,2)＝91.5。2．Beq\x\to(x)甲＝1。5，eq\x\to(x)乙＝1.2.3．Beq\x\to（x）＝eq\f(3＋5＋7＋4＋6，5）＝5，則方差s2＝eq\f（1,5）［(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋（4－5）2＋