專題09導數(shù)及其應(yīng)用（利用導研究函數(shù)的零點方程的根）（解答題壓軸題）-2022年高考數(shù)學高分必刷必過題

專題09導數(shù)及其應(yīng)用（利用導數(shù)研究函數(shù)的零點、方程的根）1．（2021·安徽裕安·六安二中高三月考）已知函數(shù).（1）若和直線相切，求的值；（2）令，，當時，判斷零點的個數(shù)并證明.【答案】（1）；（2）兩個零點，證明見解析.【詳解】解：（1）由題意，函數(shù)，可得，設(shè)切點坐標為，可得切線的斜率，可得，所以，即切點坐標為，將點代入，可得，解得（2）由，可得，當時，，所以是的一個零點，設(shè)，可得，當時，，所以在上時單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上沒有零點；當時，，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，，所以在內(nèi)存在唯一，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，所以在內(nèi)有一個零點，綜上可得，函數(shù)有兩個零點.2．（2021·北京海淀·人大附中高三月考）已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）當時，函數(shù)恰有1個零點．【詳解】解：（1）若，則，所以，所以，所以切線方程為（2）依題意，在區(qū)間上因為，．令得，或．若，則由得，；由得，．所以，滿足條件；若，則由得，或；由得，，依題意，即，所以．若，則．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足條件；綜上，．（3），．所以．設(shè)，．令得．當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．因為，所以．所以的最小值．從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，設(shè)．則．令得．由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以恒成立．所以，．所以．又，所以當時，函數(shù)恰有1個零點．3．（2021·全國高三專題練習（文））設(shè)為實數(shù)，且，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】（1）時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.【詳解】（1），①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.（3）有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由（2）可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.4．（2021·浙江省富陽中學高三開學考試）已知．（1）若在定義城內(nèi)單調(diào)遞增，求的最小值;（2）當時，若有兩個極值點，求證：;（3）當時，判斷的零點個數(shù)．【答案】（1）;（2）證明見解析；（3）1.【詳解】（1），，因為在定義城內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，故，設(shè)，若，則當時，，故在上恒成立，這不可能.若，則在上恒成立，取，則有，故.若，此時，令，則為上的減函數(shù)，而，取，則當時，有，故在上存在唯一零點，設(shè)該零點為，由零點存在定理可得.故當時，；當時，，故在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故.所以，因為，故，所以，其中.設(shè)，，則，當時，，當時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故，故即的最小值為.（2）當時，，因為有兩個極值點，所以，即，從而，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，又因當時，，當時，，所以，由對數(shù)均值不等式得，從而，所以;（3），令，則，令，則，得或，即或，當，即，時，函數(shù)，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，當時，，當時，所以，當時，，故函數(shù)在上遞減，又當時，，當時，，，所以方程只有一實根，即函數(shù)有一個零點.5．（2021·浙江省杭州第二中學高三開學考試）已知，.（1）求的最小值.（2）設(shè)，若當時，有三個不同的零點，求的最小值.（3）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）0；（2）；（3）.【詳解】（1）由題知：，令得，，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，有最小值為：，故的最小值為.（2），∴，當時，，單調(diào)遞增,又，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，，此時與軸只有1個交點，即只有1個零點，不合題意.當時，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴若，則在區(qū)間上存在，當時，，當時，，當時，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)有且只有一個零點.當時，存在，使得，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，從而要使有三個零點，必有，∴，即，∴，又∵，令，則∵當時，，∴在區(qū)間單調(diào)遞增，∴，即.（3），即，∴，令，則，令，則，∵，∴，在上單調(diào)遞增，∴，于是在上單調(diào)遞增，又由（1）知當時，恒成立，∴，∴，∴的取值范圍是.6．（2021·六安市裕安區(qū)新安中學高三月考（理））已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記．當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.【詳解】（1）直線的斜率為1．函數(shù)的定義域為，，所以，所以．所以，．由解得；由解得．所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（2）依題得，則．由解得；由解得．所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．又因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以，解得．所以的取值范圍是．7．（2021·重慶市秀山高級中學校高三月考）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）討論函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值為，無極大值；（2）詳見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，令得，則，的變化情況如下表示：0單調(diào)遞減單調(diào)遞增∴得單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當，有極小值為，無極大值.（2）令有：當時，；當時，，且經(jīng)過，，.當，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)增長更快，從而；當時，，，根據(jù)以上信息，畫出大致圖象如下圖所示.函數(shù)的零點的個數(shù)為與的交點個數(shù).當時，有極小值.∴關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)有如下結(jié)論：當時，零點的個數(shù)為0個；當或，零點的個數(shù)為1個；當時，零點的個數(shù)為2個.8．（2021·陜西新城·西安中學高三月考（理））已知函數(shù).（1）試討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若函數(shù)，且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當或時，函數(shù)只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．（2）【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可得，則有：①若，則，此時可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以函數(shù)只有一個零點；②若，令，則有，所以，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減；即，則有：當時，則，此時函數(shù)只有一個零點；當時，即時，則，又因為時，；時，，根據(jù)零點存在定理可得，此時函數(shù)在上有兩個零點．綜上可得，當或時，函數(shù)只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．（2）下面證明：，有，先證：，有，由（1）可知當時，，即當時，，故，，再證，；要證，，只需證明，，即證，，即證，令在上恒成立，即得函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，即，恒成立，即，有，當時，由（1）得，在上單調(diào)遞增，則由上結(jié)論可知，在上恒成立，符合題意；當時，由（1）得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時當時，，不合題意，綜上可得，，即．9．（2021·廣東鹽田·深圳外國語學校高三月考）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）是否存在正數(shù)，使得對任意恒成立？證明你的結(jié)論.（3）求在上零點的個數(shù).【答案】（1）；（2）存在正數(shù)，使得對任意恒成立；證明見解析；（3）個.【詳解】（1），，又，在處的切線方程為：，即；（2）令，，則，當時，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；若，即，只需，又，，，則當時，成立；存在正數(shù)，使得對任意恒成立；（3）①當時，，在上無零點；②當時，，，在上單調(diào)遞增，，，，使得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；又，，，在和上各有一個零點；③當時，在上單調(diào)遞增，，，，使得，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，，，，使得，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在上無零點；綜上所述：在上的零點個數(shù)為個.10．（2021·河南高三月考（理））已知函數(shù)在處取得極值.（1）求在上的最小值；（2）若關(guān)于的方程有唯一解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由，可得，由在處取得極值，可得，解得.此時，顯然是的一個極值點，滿足題意.若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減.因為，，所以在上的最小值為.（2）設(shè)，由可得.令，則，所以，，且當時，，當時，，當時，.所以，.的大致圖象如圖：因為關(guān)于的方程有唯一解，所以的取值范圍是.11．（2021·浙江高三月考）已知函數(shù)．（I）若，求證：當時，；（II）討論方程的根的個數(shù)．【答案】（I）證明見解析；（II）當時，僅有一個實根；當時，有三個不相等的實根.【詳解】（I）證明：由，，所以，要證，即證，即證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，成立，所以．（Ⅱ），當時，；當時，，①當時，在R上單調(diào)遞增，所以有唯一解；②當時，，因為，所以，所以，1）當，即時，，所以在R上單調(diào)遞增，所以有唯一解；2）當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，所以存在，使得，，且，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因為，記，則，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，則，又因為，且，所以，所以當時，有三個根．綜上所述：當時，僅有一個實根；當時，有三個不相等的實根.12．（2021·沙坪壩·重慶八中高三模擬預測）已知函數(shù)（且）．（1）若，求方程的根的個數(shù)；（2）若（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求的取值范圍．【答案】（1）方程有2個根，；（2）.【詳解】解：（1）時，，，，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，又，，且，故方程有2個根，．（2），若，，故不符合題意；若，，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，所以的最小值為．由題知（*），令，則（*）等價于，令，（）．令（），，單調(diào)遞減，又，所以，；，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，故．13．（2021·全國高三專題練習（理））已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.14．（2021·江蘇鼓樓·南京師大附中高三模擬預測）已知函數(shù)，，（1）證明∶關(guān)于的方程f在上有且僅有一個實數(shù)根；（2）當時，，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為3.【詳解】證明∶令，即，所以因此當x∈時，，，當x∈時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為所以在無零點，在只有一個零點，因此方程有且僅有一個根（2）令，則則因為，所以,，從而①.因此當時，,則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，因此，所以函數(shù)在調(diào)遞增，又，在恒成立②．當時,令,由因為∈(0，1)必有一解，記為x0，所以當時，，當時，因此當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，又，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，與題意矛盾，綜上所述，所以a的最大值為3.15．（2021·浙江高三模擬預測）已知函數(shù)，.（1）若，過點作曲線的切線，求切點坐標；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【詳解】（1）當時，函數(shù)，可得，設(shè)切點坐標為，則，所以曲線在點處的切線方程為，化簡得.因為切線過點，所以，即，解得，所以切點坐標為.（2）令，可得，即(*)，令，則方程(*)等價于方程(**).對于函數(shù)，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，且當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于0，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示.當時，方程(**)為，得，此時函數(shù)只有一個零點.當時，對于(**)，，所以方程必有2個不同的根，不妨設(shè)為，，且，記，若，即，則，得.由于，因此當，即時，，①當時，，則，，此時函數(shù)有2個零點；②當時，，則，此時函數(shù)有3個零點；③當時，，則，，此時函數(shù)有1個零點.若，即，則，，可得，此時函數(shù)有2個零點.綜上，當時，函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)有3個零點.16．（2021·衡水第一中學高三月考（理））已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，方程有兩個實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】解：（1）由題意知函數(shù)的定義域為，因為，所以．①當時，在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．②當時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）方程有兩個實根，即關(guān)于x的方程有兩個實根，即函數(shù)有兩個零點．又，令，由（1）得t是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以只需函數(shù)有兩個零點．令，得，令，則，易知當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值．又因為當時，，當時，，，則函數(shù)的圖象如圖所示，所以當，即時，函數(shù)有兩個零點．所以實數(shù)m的取值范圍為17．（2021·江西南昌·高三期末（理））設(shè)