機(jī)器人驅(qū)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)控制 課件 第2章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

第2章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析2.1機(jī)器人空間描述2.2機(jī)器人位姿描述與坐標(biāo)變換2.3機(jī)器人齊次坐標(biāo)變換2.4機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立2.5機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算2.6本章小結(jié)

2.1機(jī)器人空間描述

符號(hào)表達(dá)是科學(xué)和工程中的一個(gè)重要問題。針對(duì)本書中提到的相關(guān)公式符號(hào)的一般表達(dá),有如下說明：

(1)一般用黑體字母表示矢量或矩陣，用非黑體字母表示標(biāo)量。

(2)左下標(biāo)和左上標(biāo)表示變量所在的坐標(biāo)系。例如，AP

表示坐標(biāo)系{A}中的位置矢量，ABR

是確定坐標(biāo)系{A}和坐標(biāo)系{B}相對(duì)關(guān)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

(3)右上標(biāo)表示矩陣的逆或轉(zhuǎn)置(比如R-1、RT)，這種表示已被廣泛接受。

(4)右下標(biāo)沒有嚴(yán)格限制，可能表示矢量的分量(例如x、y

或z)或者某種描述。

(5)我們可能會(huì)用到許多三角函數(shù)。例如，角θ1

的余弦可以用以下任何一種形式表示：cosθ1=cθ1=c1。

2.1.1空間點(diǎn)的描述

空間中任一點(diǎn)P(ax,by,cz)的位置(如圖2-1所示)可用它在參考坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)表示，即

式中，ax、by、cz

是點(diǎn)P

在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。顯然,也可以用其他坐標(biāo)來表示空間點(diǎn)的位置?？梢钥闯?，空間中點(diǎn)的表示是比較簡(jiǎn)單的。圖2-1空間點(diǎn)的描述

2.1.2空間矢量的描述

矢量是一個(gè)有大小和方向的量。如果一個(gè)矢量P

起始于點(diǎn)A(Ax,Ay,Az)，終止于點(diǎn)B(Bx,By,Bz)，那么它可以記為PAB，且

可以看出，公式(2-2)也就是兩點(diǎn)坐標(biāo)的差。特殊情況下，如果一個(gè)矢量P

起始于原點(diǎn),即點(diǎn)A

在原點(diǎn)，則矢量P

可以表示為

式中,ax、by、cz

是矢量P

在參考坐標(biāo)系中的3個(gè)分量。

實(shí)際上，2.1.1節(jié)中的點(diǎn)P就是用連接到該點(diǎn)的矢量表示的，具體地說，也就是用連接到該點(diǎn)的矢量的3個(gè)分量表示的。我們可以把矢量的3個(gè)分量寫成矩陣的形式，即

在本章中，我們將用式(2-4)的形式表示運(yùn)動(dòng)分量。對(duì)于空間矢量的矩陣表示，也可以通過加入一個(gè)比例因子w

將公式(2-4)稍做變化。令x、y、z各除以w,得到ax、by、cz，則這時(shí)矢量P

可以寫為新的形式，即

式中

2.1.3坐標(biāo)系的描述

一個(gè)原點(diǎn)位于參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)系可由三個(gè)矢量(即n、o、a)表示，如圖2-2所示，通常這三個(gè)矢量相互垂直，稱為單位矢量。圖中n為法向矢量,o為指向矢量，a

為接近矢量。這樣，每一個(gè)單位矢量都由它所在參考坐標(biāo)系的3個(gè)分量表示，因此，坐標(biāo)系{F}就可以由3個(gè)矢量以矩陣的形式表示出來，即圖2-2中心位于參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)系

如果一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)不在參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)，那么該坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置也必須表示出來，如圖2-3所示，為此，在該坐標(biāo)系原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)之間做一個(gè)矢量P

來表示該坐標(biāo)系的位置。這樣，這個(gè)坐標(biāo)系就可以表示為矩陣F，由三個(gè)表示方向的單位矢量以及第四個(gè)位置矢量表示，即圖2-3一個(gè)坐標(biāo)系在另一個(gè)坐標(biāo)系中的表示

2.1.4剛體的描述

在坐標(biāo)系中表示機(jī)器人時(shí)，需要把機(jī)器人看作一個(gè)物體，稱之為剛體。剛體是一種理想物理模型，即在外力作用下，物體的形狀和大小保持不變，而且內(nèi)部各部分的相對(duì)位置

保持恒定，也就是沒有發(fā)生形變。剛體具有如下特性：(1)剛體上任意兩點(diǎn)的連線在平動(dòng)中是平行且相等的。

(2)剛體上任意質(zhì)元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各質(zhì)元的位移、速度和加速度卻相同。

以上剛體的特性也是我們常用“剛體的質(zhì)心”來研究剛體的平動(dòng)的原因。

剛體的坐標(biāo)系的表示方法是首先在它上面固連一個(gè)坐標(biāo)系,再將該固連坐標(biāo)系在空間表示出來,如圖2-4所示。圖2-4空間剛體的描述

由于這個(gè)坐標(biāo)系一直固連在該剛體上，因此該剛體相對(duì)于坐標(biāo)系的位姿是已知的。因此，只要把這個(gè)坐標(biāo)系在空間中表示出來，那么這個(gè)剛體相對(duì)于固連坐標(biāo)系的位姿也就已知了，根據(jù)2.1.3節(jié)所講,空間坐標(biāo)系可以用矩陣Fobject表示，即

因此,只有上述約束方程成立時(shí)，坐標(biāo)系的值才能用矩陣表示。否則,坐標(biāo)系將不正確。只有了解了坐標(biāo)系的表示方法，才能更好地建立多工件機(jī)器人、移動(dòng)機(jī)器人、機(jī)器人與工具末端的坐標(biāo)系。圖2-5所示為多工件機(jī)器人坐標(biāo)系。圖2-5多工件機(jī)器人坐標(biāo)系示意圖

2.2-機(jī)器人位姿描述與坐標(biāo)變換

2.2.1位置的描述一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個(gè)3×1的位置矢量描述坐標(biāo)系中任何點(diǎn)的位置。但是如圖2-5所示，機(jī)器人系統(tǒng)中經(jīng)常有許多坐標(biāo)系，因此必須能夠在矢量中加入坐標(biāo)系信息，即表明該矢量是在哪一個(gè)坐標(biāo)系中被定義的。

首先建立一個(gè)直角坐標(biāo)系{A}(在機(jī)器人末端執(zhí)行器上建立的笛卡兒坐標(biāo)系即為工具坐標(biāo)系)，在直角坐標(biāo)系{A}中，空間中任一點(diǎn)P的位置可用3×1的位置矢量AP

表示，即

從圖2-6中可以看到，坐標(biāo)系{A}(工具坐標(biāo)系)的原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的位置可用來表示機(jī)器人的位置。圖2-6機(jī)器人位置描述

2.2.2-姿態(tài)的描述

為了研究機(jī)器人在空間的運(yùn)動(dòng)狀況，不僅要確定剛體的空間位置，而且需要確定剛體在空間的姿態(tài)(也稱為方位)。剛體姿態(tài)的描述可以采用歐拉角、旋轉(zhuǎn)矩陣、RPY角等方法。以下介紹使用旋轉(zhuǎn)矩陣描述剛體姿態(tài)的方法，即通常使用與剛體固連的坐標(biāo)系描述其在直角坐標(biāo)系下的姿態(tài)。

剛體的姿態(tài)描述如圖2-7所示。圖2-7剛體的姿態(tài)描述

我們可以將三個(gè)單位矢量按照順序組成一個(gè)3×3的矩陣，稱該矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣，表示如下：

式(2-10)中，標(biāo)量rij

可用每個(gè)矢量參考坐標(biāo)系中軸線方向上投影的分量來表示，即ABR

可用一對(duì)單位矢量的點(diǎn)積表示，即

由于兩個(gè)單位矢量的點(diǎn)積可表示為兩者之間夾角的余弦,故式(2-11)中的旋轉(zhuǎn)矩陣也可表示為

旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)正交矩陣，即ABRT=ABR-1,且

|ABR|=1。旋轉(zhuǎn)矩陣是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的基礎(chǔ)，它反映了剛體的定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。經(jīng)常用到的3個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣分別是繞x

軸、y軸、z

軸旋轉(zhuǎn)θ角得到的，表示如下：

2.2.3位姿的描述

在機(jī)器人學(xué)中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對(duì)出現(xiàn)，于是我們將此二者組合稱作位姿。為了完整描述剛體在空間的位姿，需要規(guī)定它的位置和姿態(tài)。一個(gè)位姿可以等價(jià)地用一個(gè)位置矢量和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣描述，4個(gè)矢量成一組，其中，1個(gè)矢量表示指尖位置，3個(gè)矢量表示姿態(tài)，合起來表示剛體的位置和姿態(tài)信息，即一個(gè)位置矢量和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。

以剛體

B為例，將剛體

B與坐標(biāo)系{B}固連，坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)通常選擇在剛體的質(zhì)心或?qū)ΨQ中心等特征點(diǎn)上。相對(duì)于參考坐標(biāo)系{A}，用位置矢量APBORG描述坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)的位置，用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于參考坐標(biāo)系{B}的姿態(tài)，則坐標(biāo)系{B}的位姿完全可以由下式表示：

當(dāng)式(2-16)表示位置時(shí)，式

(2-16)中的旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣，即ABR=E；當(dāng)式(2-16)表示姿態(tài)時(shí)，位置矢量APBORG=0。

機(jī)器人的末端執(zhí)行器可以看成剛體，為了描述末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，與其固連的坐標(biāo)系稱為工具坐標(biāo)系{B}。設(shè)夾鉗中心點(diǎn)為原點(diǎn)，接近物體的方向?yàn)閦軸，此方向上的矢量稱為接近矢量a，它是關(guān)節(jié)軸方向的單位矢量；兩夾鉗的連線方向?yàn)閥

軸，此方向上的矢量稱為指向矢量o，也就是手指連線方向的單位矢量；根據(jù)右手法則確定x

軸，此方向上的矢量稱為法向矢量n。

根據(jù)坐標(biāo)系知識(shí)，可以將末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)表示出來，即

總之，位姿可以用兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)關(guān)系來描述，即式(2-17)和式(2-18)。位姿包括了位置和姿態(tài)兩個(gè)概念，B=[n,o,a,P]。機(jī)器人的位置可以用一個(gè)特殊的位姿來表示，它的旋轉(zhuǎn)矩陣是單位矩陣，并且機(jī)器人的任意點(diǎn)的位置矢量的分量確定了被描述點(diǎn)的位置；同樣，如果位姿的位置矢量是零矢量，那么它表示的就是姿態(tài)。

2.2.4機(jī)器人坐標(biāo)變換

設(shè)坐標(biāo)系{A}和{B}具有相同的姿態(tài)，但它們的坐標(biāo)原點(diǎn)并不重合，如圖2-8所示。圖2-8坐標(biāo)平移

2.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

設(shè)坐標(biāo)系{A}和{B}有共同的原點(diǎn)，但兩者的姿態(tài)不同，如圖2-9所示。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)。點(diǎn)P

在坐標(biāo)系{B}中的位置矢量為BP，在坐標(biāo)系{A}中的位置矢量為AP，則點(diǎn)

P

在兩個(gè)坐標(biāo)系中的描述存在變換關(guān)系A(chǔ)P=ABRBP，即坐標(biāo)旋

轉(zhuǎn)。值得注意的是，由于旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，因此ABR

與ABR

兩者互逆，即ABR=ABRT=ABR-1。圖2-9坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

3.復(fù)合變換

一般情況下,坐標(biāo)系{A}和{B}的原點(diǎn)不重合,兩者的姿態(tài)也不同,如圖2-10所示。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR

描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài),用APBORG描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的位置。任一點(diǎn)P在坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}中存在變換關(guān)系A(chǔ)P=ABRBP+APBORG。圖2-10復(fù)合變換

可以這樣理解，設(shè)置一個(gè)過渡坐標(biāo)系{C}，坐標(biāo)系{C}和{B}的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)系{C}和{A}的姿態(tài)相同。首先坐標(biāo)系{C}由坐標(biāo)系{B}旋轉(zhuǎn)變換后得來，坐標(biāo)系{C}與坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)相同，但原點(diǎn)不重合；然后將坐標(biāo)系{C}平移使其原點(diǎn)與坐標(biāo)系{A}的原點(diǎn)重合，這個(gè)變換形式可以利用矢量相加來表示，故這個(gè)變換過程可總結(jié)為下式：

[例題2-1]

已知坐標(biāo)系{B}的初始位置與坐標(biāo)系{A}的位置重合，首先坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的zA

軸旋轉(zhuǎn)30°,再沿坐標(biāo)系{A}的xA

軸移動(dòng)10個(gè)單位,沿yA

軸移動(dòng)5個(gè)單位，試求矢量APBORG和旋轉(zhuǎn)矩陣ABR。假設(shè)點(diǎn)P

在坐標(biāo)系{B}中的描述為BP=[3,7,0]T,求它在坐標(biāo)系{A}中的描述AP。

2.3機(jī)器人齊次坐標(biāo)變換

2.3.1齊次坐標(biāo)一般情況下，公式(2-19)可以描述不同坐標(biāo)系間AP

與BP

之間的關(guān)系，由此我們可以引出一個(gè)新的形式AP=ABTBP

，即用矩陣形式表示一個(gè)坐標(biāo)系到一個(gè)坐標(biāo)系的映射，這比公式(2-19)更加簡(jiǎn)單。

由于變換式對(duì)于BP

是非齊次的，因此可以定義一個(gè)4×4的矩陣，將等式AP=ABTBP

寫為等價(jià)齊次坐標(biāo)變換形式，即

式中，E

為單位矩陣。

令式(2-20)中的4×4矩陣為齊次變換矩陣ABT，可得

式中

公式(2-21a)中AP

與BP

均為4×1的位置矢量。

2.3.2-純平移變換

如果一個(gè)坐標(biāo)系在空間中以不變的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，那么該坐標(biāo)系所做的就是純平移變換，如圖2-11所示。圖2-11純平移變換

相對(duì)于參考坐標(biāo)系，新坐標(biāo)系的位置可以用原來坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置矢量加上表示位移的矢量求得。若用矩陣形式，則新坐標(biāo)系的位置表示可以通過坐標(biāo)系矩陣左乘變換矩陣得

到。由于在純平移變換中方向向量不改變，因此變換矩陣T

可以簡(jiǎn)單地表示為

式中,dx、dy、dz

是純平移矢量D

相對(duì)于參考坐標(biāo)系x、y、z

軸的3個(gè)分量。由式(2-22)可以看出,矩陣的前三列表示沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(等同于單位矩陣)，最后一列表示平移移動(dòng)。平移后新坐標(biāo)系的位置可表示為

式中，F(xiàn)new是平移后的新坐標(biāo)系的位置矢量，F(xiàn)old是平移前坐標(biāo)系的位置矢量，Trans(dx,dy,dz)稱為平移算子，且

2.3.3繞軸純旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)矩陣還可以用旋轉(zhuǎn)算子來定義。在坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)表示中，為簡(jiǎn)化繞軸旋轉(zhuǎn)的推導(dǎo)，先假設(shè)該坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)并且與之平行，之后將結(jié)果推廣到其他的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的組合。

假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(n,o,a)的原點(diǎn)位于參考坐標(biāo)系(x,y,z)的

原

點(diǎn)，旋

轉(zhuǎn)

坐

標(biāo)

系(n,o,a)繞參考坐標(biāo)系的x

軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ。再假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(n,o,a)上有一點(diǎn)

P相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(px,py,pz)，相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(pn,po,pa)。當(dāng)坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，坐標(biāo)系上的點(diǎn)P

也隨坐標(biāo)系一起旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)之前，點(diǎn)P在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是相同的(這時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系的位置相同，并且相互平行)。旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)

P的坐標(biāo)雖然在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(n,o,a)中保持不變，但在參考坐標(biāo)系中卻改變了?，F(xiàn)在要找到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系的新坐標(biāo)。

繞x軸純旋轉(zhuǎn)如2-12所示。圖2-12中,x

軸用來觀察二維平面上的同一點(diǎn)的坐標(biāo)，該圖顯示了點(diǎn)P

在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)。點(diǎn)P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(px,py,pz)，而相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(也就是點(diǎn)P

所固連的坐標(biāo)系)的坐標(biāo)仍為(pn,po,pa)。圖2-12-繞x軸純旋轉(zhuǎn)

從圖2-13可以看出，px

不隨坐標(biāo)系x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變，而py

和pz

卻改變了，可以證明，

寫成矩陣形式為圖2-13相對(duì)于參考坐標(biāo)系的點(diǎn)的坐標(biāo)和從x軸上觀察旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)

由上述討論可見，為了得到圖2-13中參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的點(diǎn)P

或矢量P的坐標(biāo)必須左乘一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，它可以用旋轉(zhuǎn)算子Rot()表示，則式(2-25)可表示為

注意：在式(2-25)中,旋轉(zhuǎn)矩陣的第1列表示相對(duì)于x軸的位置，其值為1、0、0,表示沿x

軸的坐標(biāo)沒有改變。這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣只適用于繞參考坐標(biāo)系的x

軸做純旋轉(zhuǎn)變換的情況。可用同樣的方法分析坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系y

軸和z

軸旋轉(zhuǎn)的情況，如圖2-14所示。圖2-14繞x、y、z純旋轉(zhuǎn)角度θ

繞參考坐標(biāo)系的x

軸、y

軸和z

軸旋轉(zhuǎn)角度θ的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為

為簡(jiǎn)化書寫，習(xí)慣用符號(hào)cθ表示cosθ以及用sθ表示sinθ。因此，旋轉(zhuǎn)矩陣(2-27)也可寫為

[例題2-3]參考例題2-1,在坐標(biāo)系{A}中，點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)軌跡如下：首先繞zA

軸旋轉(zhuǎn)30°,再沿xA

軸移動(dòng)10個(gè)單位，沿yA

軸移動(dòng)5個(gè)單位。假設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)系{A}中的描述為AP0=[3,7,0]T，求它在坐標(biāo)系{A}中的描述AP1。

解

平移算子可以表示為

旋轉(zhuǎn)算子可以表示為

運(yùn)動(dòng)算子可以表示為

所以

可以看到，例題2-3和例題2-2的結(jié)果是相同的，但是解釋不同。一個(gè)變換包含了旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，常被認(rèn)為是由一個(gè)廣義旋轉(zhuǎn)矩陣和位置矢量分量組成的齊次變換的形式。

2.3.4復(fù)合變換

結(jié)合平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的兩種表達(dá)形式可知，復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的一系列平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所組成的。實(shí)際上,任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。為了探討如何處理復(fù)合變換,如圖2-15所示，假定坐標(biāo)系(n,o,a)相對(duì)于參考坐標(biāo)系(x,y,z)依次進(jìn)行了3次變換,即

(1)繞x

軸旋轉(zhuǎn)α；

(2)平移(l1,l2,l3)(分別相對(duì)于x、y、z

軸)；

(3)繞y

軸旋轉(zhuǎn)β。圖2-15復(fù)合變換

比如，點(diǎn)Pnoa固定在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，開始時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。隨著坐標(biāo)系(n,o,a)相對(duì)于參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或者平移時(shí)，坐標(biāo)系中的點(diǎn)

P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系也跟著改變。如前面所看到的，第一次變換后，點(diǎn)P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可用下列方程進(jìn)行計(jì)算：

在固定坐標(biāo)系中發(fā)生連續(xù)的齊次變換有兩種情況，我們來對(duì)比一下。

(1)如果齊次變換是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移的，則齊次變換為左乘,稱為絕對(duì)變換。假設(shè)開始兩個(gè)坐標(biāo)系{B}、{A}重合,，然后坐標(biāo)系{B}先繞坐標(biāo)系{A}的xA軸旋轉(zhuǎn)α，再繞yA

軸旋轉(zhuǎn)β，得到坐標(biāo)系{B}中的向量在坐標(biāo)系{A}中的表示為

(2)如果運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為右乘，稱為相對(duì)變換。假設(shè)開始兩個(gè)坐標(biāo)系{B}、{A}重合,然后先繞xA

軸旋轉(zhuǎn)α

得到新坐標(biāo)系{C}，再繞當(dāng)前軸yC

軸旋轉(zhuǎn)β得到要求的坐標(biāo)系{B}，可以得到這個(gè)變換過程的公式為

下面結(jié)合圖2-16實(shí)例具體說明相對(duì)變換、絕對(duì)變換的概念。坐標(biāo)系{B}代表基座坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{T}是工具坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{S}是工件坐標(biāo)系,坐標(biāo)系{G}是目標(biāo)坐標(biāo)系，則它們之間的位姿關(guān)系可以用相應(yīng)的齊次變換矩陣來描述。工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{B}的描述可用下列變換矩陣的乘積描述：

在這里，結(jié)合圖2-16(b),我們使用了坐標(biāo)系的圖形化表示法，即用一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)向另一坐標(biāo)系原點(diǎn)的箭頭來表示。箭頭的方向指明了坐標(biāo)系定義的方式。將箭頭串聯(lián)起來，通過簡(jiǎn)單的變換矩陣相乘就可以得到起點(diǎn)到終點(diǎn)的坐標(biāo)系描述，如果一個(gè)箭頭的方向與串聯(lián)的方向相反,則需先求出該變換矩陣的逆再相乘即可。圖2-16機(jī)器人工作臺(tái)變換方程示意

2.3.5機(jī)器人RPY與歐拉角

假設(shè)固連在機(jī)器人末端上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到期望的位置上，但它仍然平行于參考坐標(biāo)系,或者假設(shè)其姿態(tài)并不是所期望的，下一步是在不改變位置的情況下，適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)坐標(biāo)系而使其達(dá)到所期望的姿態(tài)。合適的旋轉(zhuǎn)順序取決于機(jī)器人手腕的設(shè)計(jì)以及關(guān)節(jié)裝配在一起的方式。考慮以下兩種常見的構(gòu)型配置：

(1)滾動(dòng)角(Roll)、俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw),即RPY;

(2)歐拉角。

1.滾動(dòng)角、俯仰角和偏航角

RPY是分別繞當(dāng)前坐標(biāo)系的n、o、a

軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)順序(如圖2-17所示),能夠把機(jī)器人的手調(diào)整到所期望的姿態(tài)的一系列角度。圖2-17繞固定坐標(biāo)系的RPY旋轉(zhuǎn)

參考圖2-17可以看出，RPY旋轉(zhuǎn)包括以下幾種：

(1)繞a

軸(即z

軸)旋轉(zhuǎn)γ，叫作滾動(dòng)；

(2)繞o

軸(即y

軸)旋轉(zhuǎn)β，叫作俯仰；

(3)繞n

軸(即x

軸)旋轉(zhuǎn)α，叫作偏航。

三次旋轉(zhuǎn)變換是相對(duì)固定坐標(biāo)系{A}而言的，將坐標(biāo)系{B}繞xA

軸旋轉(zhuǎn)γ，再繞yA

軸旋轉(zhuǎn)β，最后繞zA

軸旋轉(zhuǎn)α。按照“從右向左”的原則，表示RPY姿態(tài)變化的矩陣為

2.歐拉角

歐拉角的很多方面與RPY相似。我們?nèi)孕枰顾行D(zhuǎn)都是繞當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的，以防止機(jī)器人的位置有任何改變。這種描述法中的各次轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{B}的某個(gè)軸進(jìn)行的，而不是相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系{A}進(jìn)行的。表示歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)如下：

(1)繞a

軸(運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的軸z)旋轉(zhuǎn)φ。

(2)繞o

軸(運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的y

軸)旋轉(zhuǎn)θ。

(3)繞n

軸(運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的x

軸)旋轉(zhuǎn)ψ。

這樣三個(gè)一組的旋轉(zhuǎn)角描述法稱為歐拉角方法，又因轉(zhuǎn)動(dòng)是依次繞z

軸、y

軸和x

軸進(jìn)行的，故稱這種描述法為ZYX歐拉角方法。按照不同的旋轉(zhuǎn)順序，歐拉變換還有不同的形式，如XYX、XZX、YXY、YZY、ZXZ、XYZ、XZY、YZX、YXZ、ZXY以及ZYX等。

以ZYZ歐拉變換為例(如圖2-18所示),根據(jù)“從左到右”的原則安排各次旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的矩陣,從而得到表示歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)如下:圖2-18繞當(dāng)前坐標(biāo)軸歐拉旋轉(zhuǎn)

2.4機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立

2.4.1連桿的描述機(jī)器人本體一般是一臺(tái)機(jī)械臂，也稱操作臂或操作手，其可以在確定的環(huán)境中執(zhí)行控制系統(tǒng)指定的操作。機(jī)器人的機(jī)械臂如圖2-19所示。圖2-19機(jī)器人機(jī)械臂示意圖

從本質(zhì)上看，關(guān)節(jié)通?？煞譃橐苿?dòng)關(guān)節(jié)和轉(zhuǎn)動(dòng)(旋轉(zhuǎn))關(guān)節(jié)兩類。移動(dòng)關(guān)節(jié)可以沿著基準(zhǔn)軸移動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)則圍繞基準(zhǔn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。不管是轉(zhuǎn)動(dòng)還是移動(dòng)，都是沿著或者圍繞著一個(gè)軸進(jìn)行的,這被稱為一個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度。每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)提供一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，每一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)提供一個(gè)移動(dòng)自由度。通常，關(guān)節(jié)個(gè)數(shù)為機(jī)器人的自由度數(shù)，各關(guān)節(jié)間是以固定連桿相連接的。

連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)功能是使其兩端的關(guān)節(jié)軸線保持固定的幾何關(guān)系，連桿的特征也是由這兩條關(guān)節(jié)軸線所決定的。無論多么復(fù)雜的連桿，都可以用兩個(gè)參數(shù)來確定：一個(gè)參數(shù)是關(guān)

節(jié)軸線i-1和關(guān)節(jié)軸線i的公法線長(zhǎng)度ai-1，另一個(gè)參數(shù)是兩個(gè)關(guān)節(jié)軸線的夾角αi-1。ai-1稱為連桿i-1的長(zhǎng)度,αi-1稱為連桿i-1的扭角，這兩個(gè)參數(shù)稱為連桿的尺寸參數(shù)，如圖2-20所示。圖2-20連桿的尺寸參數(shù)

2.4.2-連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量

相鄰兩連桿之間有一條共同的關(guān)節(jié)軸線，因此每一條關(guān)節(jié)軸線i有兩條公法線與它垂直,每條公法線對(duì)應(yīng)于一條連桿。這兩條公法線(連桿)的距離稱為連桿偏距，記為di,它代表連桿i相對(duì)于連桿i-1的偏置。同樣地,對(duì)應(yīng)于關(guān)節(jié)軸線i的兩條公法線之間的夾角稱為關(guān)節(jié)角，記為θi。圖2-21所示為連桿i和連桿i-1之間連接關(guān)系參數(shù)。描述相鄰連桿之間連接關(guān)系的參數(shù)也有兩個(gè)：第一個(gè)參數(shù)是連桿偏距di,用來描述連桿i相對(duì)于連桿i-1的偏置；另一個(gè)參數(shù)為關(guān)節(jié)角θi，用來描述連桿i相對(duì)于連桿i-1繞關(guān)節(jié)軸線i的旋轉(zhuǎn)角度。注意：參數(shù)都有正負(fù)號(hào)之分。圖2-21描述相鄰連桿間連接關(guān)系的參數(shù)

對(duì)于一個(gè)連桿，需要4個(gè)參數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述，其中兩個(gè)參數(shù)描述連桿本身的特性，另外兩個(gè)參數(shù)描述相鄰連桿之間的相對(duì)位置。連桿偏距di

和關(guān)節(jié)角θi

是由關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)決定的,反映了關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。如果關(guān)節(jié)i是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，那么連桿i-1和連桿i之間沿著關(guān)節(jié)軸線i的距離di

就是一個(gè)定值，對(duì)于任意給定的機(jī)器人，該值不會(huì)發(fā)生變化，而θi

則會(huì)改變,因此θi

稱為關(guān)節(jié)變量。同樣地,如果關(guān)節(jié)i

是一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)，那么連桿i-1和連桿i之間的夾角θi

就是一個(gè)定值,變化的是兩個(gè)連桿沿著關(guān)節(jié)軸線i的距離di

，此時(shí)di

稱為關(guān)節(jié)變量。這種描述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的方法稱為D-H(Denavit-Hartenberg)建模法。

2.4.3機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

取空間任意兩相鄰連桿i-1和i，取關(guān)節(jié)i-1、i和i+1來研究連桿間的齊次變換矩陣,如圖2-22所示。圖2-22-標(biāo)準(zhǔn)

D-H模型下連桿坐標(biāo)系

1.標(biāo)準(zhǔn)D-H模型

(1)D-H連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則如下：

①zi

軸與第i+1個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合；

②xi

軸垂直于zi-1軸和zi

軸,并由關(guān)節(jié)i指向關(guān)節(jié)i+1；

③

以zi-1軸和zi

軸的公法線與zi

軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；

④yi軸則通過右手坐標(biāo)系規(guī)則建立。

(2)D-H參數(shù)在連桿坐標(biāo)系中的表示：

①ai：沿xi-1軸，從zi-1軸移動(dòng)到zi軸的偏置距離；

②αi：繞xi-1軸，從zi-1軸旋轉(zhuǎn)到zi

軸的角度；

③di：沿zi-1軸，從xi-1軸移動(dòng)到xi軸的距離；

④θi：繞zi-1軸，從xi-1軸旋轉(zhuǎn)到xi軸的角度。

(3)建立連桿坐標(biāo)系的步驟。

通過上述關(guān)于4個(gè)參數(shù)的定義，可總結(jié)出標(biāo)準(zhǔn)的D-H相鄰連桿間的坐標(biāo)系變換過程為：

①

繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使xi-1軸和xi

軸平行；

②

沿zi-1軸平移di，使xi-1軸和xi

軸共線；

③

沿新位置的xi-1軸平移ai，使坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)重合；

④

繞新位置的xi-1軸旋轉(zhuǎn)αi，使坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}重合。

[例題2-4]以SCARA機(jī)器人為例(其實(shí)物圖如圖2-23(a)所示),依據(jù)D-H建模法計(jì)算SCARA機(jī)器人的連桿變換矩陣。

SCARA機(jī)器人屬于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人,有4個(gè)自由度:3個(gè)旋轉(zhuǎn)副,1個(gè)移動(dòng)副。由于SCARA機(jī)器人是串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人,因此標(biāo)準(zhǔn)D-H模型和改進(jìn)D-H模型都適用,選用標(biāo)準(zhǔn)D-H模型計(jì)算SCARA機(jī)器人的連桿變換矩陣。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)D-H模型下坐標(biāo)系建立規(guī)則分別建立SCARA機(jī)器人各連桿的坐標(biāo)系,如圖2-23(b)所示。。進(jìn)而得到SCARA機(jī)器人各連桿的D-H參數(shù)如表2-1所示。

通過這個(gè)參數(shù)表以及前面講解的標(biāo)準(zhǔn)D-H模型下計(jì)

算機(jī)器人連桿變換矩陣的公式可得到SCARA機(jī)器人相鄰兩連桿間的變換矩陣為圖2-23SCARA機(jī)器人

2.改進(jìn)D-H模型

(1)D-H連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則如下：

①zi

軸與第i個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合；

②xi

軸垂直于zi

軸和zi+1軸，并由關(guān)節(jié)i指向關(guān)節(jié)i+1；

③

以zi

軸和zi+1軸的公法線與zi

軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；

④yi

軸則通過右手坐標(biāo)系規(guī)則建立。

改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系如圖2-24所示。根據(jù)改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則，可將改進(jìn)D-H模型下描述機(jī)器人相鄰連桿關(guān)系的4個(gè)參數(shù)總結(jié)如表2-2所示。圖2-24改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系

通過上述關(guān)于4個(gè)參數(shù)的定義，可總結(jié)出改進(jìn)的D-H相鄰連桿間的坐標(biāo)系變換過程為：

①

繞xi-1軸旋轉(zhuǎn)ai-1，使zi-1軸和zi

軸平行；

②

沿xi-1軸平移ai-1，使zi-1軸和zi軸共線；

③

繞新位置的zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使xi-1軸和xi

軸平行；

④

沿新位置的zi-1軸平移di，使坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}重合。

若連桿i在改進(jìn)D-H模型下的4個(gè)參數(shù)分別為ai-1、αi-1、di、θi，則連桿i-1與連桿i之間的變換矩陣i-1iT

如下式所示：

改進(jìn)D-H模型不僅適用于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，還適用于樹形結(jié)構(gòu)的機(jī)器人。

[例題2-5]

結(jié)合工業(yè)機(jī)械臂進(jìn)行講解,FANUC機(jī)器人(如圖2-25所示)屬于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，有6個(gè)自由度，都為旋轉(zhuǎn)副。根據(jù)改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則可分別建立機(jī)器人的各連桿坐標(biāo)系，如圖2-25所示。圖2-25FUNUC機(jī)器人

由建立的機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系，可得到機(jī)器人各連桿的D-H參數(shù)如表2-3所示。根據(jù)D-H參數(shù)以及前面講解的改進(jìn)D-H模型下計(jì)算機(jī)器人連桿變換矩陣的公式可得FANUC機(jī)器人相鄰兩連桿間的齊次變換矩陣為

2.5機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

根據(jù)公式(2-42)我們可以總結(jié)出，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)有兩種求解問題，分別是正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)示例如圖2-26所示。圖2-26正運(yùn)動(dòng)學(xué)與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)示例

2.5.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

多連桿串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖如圖2-27所示。首先根據(jù)D-H模型確定相鄰連桿坐標(biāo)系{i}與{i-1}(i=1,2,…,6)的齊次變換矩陣,然后根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以寫出圖2-27中多連桿機(jī)器人的齊次變換矩陣06T

為圖2-27多連桿串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖

[例題2-6]

來看一個(gè)正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的簡(jiǎn)單例題。某機(jī)器人有2個(gè)關(guān)節(jié)，如圖2-28所示，分別位于OA

、OB

點(diǎn)，機(jī)械臂中心為OC

點(diǎn)，OA

、OB

、OC

三個(gè)點(diǎn)分別為三個(gè)坐標(biāo)系

的原點(diǎn)，調(diào)整機(jī)器人各關(guān)節(jié)使得末端執(zhí)行器最終到達(dá)指定位置(未沿z軸發(fā)生平移)，其中l(wèi)1=100mm，l2=50mm,θ1=45°，θ2=-30°，求機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿。圖2-28平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

[例題2-7]

機(jī)械臂運(yùn)