2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.3函數(shù)的奇偶性與周期性知識點講解文科版含解析

函數(shù)的奇偶性與周期性【核心素養(yǎng)分析】1.結(jié)合詳細(xì)函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和探討函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會推斷、應(yīng)用簡潔函數(shù)的周期性.3.培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)?！局攸c學(xué)問梳理】學(xué)問點一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱學(xué)問點二函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【特殊提示】1.(1)假如一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).4.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的隨意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.【典型題分析】高頻考點一函數(shù)奇偶性的判定例1．【2024·全國Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=x3－，則f(x)A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【解析】因為函數(shù)定義域為，其關(guān)于原點對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故選A?！痉椒记伞客茢嗪瘮?shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必需先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)圖象法：f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，f(x)為偶函數(shù)。(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【變式探究】【2024·浙江卷】函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]上的圖象可能是（）【答案】A【解析】因為，則，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，據(jù)此可知選項CD錯誤；且時，，據(jù)此可知選項B錯誤，故選A。高頻考點二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2．【2024·江蘇卷】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則的值是．【答案】－4【解析】，因為為奇函數(shù)，所以?！痉椒记伞颗c函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，依據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式．由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象．(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值．【變式探究】(2024·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________.【答案】－3【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，則f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－(－eeq\s\up5(alneq\f(1,2)))＝8，∴alneq\f(1,2)＝ln8＝3ln2，∴a＝－3。高頻考點三求函數(shù)解析式例3.(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x＜0時，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1【答案】D【解析】當(dāng)x<0時，－x>0，∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，故選D?！咀兪教骄俊咳艉瘮?shù)f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k＝________.【答案】±1【解析】若函數(shù)f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定義域上為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即eq\f(k－2－x,1＋k·2－x)＝－eq\f(k－2x,1＋k·2x)，化簡得(k2－1)(22x＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1。高頻考點四函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例4.(2024·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一個符合題意的函數(shù)f(x)＝2sineq\f(πx,2)，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.【方法技巧】(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)依據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，假如發(fā)覺一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(留意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)肯定具有周期性．【變式探究】（2024·安徽安慶一中模擬）設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[－2,1)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2－2，－2≤x≤0，,x，0＜x＜1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))))＝________.【答案】eq\f(1,4)【解析】由題意可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))eq\s\up20(2)－2＝eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(1,4).高頻考點五函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5.（2024·遼寧省育才學(xué)校模擬）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）若對隨意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1)∵函數(shù)的定義域為R，且是奇函數(shù)，∴，解得此時，滿意，即是奇函數(shù)．∴．(2)任取，且，則，，于是即，故函數(shù)在上是增函數(shù)．（3）由及是奇函數(shù)，知又由在上是增函數(shù)，得，即對隨意的恒成立∵當(dāng)時，取最小值，∴。【方法技巧】（1）利用奇偶性以及對稱性去推斷函數(shù)的周期時：首先依據(jù)奇偶性以及對稱性寫出對應(yīng)的函數(shù)抽象表達(dá)形式，然后聯(lián)立兩個及兩個以上的等式得到形如的結(jié)構(gòu)即可求解出周期；（2）充分必要條件的證明：證明的時候分兩步走：