2024-2025學(xué)年上海市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷

2024-2025學(xué)年上海市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1.設(shè)集合，，，則______.2.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，點的坐標(biāo)是______.3.若冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點，則的值為____________.4.若集合，，且，則實數(shù)組成的集合是______.5.已知，，則______（結(jié)果用、表示）.6.若，則__________.7.若對所有實數(shù)恒成立，則當(dāng)?shù)忍柍闪r，的取值范圍是______.8.已知集合，.若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是______.9.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為______.10.已知，若，則最小值為_______．11.已知，則______．12.對于實數(shù)和正數(shù)，稱滿足不等式的實數(shù)的集合叫做的鄰域，已知，若的鄰域中恰有2個整數(shù)，則的取值范圍是______.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，13-14題每題4分，15-16愿每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑.13.若，且滿足，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.14.如果某種放射性元素每年的衰減率是，那么的這種物質(zhì)的半衰期（剩余量為原來的一半所需的時間）等于（）A B. C. D.15.函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能為（）A. B. C. D.16.“群”的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對代數(shù)多項式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.“群”的定義是：設(shè)為某種元素組成的一個非空集合，若在內(nèi)定義一個運算“*”，滿足以下條件：①任意.有②如，有；③在中有一個元素，對任意，都有，稱為的單位元；④任意，在中存在唯一確定的，使，稱為的逆元；此時稱為一個群例如實數(shù)集和實數(shù)集上的加法運算“＋”就構(gòu)成一個群，其單位元是，每一個數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯誤的是（）A.，則為一個群B.，為一個群C.，則為一個群D.，則一個群三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（1）解關(guān)于的不等式組（2）設(shè)，證明：若是奇數(shù)，則是奇數(shù).18.（1）已知指數(shù)函數(shù)（且在區(qū)間上的最大值與最小值之和等于，求實數(shù)的值.（2）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在上嚴(yán)格遞減.若.求實數(shù)的取值范圍.19.如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大?。?，社區(qū)距離上最近的點的距離是社區(qū)距離上最近的點的距離是，且.點是線段上一點，設(shè).現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：工程1：在點處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.記這三項工程的總造價為億元.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）問點在何處時，最小，并求出該最小值.20.若有限個正整數(shù)組成的集合中至少有兩個元素，且對于任意的x,y∈Ax>y，都有，則稱為“雙集合”.（1）判斷是否為“雙集合”，說明理由；（2）若雙元素集為“雙集合”，且，求所有滿足條件的集合；（3）求所有滿足條件“雙集合”.21.勾股容方問題是數(shù)學(xué)史中一個非常著名的問題.《九章算術(shù)》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”這個問題（圖1）已知直角三角形兩條直角邊長，要求一個與直角三角形有公共直角的正方形的邊長（即“勾股容方”）.記，.（1）若，正方形的邊長不小于，求的取值范圍；（2）圖1中直角三角形斜邊上中線記為，比較線段與長度的大小，并證明你的結(jié)論；（3）