322函數(shù)的奇偶性-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)剖析講義與分層練習(xí)(人教A版2019)

函數(shù)的奇偶性1函數(shù)奇偶性的概念(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域I是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.注①?gòu)亩x可知，若x是函數(shù)定義域中的一個(gè)數(shù)值，則-x也必然在該定義域中．故判斷函數(shù)的奇偶性的前提是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如fx=x,x∈(-1,1]②函數(shù)按奇偶性可以分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．從定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即f(x)=0，x2性質(zhì)①偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；證明∵f(x)為奇函數(shù)，∴f-x令x=0，則f-0=-f(0)，即f0④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．【例】設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域是[－2,2]解由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(x【練】如圖，給出了偶函數(shù)y=f(x)解∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于由圖象可知f(1)3判斷函數(shù)奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再求f(-x),看下與f(x)的關(guān)系：若f-x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f-x②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)是偶函數(shù).③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據(jù)函數(shù)得到f(1)≠f(-1)，則排除f(x)是偶函數(shù).④性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差(分母不為0)仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).對(duì)于復(fù)合函數(shù)Fxg(x)f(x)F偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【題型1】判斷函數(shù)的奇偶性【典題1】判斷下列函數(shù)的奇偶性1fx=2x2+2x4f(x)=|x|x2解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．(2)∵函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,1}且f(x)=0，f(-1)=0，f(1)=0，∴f(-1)=f(1)且f-1∴函數(shù)f(x)=x(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽，∵f(-x)=(-x)∴函數(shù)f(x)=x(4)函數(shù)的定義域?yàn)镽．方法1∵f(-x)=|-x|(-x)2+1=方法2∵y=|x|和y=x2+1是偶函數(shù)，∴(5)方法1f1=2，f-1=0，則f1+f-1故f(x)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．方法2畫出函數(shù)圖象如下圖，函數(shù)圖象即不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．點(diǎn)撥判斷函數(shù)的奇偶性的方法有①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再求f(-x),看下與f(x)的關(guān)系：若f-x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f-x②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)是偶函數(shù).③取特殊值排除法(選擇題)④性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差(分母不為0)仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).【鞏固練習(xí)】1.函數(shù)y=x3-x的奇偶性為(A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)答案A解析f-x=-x32.設(shè)f(x)是定義在R上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)答案A解析F-x=f-x-f3.如果定義在區(qū)間[3-a,5]上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，那么a=________.答案1解析∵f(x)是[3-a,5]上的奇函數(shù)，∴區(qū)間[3-a,5]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴3-a=-5，a=8.4.判斷函數(shù)f(x)=&1答案奇函數(shù)解析解法一：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，f(-x)=-1當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=1綜上所述，在(－∞,0)∪(0,+∞)上總有因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．解法二：作出函數(shù)的圖象，如圖所示．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)．【題型2】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用【典題1】若函數(shù)f(x)=2x-a2x+1的圖象關(guān)于A．-1 B．1 C．解析可知函數(shù)fx為偶函數(shù)，則f令x=1得，f(-1)=f(1)，即2-1-a2將a=-1代入解析式驗(yàn)證，符合題意．故選：A．點(diǎn)撥函數(shù)fx為偶函數(shù)，則f-x=fx是對(duì)于定義域內(nèi)任意x均成立的，故本題令x=1求得a【典題2】已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x+2x-a，則f解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(0)=0，則有f(0)=20-a=1-a=0則f(1)=2+2-a=4-1=3，又由f(x)為奇函數(shù)，則f(-1)=-f(1)=-3.點(diǎn)撥若奇函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)能取到0，則f(0)=0.【典題3】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x(-∞,0)時(shí)，f(x)=x-x4，則當(dāng)x(0,+∞)解析設(shè)x>0，則-x<0，則f(-x)=-x-(-x)又∵y=f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)=f(-x)，x>0，從而在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=-x-x【鞏固練習(xí)】1.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(-1)=1，則f1+f0A．1 B．0答案C解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0，若f(-1)=1，則f(1)=-f(-1)=-1，則f(1)+f(0)=-1；故選：C．2.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-2x2+x，則f(2)=A．-6 B．6答案D解析∵f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-2x∴f(-2)=-8-2=-10，即-f(2)=-10，則f(2)=10，故選：D．3.若函數(shù)f(x)=(2x+1)(x-a)x(a∈R)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)aA．12 B．0 答案A解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=(2x+1)(x-a)則f(-x)=-f(x)，即(2x+1)(x-a)x變形可得(2a-1)x=0，則有a=12；故選4.已知函數(shù)f(x)=ax+x4x+1是偶函數(shù)，則常數(shù)a的值為答案-解析易知函數(shù)定義域?yàn)镽∵函數(shù)f(x)=ax+x∴f(-x)=f(x)對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立∴-ax+-x∴-2ax=x∴(1+2a)x=0對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立∴1+2a=0，即a=-15.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x+m,則f(-2)答案-3解析根據(jù)題意，f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=2解可得：m=-1，即當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x-1又由f(x)為奇函數(shù)，則f(-2)=-f(2)=-3.【題型3】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合【典題1】若函數(shù)f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數(shù)，且在[-6,0]上單調(diào)遞減，則()A．f(3)+f(4)>0B．f-3C．f(-2)+f(-5)<5D．f解析f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數(shù)，且在[-6,0]上單調(diào)遞減，可得f(x)在[0,6]上單調(diào)遞增，依題意有-4<-1?f-4點(diǎn)撥涉及到函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，可借助函數(shù)的圖象去理解消化.【典題2】函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在區(qū)間(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明：f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)；(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0．解析(1)由題意知&f(0)=0&f12=25故f(x)=x(2)任取-1<x1<x2<1fx2-fx1=x21+x∵-1<x∴-1<x于是fx∴f(x)為區(qū)間(-1,1)上的增函數(shù)．(3)ft-1∵f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，∴－1<t-1<-t<1，解得點(diǎn)撥求解類似fx<f(a)【鞏固練習(xí)】1.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為-1，則2f(-6)+f(-3)的值為.答案-15解析f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，f(x)max=f(6)=8∴2f-62.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x[0,+∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2),f(π),f(答案f(π)>f(-3)>f(-2)解析利用函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，將f(-2),f(-3)轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0,+∞)上，利用f(x)在此區(qū)間上是增函數(shù)比較大?。?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)．又因?yàn)楫?dāng)x[0,+∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(-3)>f(-2)．3.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)，且f(x-1)>f(3-2x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是