2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章計(jì)數(shù)原理5.4.1二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)課后素養(yǎng)落實(shí)含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(三十五)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(x＋2)8的綻開式中x6的系數(shù)是()A．28B．56C．112D．224C[該二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r2r＝2rCeq\o\al(r,8)x8－r，令r＝2，得T3＝22Ceq\o\al(2,8)x6＝112x6，所以x6的系數(shù)是112．]2．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數(shù))，則a＋b等于()A．45B．55C．70D．80C[由二項(xiàng)式定理，得(1＋eq\r(2))5＝1＋Ceq\o\al(1,5)·eq\r(2)＋Ceq\o\al(2,5)·(eq\r(2))2＋Ceq\o\al(3,5)·(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(4,5)·(eq\r(2))4＋Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋20＋20eq\r(2)＋20＋4eq\r(2)＝41＋29eq\r(2)．所以a＝41，b＝29，a＋b＝70．故選C．]3．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的二項(xiàng)綻開式中，x的系數(shù)為()A．10B．－10C．40D．－40D[∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)rCeq\o\al(r,5)25－rx10－3r，令10－3r＝1即r＝3，此時x的系數(shù)為(－1)3Ceq\o\al(3,5)22＝－40．]4．設(shè)k＝1，2，3，4，5，則(x＋2)5的綻開式中xk的系數(shù)不行能是()A．10B．40C．50D．80C[x1的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)·24＝80，x2的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·23＝80，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)·22＝40，x4的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)·21＝10，x5的系數(shù)為Ceq\o\al(0,5)·20＝1，所以系數(shù)不行能為50．]5．(eq\r(x)＋eq\r(3,x))12的綻開式中，含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有()A．4項(xiàng)B．3項(xiàng)C．2項(xiàng)D．1項(xiàng)B[設(shè)第(r＋1)項(xiàng)含x的正整數(shù)次冪，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(\f(1,2))))eq\s\up12(12－r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(\f(1,3))))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,12)·xeq\s\up10(6－eq\f(1,6)r)，其中0≤r≤12．要使6－eq\f(1,6)r為正整數(shù)，必需使r為6的倍數(shù)．所以r＝0，6，12，即第1項(xiàng)、第7項(xiàng)，第13項(xiàng)為符合條件的項(xiàng)．]二、填空題6．(a＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)a＝________．2[∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rxr且x3的系數(shù)等于8，∴r＝3，即Ceq\o\al(3,4)a4－3＝8，∴a＝2．]7．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的綻開式中x3的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)20[設(shè)第r＋1項(xiàng)為含x3的項(xiàng)，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x2(6－r)x－r＝Ceq\o\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20．]8．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)x－\f(1,\r(2))))eq\s\up12(20)的綻開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項(xiàng)共有________項(xiàng)．4[Tr＋1＝Ceq\o\al(r,20)(eq\r(3,2)x)20－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(2))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(r)·(eq\r(3,2))20－r·Ceq\o\al(r,20)·x20－r．∵系數(shù)為有理數(shù)，∴(eq\r(2))r與2eq\s\up12(eq\f(20－r,3))均為有理數(shù)．∴r能被2整除，且20－r能被3整除．∴r為偶數(shù)，20－r是3的倍數(shù)，0≤r≤20，∴r＝2，8，14，20．∴共有4項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)．]三、解答題9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的綻開式中x3的系數(shù)．[解]所求x3的系數(shù)為：Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝(Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4))＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝(Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5))＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝…＝Ceq\o\al(4,20)＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,21)．所以綻開式中x3的系數(shù)是Ceq\o\al(4,21)＝5985．10．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的綻開式中，求：(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)含x2的項(xiàng)．[解](1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15，又因?yàn)門3＝Ceq\o\al(2,6)(2eq\r(x))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＝24·Ceq\o\al(2,6)x，所以第3項(xiàng)的系數(shù)為24Ceq\o\al(2,6)＝240．(2)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)x3－k，令3－k＝2，得k＝1．所以含x2的項(xiàng)為第2項(xiàng)，且T2＝－192x2．11．二項(xiàng)式(1＋eq\r(x))6的綻開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A．64B．32C．24D．16B[二項(xiàng)式(1＋eq\r(x))6的綻開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xeq\s\up9(eq\f(r,2))，令eq\f(r,2)為整數(shù)，可得r＝0，2，4，6，故綻開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝32，故選B．]12．已知(1＋ax)(1＋x)5的綻開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1D[綻開式中含x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＋aCeq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1，故選D．]13．(多選題)中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的探討．設(shè)a，b，m(m＞0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a＝b(modm)．若a＝Ceq\o\al(0,20)＋Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，a＝b(mod10)，則b的值可以是()A．2011B．2012C．2020D．2021AD[∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝Ceq\o\al(0,10)1010－Ceq\o\al(1,10)109＋…－Ceq\o\al(9,10)10＋1，∴被10除得的余數(shù)為1，而2011與2021被10除得的余數(shù)是1，故選AD．]14．(一題兩空)在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是________．16eq\r(2)5[由二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，當(dāng)r＝0時，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2)．當(dāng)項(xiàng)的系