工程數(shù)學(xué) 課件 第2章 矩陣

第2章

矩陣第1節(jié)

矩陣的概念第2節(jié)

矩陣的運(yùn)算第3節(jié)

逆矩陣第4節(jié)

矩陣的初等變換及其應(yīng)用第5節(jié)

矩陣的秩

第1節(jié)矩陣的概念

一、矩陣的概念

引例2.1若有甲、乙、丙三家公司，在一段時(shí)期內(nèi)，這三家公司的成本明細(xì)如表2.1所示。

定義2.1由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)組成一個(gè)m行n列的矩形數(shù)表，稱其為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣。

矩陣常用大寫字母A,B,C,…表示，記作

其中aij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)稱為矩陣A的元素。m×n矩陣A也可記為A=(aij)m×n或者Am×n。

二、幾種特殊的矩陣

以下列舉出幾種特殊的矩陣。

(1)零矩陣：所有元素都是零的矩陣。記作0或者0m×n。

(2)行矩陣和列矩陣：只有一行元素的矩陣稱為行矩陣(行向量)；只有一列元素的矩陣稱為列矩陣(列向量)。例如

(3)負(fù)矩陣：矩陣A的負(fù)矩陣就是矩陣A的所有元素都取相反數(shù)，記為-A。

(4)n階方陣：行數(shù)m等于列數(shù)n的矩陣稱為n階方陣，即n×n矩陣或n×n方陣。

(5)主對(duì)角線以下(上)元素全為零的方陣稱為上(下)三角形矩陣。

(6)除了主對(duì)角線上的元素以外，其余元素全為零的矩陣稱為對(duì)角矩陣。

(7)主對(duì)角線上的元素全相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣。

(8)主對(duì)角線上的元素全為1的數(shù)量矩陣稱為單位矩陣，n階單位矩陣記作En或In。

第2節(jié)矩陣的運(yùn)算

一、矩陣相等設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，則由矩陣相等的定義可以看出，矩陣A與矩陣B相等當(dāng)且僅當(dāng)A與B的行、列、對(duì)應(yīng)元素都相等。

二、矩陣加法

定義2.2已知兩個(gè)m×n矩陣A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，將對(duì)應(yīng)的元素相加得到一個(gè)新的m×n矩陣稱為矩陣A與B的和，記作A+B=aij+(bij)m×n。

矩陣加法滿足如下的運(yùn)算規(guī)律：

(1)交換律：A+B=B+A；

(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)存在零矩陣：對(duì)任何矩陣A，都有A+0=A。

三、數(shù)乘矩陣

定義2.3已知數(shù)k和一個(gè)m×n矩陣A=(aij)m×n，將數(shù)k乘以矩陣A中的每一個(gè)元素，所得到的一個(gè)新的m×n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA=(kaij

)

m×n。

四、矩陣乘法

先看一個(gè)實(shí)際的例子。

某鋼鐵生產(chǎn)企業(yè)7-9月份的生產(chǎn)原料：鐵礦石、焦炭、無煙煤的用量(噸)用矩陣A表示，三種原料的費(fèi)用(元)用矩陣B表示。

五、矩陣轉(zhuǎn)置

定義2.5已知m×n矩陣

將矩陣A的行變成相應(yīng)的列，得到新的n×m矩陣，稱它為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

如果A是一個(gè)n階方陣，且AΤ=A，則稱矩陣A為n階對(duì)稱矩陣。

可以證明，矩陣的轉(zhuǎn)置有如下性質(zhì)：

(1)(A+B)T=AT+BT；

(2)(AT)T=A；

(3)(kA)T=kAT(k為常數(shù))；

(4)(AB)T=BTAT。

六、方陣的行列式

定義2.6已知n階方陣將構(gòu)成n階方

陣的n2個(gè)元素按照原來的順序作一個(gè)n階行列式，這個(gè)n階行列式稱為n階方陣A的行列式，記作

第3節(jié)逆矩陣一、逆矩陣的概念及性質(zhì)1.逆矩陣的概念定義2.8已知n階方陣A，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱n階方陣A可逆，并稱n階方陣B是A的逆矩陣，記作A-1=B。由定義可知，矩陣A和它的逆矩陣B都是可逆的，并且A-1=B，B-1=A。注(1)可逆矩陣的逆是唯一的；(2)由于E·E=E，故單位矩陣E是可逆的，且E-1=E。

二、可逆矩陣的判定及求法

1.可逆矩陣的判定

定理2.1

n階方陣可逆的充分必要條件是A≠0.

定義2.9如果n階矩陣A的行列式A≠0，則稱其為非奇異矩陣；如果A=0，則稱其為奇異矩陣。

所以矩陣A不可逆。

第4節(jié)矩陣的初等變換及其應(yīng)用

一、矩陣的初等變換定義2.10矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣施行如下三種變換：(1)對(duì)換變換：交換矩陣的兩行(ri?rj)；(2)倍乘變換：用非零數(shù)k乘以矩陣的某一行(kri)；(3)倍加變換：把矩陣的某一行乘以數(shù)k后加到另一行上去(ri+krj)。

把定義2.8中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用的記號(hào)是把“r”換成“c”)。

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。如果矩陣A經(jīng)有限次的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記作A~B。

矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下面的性質(zhì)：

(1)反身性：A~A；

(2)對(duì)稱性：若A~B，則B~A；

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C。

二、階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣

定義2.11滿足以下條件的矩陣稱為階梯形矩陣：

(1)各非零行的第一個(gè)非零元素(稱為該行的首非零元)所在的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大，即矩陣中每一行首非零元素必在上一行首非零元的右下方；

(2)當(dāng)有零行時(shí)，零行在非零行的下方。

定義2.12滿足以下條件的階梯形矩陣稱為簡(jiǎn)化階梯形矩陣：

(1)各非零行的首非零元素都是1；

(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零。

定理2.3任何非零矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換可化成階梯形矩陣，再經(jīng)過一系列初等行變換可化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

如何將矩陣化為階梯形和簡(jiǎn)化階梯形矩陣?常常按下面的步驟進(jìn)行：

(1)讓矩陣最左上角的元素，通常是(1，1)元變?yōu)?(或便于計(jì)算的其他數(shù))；

(2)把第1行的若干倍加到下面各行，讓(1，1)元下方的元素都化為零；如果變換的過程中出現(xiàn)零行，就將它換到最下面；

(3)重復(fù)上面的做法，把(2，2)元下方的各元素都化為零，直到下面各行都是零行為止，得到階梯形矩陣；

(4)然后從最下面的一個(gè)首元開始，依次將各首元上方的元素化為零。

三、初等矩陣

定義2.13單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。

三種初等變換得到如下的三種初等矩陣：

(1)初等互換矩陣E(i，j)：交換單位矩陣E的第i行和第j行；

(2)初等倍乘矩陣E(i(k))：用非零數(shù)k乘以單位矩陣E的第i行；

(3)初等倍加矩陣E(i，j(k))：把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行。

初等矩陣的行列式都不為零，因此都可逆：

定理2.4設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于用同種類型的初等矩陣左乘A；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于用同種類型的初等矩陣右乘A。

定理2.5設(shè)A是一個(gè)m×n

矩陣，那么存在m階初等矩陣P1，…，Ps和n階初等矩陣Q1，…，Qt，使得

推論2.1如果A和B都是m×n矩陣，那么A與B等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P

和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。

推論2.2可逆矩陣與單位矩陣等價(jià)。

推論2.3可逆矩陣可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積。

四、初等變換求逆

設(shè)A是n階可逆矩陣，那么其逆A-1也是可逆矩陣.根據(jù)推論2.3，存在初等矩陣P1，…，Ps使A-1=P1P2…Ps，即

式(2.1)兩邊同時(shí)右乘A可變成

根據(jù)定理2.2，式(2.2)表示對(duì)A施行s次初等行變換，可以把A化為單位矩陣E，式(2.1)表示經(jīng)過同樣的初等變換可以把E化為A-1。那么我們作一個(gè)n×2n的矩陣(A，E)，對(duì)其僅作初等行變換(這時(shí)A和E作了相同的初等行變換)，當(dāng)A的部分化為E時(shí)，E的部分就化成了A-1。

這種方法稱為初等變換法求逆：.

還可以用同樣的方法求

在以上求逆和A-1B的運(yùn)算中，不可以作初等列變換!但是可以通過初等列變換求逆和求BA-1：

例2.17用初等行變換求矩陣方程AX+B=X的解X，其中

解將方程變形為X-AX=B，即(E-A)X=B，故X=(E-A)-1B.由于

且|E-A|≠0，則

所以

所以

或者寫成

因此

如果AX=B中的B是一個(gè)列矩陣，那么AX=B是一個(gè)線性方程組.也就是A可逆時(shí)，可以用這種方法求解線性方程組。

注逆矩陣的計(jì)算方法有初等變換和伴隨矩陣兩種，初等變換法為基本方法，四階以上的矩陣一般用初等變換法。

第5節(jié)矩陣的秩

一、矩陣秩的定義及性質(zhì)1.矩陣秩的定義定義2.14從矩陣Am×n中任取k行和k列，用交叉位置上的元素并且保持相對(duì)位置不變，組成的k階行列式稱為矩陣的一個(gè)k階子式。

注意(1)子式不是矩陣而是行列式，每個(gè)子式都有一個(gè)值；

(2)k階子式有CkmCkn個(gè)；

(3)當(dāng)所有k階子式都等于零時(shí)，k+1及以上階數(shù)的子式都等于零；

(4)Am×n的子式的最高階數(shù)為min(m,n)。

根據(jù)定義求矩陣Am×n的秩的方法如下：

(1)從小到大：如果有一個(gè)1階子式不等于零，就考察2階子式；如果有一個(gè)2階子式不等于零，就考察3階子式；……，直到發(fā)現(xiàn)所有r階子式都等于零為止，得到r(A)=r-1。

(2)從大到?。喝绻幸粋€(gè)N=min(m,n)階子式不等于零，那么r(A)=N；如果所有的N階子式都等于零，就考察N-1階子式；如果所有的N-1階子式都等于零，就考察N-2階子式；……，直到找到一個(gè)不為零的子式為止，這個(gè)子式的階數(shù)r就是矩陣的秩，即r(A)=r。

2.矩陣的性質(zhì)

(1)矩陣的秩是唯一的；

(2)r

(Am×n

)≤min(m，n)；

(3)r(A)=r(AT)，r(kA)=r(A)(k≠0)。

二、初等變換求矩陣的秩

定理2.6如果A~B，那么