2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點突破專題二數(shù)列規(guī)范答題示范課-數(shù)列解答題含解析

PAGE規(guī)范答題示范課——數(shù)列解答題[破題之道]求解數(shù)列問題的基本策略在于“歸”——化歸與歸納，對于非等差或等比數(shù)列，可從特別情景動身，歸納出一般性的方法、規(guī)律；將已知數(shù)列化歸為等差(比)數(shù)列，然后借助數(shù)列的性質(zhì)或基本量運算求解.【典例示范】(12分)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式.規(guī)范解答(1)由nan＋1＝2(n＋1)an，且bn＝eq\f(an,n)，得eq\f(an＋1,n＋1)＝2·eq\f(an,n)，則bn＋1＝2bn.2分又a1＝1，知b1＝1，因此b2＝2b1＝2，b3＝2b2＝4.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.4分(2)數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.5分理由如下：由(1)知，bn＋1＝2bn，又b1＝1≠0，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.8分(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.12分[高考狀元滿分心得]?寫全得分步驟，踩點得分：對于解題過程中踩分點的步驟有則給分，無則沒分，如第(1)問中，寫出bn＋1＝2bn，由條件a1＝1，分別求出b1，b2，b3.?寫明得分關(guān)鍵：數(shù)列解答題要嚴謹，如第(2)問“首先明確指出數(shù)列{bn}的首項和公比(基本量)，再寫出bn＝2n－1.?計算正確是得分的保證：如第(1)問正確求得b1，b2，b3；第(3)問精確求出an＝n·2n－1，否則不能得分.[滿分體驗]1.(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.解(1)設(shè){an}的公比為q，則an＝a1qn－1.由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝4，,a1q2－a1＝8.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))所以{an}的通項公式為an＝3n－1.(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝eq\f(n（n－1）,2).由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.2.(2024·石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)cosπx－sinπx(x∈R)的全部正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列{an}(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(2,3)))，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解(1)f(x)＝eq\r(3)cosπx－sinπx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))，由題意令πx＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x＝k＋eq\f(1,3)(k∈Z).又函數(shù)f(x)的全部正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列{an}，所以{an}是首項a1＝eq\f(1,3)，公差d＝1的等差數(shù)列，因此an＝(n－1)×1＋eq\f(1,3)＝n－eq\f(2,3)(n∈N*).(2)由(1)知bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(2,3)))＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，則Tn＝1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)＋2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋…＋(n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＋n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，①eq\f(1,2)Tn＝1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋…＋(n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＋n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1)，②由①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1