備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的零點(diǎn)問題5題型分類(原卷版+解析)

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的零點(diǎn)問題5題型分類1、函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f（x）＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.（一）函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).注：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1-1．（2024高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，（n為正整數(shù)，）．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，證明：有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．1-2．（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．1-3．（2024·山東·一模）已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；②，其中且．1-4．（2024·山東·一模）已知函數(shù)．(1)若對時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；(2)證明：；(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說明理由．1-5．（2024高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．（二）根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.題型2：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)2-1．（2024高二下·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2-3．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2-4．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2-5．（2024·浙江·二模）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.2-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型3：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求值3-1．（2024·陜西寶雞·二模）已知是方程的一個(gè)根，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．63-2．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，（），則的取值范圍是.3-3．（2024·福建福州·二模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則.（三）零點(diǎn)與不等式的證明問題證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關(guān)系式將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.題型4：零點(diǎn)與不等式的證明問題4-1．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），證明：.4-2．（2024·寧夏）已知函數(shù)（I）如，求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明>6.4-3．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.4-4．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.4-5．（2024·江蘇泰州·一模）已知函數(shù)，，．(1)若，求證：（ⅰ）在的單調(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；（ⅱ）在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：．4-6．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù).（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.4-7．（2024高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，已知方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，證明：.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（四）導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問題利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問題5-1．（2024·全國）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí).5-2．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，記較小零點(diǎn)為，求證：.一、單選題1．（2024·天津）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·全國）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則A． B． C． D．14．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)椋虎?；③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有3個(gè)不同的解，，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題6．（2024高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于中心對稱C．當(dāng)，且時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．三、填空題8．（2024·北京）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．9．（2024高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.10．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．11．（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為.四、解答題12．（2024·全國）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．13．（2024·全國）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．14．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．15．（2024·全國）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．16．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)已知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.17．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)（）.(1)求a的取值范圍；(2)過點(diǎn)與分別作的切線，兩切線交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.18．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．19．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.20．（2024·陜西）設(shè)（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且.21．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）（1）證明不等式：（第一問必須用隱零點(diǎn)解決，否則不給分）；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.（第二問必須用分段討論解決，否則不給分）22．（2024高三上·河北·期中）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)記函數(shù)，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.23．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．24．（2024高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．25．（2024高三上·河北保定·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)..26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)，求關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).27．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).28．（2024高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.29．（2024高三上·四川廣安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.30．（2024高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程有兩個(gè)不同的正根，求的取值范圍.31．（2024高三上·福建廈門·階段練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值為，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的范圍.32．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．33．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.34．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求證：曲線僅有一條過原點(diǎn)的切線；(2)若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．35．（2024·新疆·三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．36．（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.37．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在極值點(diǎn)；(2)記在區(qū)間上的極值點(diǎn)為m，在區(qū)間上的零點(diǎn)的和為n，請比較2m與n的大小.38．（2024高三上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）設(shè)函數(shù)，(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)如果且關(guān)于的方程有兩個(gè)解，證明：.39．（2024高三上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：.40．（2024高三下·重慶九龍坡·開學(xué)考試）已知且.(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn).①求的范圍；②設(shè)，求證：.41．（2024高三上·廣東河源·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中.(1)求過點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線方程；(2)①求證：當(dāng)時(shí)，；②若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.全國名校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）．(1)若在上恒成立，求a的取值范圍：(2)設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．43．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù),.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，.①求證：函數(shù)存在零點(diǎn)；②設(shè)，若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.問：是否存在，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有恒成立？如果存在，試確定的個(gè)數(shù)；如果不存在，請說明理由.44．（2024高三上·山西臨汾·期中）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)證明：若，則在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.45．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.(1)證明：函數(shù)，都恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，證明.46．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè).（?。┳C明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿足.47．（2024高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．48．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．49．（2024高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）記兩個(gè)零點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．50．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知．（1）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）在（1）的前提下，設(shè)三個(gè)零點(diǎn)分別為且，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．51．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）若，且有三個(gè)不同零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.52．（2024·浙江·二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.53．（2024高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求，并說明函數(shù)在（1，e）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.54．（2024·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．55．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．56．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).57．（2024·廣東汕頭·二模）已知函數(shù)，，.(1)若函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；(2)用表示m，n中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.58．（2024高三上·山西朔州·期末）已知函數(shù).(1)若過點(diǎn)可作的兩條切線，求的值.(2)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).59．（2024高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知．(1)若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．60．（2024高三上·湖南·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.61．（2024·江蘇）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．62．（2024高三上·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且）.(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.63．（2024高三·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的零點(diǎn)問題5題型分類1、函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f（x）＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.（一）函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).注：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1-1．（2024高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，（n為正整數(shù)，）．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，證明：有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）對進(jìn)行二次求導(dǎo)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，確定一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求證.（2）根據(jù)題意，只需證即可，結(jié)合結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，即可容易證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，記，則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增而，所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增又，，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，令，則，所以在單調(diào)遞減，，即，要證只需證，令，則，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，即，∴，即，所以成立，∴原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，解決第二問的關(guān)鍵是利用進(jìn)行放縮，以及利用同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，屬綜合困難題.1-2．（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)根據(jù)已知切線方程求列方程求切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入求參即可；(2)先分段討論最小值，再分情況根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域判斷每種情況下零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴∴（*）消去a整理，得，∴∴（2）①當(dāng)時(shí)，，，∴在上無零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，．若，，此時(shí)，是的一個(gè)零點(diǎn)，若，，此時(shí)，不是的零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)即為的零點(diǎn)．令，得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，即在上無零點(diǎn)（ii）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，即時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)（iv）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有三個(gè)零點(diǎn)1-3．（2024·山東·一模）已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；②，其中且．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求得，由0為的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，進(jìn)而求解；（2）①當(dāng)時(shí)，由，可得單調(diào)遞減，由，可得，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合，和零點(diǎn)存在性定理，可知存在，使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，結(jié)合得到在上單調(diào)遞增；結(jié)合，，存在，得到函數(shù)的單調(diào)性，可得而在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，可得在單減，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，最后綜合即可得證.②由（1）中在單增，所以，有，可得.令，利用放縮法可得，再結(jié)合，分別利用累加發(fā)可得，，即可求證.【詳解】（1）由，則，因?yàn)?為的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，在上單調(diào)遞增；.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以0為的一個(gè)極值點(diǎn)，故.（2）①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以對，有，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．又因?yàn)椋?，，在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，所以存在，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，此時(shí)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以在單減，又，，由零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；綜上所述，在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．②因?yàn)?，由?）中在上的單調(diào)性分析，知，所以在單增，所以對，有，即，所以．令，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）②，關(guān)鍵在于先證明，令，利用放縮法可得，再結(jié)合累加法即可得證.1-4．（2024·山東·一模）已知函數(shù)．(1)若對時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；(2)證明：；(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1)1(2)證明見解析(3)有唯一的實(shí)數(shù)解，理由見解析【分析】（1）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，通過求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最值，從而求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，得到，通過令，從而得到，再通過過累加即可得出結(jié)果；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性原理即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，令，所以，又因?yàn)闀r(shí)，，a為正實(shí)數(shù)，故在區(qū)間恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，符合題意．②當(dāng)時(shí)，，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)不符合，綜上所述，正實(shí)數(shù)a的最大值為1．（2）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，，令時(shí)，有，即，所以，，，，累加得，即，所以（3）因?yàn)?，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即，因此，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又因?yàn)?，令，則，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即．設(shè)，則，令，則在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，，即，因此，又，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在上遞增，于是且，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，∴，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故方程有唯一的實(shí)數(shù)解．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：零點(diǎn)代換：當(dāng)存在零點(diǎn)，且滿足等式時(shí)，對應(yīng)在此點(diǎn)處的等量運(yùn)算也成立，即若有，則有.1-5．（2024高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先求得的范圍，利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理證得時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)題意得，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，又，；，，故．，設(shè)，，則，，則，由，得．因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由于，故，又，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，所以有兩個(gè)零點(diǎn)和，即方程有兩個(gè)根和．的圖象如下，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，其中，因?yàn)?，故由圖角可知，有兩個(gè)不同的根，，且．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的過程中，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.分類標(biāo)準(zhǔn)可通過判別式、開口方向、根的大小等等來制定.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，往往要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來進(jìn)行.（二）根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.題型2：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)2-1．（2024高二下·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）分析在和，時(shí)的正負(fù)判斷即可；（3）根據(jù)（2）可得，又，設(shè)，根據(jù)時(shí)為臨界條件，分與兩種情況，分別求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而得到的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解即可【詳解】（1）由題意，，，故，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2）由題意，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)（3）由（2）可得，，故設(shè)，則①若，則，在上為減函數(shù)，故，故在上為減函數(shù)，不滿足題意；②若，i）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，，故存在使得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，且，設(shè)，易得，故在單調(diào)遞增，故，故，故.故在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上有在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)ii）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，故為減函數(shù)，因?yàn)?，，故存在使得成立，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，故存在使得成立，故在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.又，故，且，，故，故存在使得，綜上有在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，同時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的問題，需要根據(jù)題意確定臨界條件分類討論，再分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析，屬于難題2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】.【分析】方法一：直接求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)單調(diào)性及最值情況，進(jìn)而可得零點(diǎn)情況，進(jìn)而可得參數(shù)取值范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù)法并分離參數(shù)求得參數(shù)范圍.【詳解】解：方法一：由可得，設(shè)，，，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故.①當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得或或，且，此時(shí)在單減，單增，單減，單增，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).方法二：由題意可得，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以，又趨近于和正無窮時(shí)，趨近于正無窮，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2-3．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，再對進(jìn)行分類討論，根據(jù)和，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）的單調(diào)區(qū)間，對進(jìn)行分類討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由，①當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得.∴的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，令，或.當(dāng)，即時(shí)，∴在單增，當(dāng)，即時(shí)，由得，，由得，.∴單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，由得，，由得，.∴的單增區(qū)間為，的單減區(qū)間為.（2）由.（i）當(dāng)時(shí)，只需，即時(shí)，滿足題意；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的極大值，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極小值，，，只有才能滿足題意，即有解.令，，則.∴在單增.∵∴，方程無解.∴綜上所述，.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件對參數(shù)進(jìn)行分類討論，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．2-4．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和，分別解導(dǎo)數(shù)不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）的單調(diào)性，可求得函數(shù)的極值，由極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，令，得，令，得.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得，.①當(dāng)即時(shí)，，在R上單調(diào)遞增.②當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知只有一個(gè)極小值點(diǎn).且，，當(dāng)時(shí)，，，從而，因此有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，其中，，，則，即函數(shù)的極大值小于0，則在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，即函數(shù)的極大值小于0，則在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.2-5．（2024·浙江·二模）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)，0，1【分析】（1）求出，利用其單調(diào)性和特殊值可得使得，再由可得答案；（2）由時(shí)，求出的零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，利用范圍可得在有1個(gè)零點(diǎn)：分、、討論，利用的單調(diào)性和函數(shù)值可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，則可知；（2）依題意，函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，即，而，時(shí)，，時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；①當(dāng)時(shí)，若，有，且，有，又，由（1）可知又，則所以在有1個(gè)零點(diǎn)：若，有，若，有，可知在有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意：若，有在單調(diào)遞增，，（i）若，則當(dāng)，有，（ii）若，又，則可知，使得；由（i）、（ii），則可知有在單調(diào)遞減，所以，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，有在單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞增，則有，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，記，由①可知，有且僅有滿足題意，即時(shí)，滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為，0，1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.2-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)極大值乘以極小值小于零列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由，則.設(shè)，是的兩根，則在，遞增，在遞減，所以的極大值與極小值分別為，，且，，同理可得，所以，將，代入化簡得，由.題型3：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求值3-1．（2024·陜西寶雞·二模）已知是方程的一個(gè)根，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】化簡方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得，由此求得的值.【詳解】依題意，，由，得，，設(shè)單調(diào)遞增，由得，即，即，所以，所以.故選：B3-2．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，（），則的取值范圍是.【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而可畫出其圖象，即可得及范圍，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令得或，或，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，?dāng)x趨近于負(fù)無窮時(shí)，趨近于零，所以的圖象如圖所示，所以若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則，又因?yàn)?，，所以，不妨令，，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.3-3．（2024·福建福州·二模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則.【答案】1【分析】令，由的圖象可得最多只有兩個(gè)解，所以由題意可知有兩解，且，由圖象可知有兩解，有一解，代入即可求出結(jié)果.【詳解】由，得，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以的圖象如圖所示，

由圖可知最多只有兩個(gè)解，若要有三解，則有兩解，且，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，所以由圖象可知有兩解，有一解，所以，故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令，然后將問題轉(zhuǎn)化為有兩解，且有兩解，有一解，然后代入化簡即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.（三）零點(diǎn)與不等式的證明問題證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關(guān)系式將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.題型4：零點(diǎn)與不等式的證明問題4-1．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），證明：.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）具體見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系得出單調(diào)區(qū)間；（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，進(jìn)而通過的符號(hào)得出的單調(diào)區(qū)間，再通過特值法和放縮法判斷出零點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，最后再通過放縮法證明問題.【詳解】（1），，時(shí)，，時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），令，∵，則在R上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，且.令，，則時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴x>0時(shí)，，則，于是x>0時(shí)，.∴，∴時(shí)，，于是（x2唯一），使得.∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.則函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值.又∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題第（2）問有難度，看似是雙變量的問題實(shí)際上是單變量問題，在探討的零點(diǎn)時(shí)首先要想到特值，本題含指數(shù)函數(shù)可以嘗試驗(yàn)證x=0是否是零點(diǎn)；在判斷第二個(gè)零點(diǎn)時(shí)用到了放縮法，因此我們需要對課本上的常見放縮不等式進(jìn)行總結(jié)和歸納，比如常見的等等.4-2．（2024·寧夏）已知函數(shù)（I）如，求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明>6.【答案】（Ⅰ）增區(qū)間，減區(qū)間（Ⅱ）證明見解析【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.(Ⅱ)由條件得：從而因?yàn)樗詫⒂疫呎归_，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是4-3．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）①當(dāng)時(shí)，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，利用分析法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化證明即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，其單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．（2）①由定義域?yàn)?，所以，令，因?yàn)?，，設(shè)方程的兩根分別為，，且，則，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，在處取得極大值，又，故，則，又因?yàn)?，，且，故有，由零點(diǎn)存在性定理可知，在恰有一個(gè)零點(diǎn)，在也恰有一個(gè)零點(diǎn)，易知是的零點(diǎn)，所以恰有三個(gè)零點(diǎn)；②由①知，，則，因?yàn)?，所以，所以要證，即證，即證，即證，即證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故式成立，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．4-4．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號(hào)即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）把原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價(jià)于證，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又，（?。┊?dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負(fù)無窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；（2）等價(jià)于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿足，，要證，等價(jià)于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.4-5．（2024·江蘇泰州·一模）已知函數(shù)，，．(1)若，求證：（?。┰诘膯握{(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；（ⅱ）在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：．【答案】(1)（i）詳見解析（ii）詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)的遞減區(qū)間，證出在此區(qū)間也遞減即可；（ii）求出，構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較判斷；（2）根據(jù)（ii）中分別求出的范圍，相加即可；【詳解】（1）證明：(1)(ⅰ)因?yàn)?，由令得的遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，所以在的遞減區(qū)間上也遞減．(ⅱ)因?yàn)?，由得，令，則.因?yàn)?，且，所以必有兩個(gè)異號(hào)的零點(diǎn)，記正零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則由，得，所以，又對稱軸，所以所以.又，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．又令，解得.所以取，當(dāng)時(shí)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．故時(shí)，在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）由（ⅱ）知，對在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所?-6．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù).（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?，利用?dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，使在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，進(jìn)而分別計(jì)算并判斷，，與零的大小比較，最后由零點(diǎn)的存在性定理即可確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知，進(jìn)而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，構(gòu)造函數(shù)，由（1）的單調(diào)性分析，表示最小值并由雙勾函數(shù)證得，即可得證.【詳解】（1）由題可知，定義域當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，（為的導(dǎo)函數(shù)）單調(diào)遞增，使.時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增所以由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在遞減，，，且，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)又，且所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知要證需證令需證令與（1）同理得所以故【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)的存在性定理研究函數(shù)的零點(diǎn)，還考查了利用分析法證明不等式，屬于難題.4-7．（2024高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，已知方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，證明：.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、對數(shù)均值不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，?dāng)，即時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，不可能有極值，舍去；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在取得極大值，符合題意；綜上：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由得:.由得即構(gòu)造.易知在單調(diào)遞增且.∴.即取對數(shù)得設(shè).則即.利用對數(shù)均值不等式有即證得.要證.只要證明.設(shè).由（*）可且則在單調(diào)遞減，則.即對數(shù)均值不等式.證明如下:不妨設(shè)，要證，即證，，令即證，即即證:.令，則所以結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)均值不等式.（四）導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問題利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問題5-1．（2024·全國）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí).【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.5-2．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，記較小零點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)答案見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可求解；（2）分析要證的，利用可得代換，即證，令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由第一問可知，且較小的零點(diǎn)，則要證，即證，即證，而可得（易檢驗(yàn)），代換上式中，所以即證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，而，所以，即，得證.一、單選題1．（2024·天津）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】恒成立，所以單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè).2．（2024·全國）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.3．（2024·全國）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當(dāng)時(shí)，才滿足題意，即是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.4．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)?；②；③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，對求導(dǎo)，結(jié)合的單調(diào)性可知，由此可知另一根為，由的范圍可求出的范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，因?yàn)?，令，即有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，得或，若，令，可得或；令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，同理若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，要使有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則，而，則，因?yàn)?，則，則，則有一根是確定的為，又因?yàn)?，所以的另一根為，所以，因?yàn)?，?故選：B.5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有3個(gè)不同的解，，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對函數(shù)變形，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及圖象，把原函數(shù)有3個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，從而利用根的分布求解即可.【詳解】，令，則，令得，令得且，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，如圖：

則，所以有3個(gè)不同的解等價(jià)于有兩個(gè)解，，整理可得，且，，根據(jù)根的分布得，解得，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問題的解題策略為：首先要能觀察出復(fù)合的形式，分清內(nèi)外層；其次要能根據(jù)復(fù)合的特點(diǎn)進(jìn)行分析，將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題；最后通過數(shù)形結(jié)合的方式解決問題.二、多選題6．（2024高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于中心對稱C．當(dāng)，且時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，【答案】BC【分析】特殊值法可排除A項(xiàng)，利用函數(shù)的對稱性可判定B，取特殊值結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值可判定C，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)結(jié)合判別式可判定D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，，若時(shí)，，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，取，即時(shí)，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，即，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D項(xiàng)，若在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則恒成立，所以，解得，所以D錯(cuò)誤，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題C項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合極大小值的正負(fù)及取特殊點(diǎn)判斷函數(shù)值符合是關(guān)鍵.7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義求函數(shù)的零點(diǎn)，由定義可得函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，結(jié)合函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問題，求導(dǎo)，可得答案.【詳解】由題意，可得，，易知，則，，則在有解，求導(dǎo)得：，令，解得，可得下表：極大值則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，則的取值范圍為，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以的值可以是，，.故選：BCD.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.三、填空題8．（2024·北京）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．9．（2024高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.【答案】5【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及分段函數(shù)解析式畫圖象數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】，則，，在上為負(fù)，遞減；在為正，遞增，，，，作出在的圖象.

時(shí)，，向上平移2個(gè)單位；時(shí)，，再向上平移2個(gè)單位，，.縱軸右邊圖象與左邊圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，由圖可知函數(shù)的圖象在縱軸右邊上有4個(gè)交點(diǎn)，在縱軸左邊上有1個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)，∴共有5個(gè)零點(diǎn).故答案為：5.10．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．【答案】6【分析】令，首先分析的根的情況，進(jìn)一步結(jié)合的根的情況即可得解.【詳解】首先分以下兩種情形來研究函數(shù)的性態(tài)：情形一：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，由此可以列出以下表格：所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且有極大值，極小值.情形二：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，由此可以列出以下表格：所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且有極小值.綜合以上兩種情況，且注意到當(dāng)趨于負(fù)無窮時(shí)，也趨于負(fù)無窮，當(dāng)在1的左邊趨于1時(shí)，趨于，且，當(dāng)趨于正無窮時(shí)，也趨于正無窮，由此即可在同一直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下圖：

其中、、為方程的三個(gè)根，、為方程的兩個(gè)根，由圖可知，；所以由以上分析可知方程有三個(gè)根、、，現(xiàn)在只需把回代到方程中即可，且注意到，，，所以方程、、分別有個(gè)根.綜上所述方程一共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故答案為：6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于首先利用換元法令，將問題轉(zhuǎn)換為的根的情況，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)去分析這個(gè)函數(shù)的性態(tài)，由此得出方程的根的個(gè)數(shù)，最終回代即可.11．（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最小值，求得，再求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)只有一個(gè)根，即在內(nèi)只有一個(gè)根，令，可得，再令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即，所以函數(shù)，則，令時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又由，故函數(shù)在上的最大值為，最小值為，最大值與最小值的和為.故答案為：.四、解答題12．（2024·全國）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，首先可判斷出在上無零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵伊?，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點(diǎn)即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又

在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點(diǎn)④當(dāng)時(shí)，，即在上不存在零點(diǎn)綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.13．（2024·全國）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；（2）證明見解析.【分析】（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)問題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.【詳解】（1）當(dāng)a=3時(shí)，，．令解得x=或x=．由解得：；由解得：．故函數(shù)的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】【通性通法】等價(jià)轉(zhuǎn)化＋零點(diǎn)存在性定理由于，所以等價(jià)于．設(shè),則,僅當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增.故至多有一個(gè)零點(diǎn),從而至多有一個(gè)零點(diǎn).又,故有一個(gè)零點(diǎn).綜上,只有一個(gè)零點(diǎn).［方法二］：函數(shù)零點(diǎn)與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系因?yàn)?，所以等價(jià)于，令，則．因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)．［方法三］：【通性通法】含參分類討論＋零點(diǎn)存在性定理．①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)與時(shí)，，再令或，則有．當(dāng)與時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以．極大值與極小值同正同負(fù)，故只有一個(gè)零點(diǎn)．［方法四］：等價(jià)轉(zhuǎn)化＋零點(diǎn)存在性定理由于，所以，等價(jià)于．設(shè)，則，僅當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，取，則有，取，則有，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，只有一個(gè)零點(diǎn)．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：通過分離參數(shù)將原函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為易求單調(diào)性的函數(shù)零點(diǎn)問題，該法既是該類型題的通性通法，也是該題的最優(yōu)解；方法二：將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，是常見的解題思路，對于證明題，這種方式顯得不是特別嚴(yán)謹(jǐn)；方法三：直接對參數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，也是該類型問題的通性通法，但對于該題，顯得有些復(fù)雜；方法四：該法同方法一，只是在零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用過程中取點(diǎn)不一樣．14．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.15．（2024·全國）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.16．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)已知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i）（ii）證明見解析【分析】（1）求得，令，得到，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，求得的取值范圍.（2）（i）由，轉(zhuǎn)化為，令，得到，令，求得，進(jìn)而得到得到單調(diào)性，得到，進(jìn)而求得的取值范圍；（ii）由（i）不妨設(shè)，得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）解：由，可得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則滿足，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：（i）由，即，即，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又由當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，即的取值范圍；（ii）由（i）不妨設(shè)，則，因?yàn)槭堑?個(gè)零點(diǎn)，所以，，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，單調(diào)遞減，要證：，可得，其中，可得，由，所以.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.17．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)（）.(1)求a的取值范圍；(2)過點(diǎn)與分別作的切線，兩切線交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.【答案】(1)(2)0【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用二次方程根的分布列不等式即可求解；（2）先求出，然后求出兩條切線方程，聯(lián)立方程即可求解交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得解.【詳解】（1）由得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意只需使在有兩個(gè)異號(hào)根即可，所以，解得；綜上，.（2）當(dāng)時(shí)，.又，故，.又知當(dāng)時(shí)，有，所以，即，故.又，所以在處的切線方程為，所以在處的切線方程為，聯(lián)立整理得兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo).故M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離0.18．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以