機(jī)器人驅(qū)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)控制 課件 第1-3章 機(jī)器人的基礎(chǔ)概念；機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析

第1章機(jī)器人的基礎(chǔ)概念1.1機(jī)器人的定義1.2機(jī)器人的組成1.3機(jī)器人的分類1.4機(jī)器人的技術(shù)參數(shù)1.5本章小結(jié)

1.1-機(jī)器人的定義

機(jī)器人(robot)一詞是1920年由捷克作家卡雷爾·恰佩克(KarelCapek)在他的諷刺劇《羅素姆萬(wàn)能機(jī)器人》中首先提出的，描述的僅僅是一種關(guān)于人形機(jī)器的想象。而到了2022年，由中國(guó)空間技術(shù)研究院(航天五院)抓總研制的我國(guó)空間站天和核心艙上的智能機(jī)械臂已經(jīng)能夠在太空與航天員進(jìn)行協(xié)同工作。該機(jī)械臂的展開(kāi)長(zhǎng)度達(dá)10.2米，最多能承載25噸的重量，主要承擔(dān)空間站艙段轉(zhuǎn)位、航天員出艙活動(dòng)、艙外貨物搬運(yùn)、艙外狀態(tài)檢查、艙外大型設(shè)備維護(hù)等八大類在軌任務(wù)，是世界上最為先進(jìn)的空間機(jī)器人之一。

該機(jī)械臂有三個(gè)肩部關(guān)節(jié)、一個(gè)肘部關(guān)節(jié)、三個(gè)腕部關(guān)節(jié)，一共七個(gè)關(guān)節(jié)，每個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)一個(gè)自由度，因此該機(jī)械臂具有了七自由度的活動(dòng)能力。在機(jī)械臂的兩端——肩部與腕部還各有一個(gè)末端執(zhí)行器，其上裝有雙目測(cè)量相機(jī)和多種傳感器，可實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的自主控制和柔順控制，能夠?qū)崿F(xiàn)在自身前后左右任意角度與位置的抓取和操作。我國(guó)空間站機(jī)械臂轉(zhuǎn)位貨運(yùn)飛船的情形如圖1-1所示。圖1-1-我國(guó)空間站機(jī)械臂轉(zhuǎn)位貨運(yùn)飛船的情形

國(guó)際上在機(jī)器人領(lǐng)域較有影響力的組織如美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局定義機(jī)器人是“一種能夠進(jìn)行編程并在自動(dòng)控制下執(zhí)行某些操作和移動(dòng)作業(yè)任務(wù)的機(jī)械裝置”；美國(guó)機(jī)器人工業(yè)協(xié)會(huì)認(rèn)為機(jī)器人是“一種用于移動(dòng)各種材料、零件、工具或?qū)Ｓ醚b置的，通過(guò)可編程的動(dòng)作來(lái)執(zhí)行種種任務(wù)的具有編程能力的多功能機(jī)械

手”；國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織定義機(jī)器人是“具有一定程度的自主能力，可在其環(huán)境內(nèi)運(yùn)動(dòng)以執(zhí)行預(yù)期任務(wù)的可編程執(zhí)行機(jī)構(gòu)”。在此基礎(chǔ)上，中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T36530—2018中定義機(jī)器人為“具有兩個(gè)或兩個(gè)以上可編程的軸，以及一定程度的自主能力，可在其環(huán)境內(nèi)運(yùn)動(dòng)以執(zhí)行預(yù)期的任務(wù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)”。

根據(jù)以上的一些定義，一般認(rèn)為機(jī)器人是一個(gè)在三維空間中具有多自由度運(yùn)動(dòng)能力和一定感知能力，可編程實(shí)現(xiàn)諸多擬人動(dòng)作和功能的智能通用機(jī)器。機(jī)器人的最顯著的四個(gè)特點(diǎn)如下。

(1)可編程。

(2)擬人化。

(3)通用性。

(4)交叉性。

1.2機(jī)器人的組成

1.機(jī)械部分機(jī)械部分中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是機(jī)器人賴以完成工作任務(wù)的實(shí)體，又被稱為操作機(jī)，通常由連桿和關(guān)節(jié)組成。機(jī)器人典型執(zhí)行機(jī)構(gòu)示意圖如圖1-2所示。從功能角度來(lái)看，執(zhí)行機(jī)構(gòu)可分為手部、腕部、臂部、腰部和基座等。圖1-2機(jī)器人典型執(zhí)行機(jī)構(gòu)示意圖

機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包括驅(qū)動(dòng)器和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)兩部分，它們通常與執(zhí)行機(jī)構(gòu)連成機(jī)器人本體。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)方式主要有電機(jī)驅(qū)動(dòng)、液壓驅(qū)動(dòng)和氣壓驅(qū)動(dòng)三種。常用的驅(qū)動(dòng)器有直

流伺服電機(jī)、步進(jìn)電機(jī)、永磁同步電機(jī)。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)包括各種減速器，滾珠絲杠、鏈、帶以及各種齒輪系。其中，減速器是將電機(jī)的高速轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成低速運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵器件，其作用是增加負(fù)載和功率，主要有RV減速器、諧波減速器和行星減速器三種。

2.傳感部分

傳感部分由機(jī)器人具體應(yīng)用時(shí)需要的感受系統(tǒng)(包括各種檢測(cè)器)、傳感器組成，用以感知環(huán)境信息、檢測(cè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀況，并及時(shí)進(jìn)行信息反饋。

機(jī)器人的傳感器中有主要用來(lái)檢測(cè)機(jī)器人本身狀態(tài)，掌握機(jī)器人各執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置、姿態(tài)、運(yùn)動(dòng)速度等，以調(diào)整和控制機(jī)器人自身行動(dòng)的內(nèi)部傳感器；也有用來(lái)檢測(cè)機(jī)器人所

處環(huán)境、外部物體的狀態(tài)及與外部物體的關(guān)系等的外部傳感器。

3.控制部分

機(jī)器人的控制部分主要包括人機(jī)交互系統(tǒng)和控制系統(tǒng)，用以實(shí)現(xiàn)人機(jī)交互和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制兩個(gè)功能?？刂葡到y(tǒng)通過(guò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)操縱執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，以保證其動(dòng)作符合

設(shè)計(jì)要求?？刂葡到y(tǒng)一般由控制計(jì)算機(jī)和伺服控制器兩部分組成。其中，控制計(jì)算機(jī)發(fā)出指令，協(xié)調(diào)各關(guān)節(jié)之間的運(yùn)動(dòng)，完成編程、示教或再現(xiàn)，以及與其他設(shè)備之間的信息傳遞和協(xié)調(diào)工作；伺服控制器是電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電路，其作用是將控制系統(tǒng)的弱電信號(hào)轉(zhuǎn)換成控制電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的強(qiáng)電信號(hào)。

機(jī)器人各組成部分的關(guān)系如圖1-3所示。圖1-3機(jī)器人各組成部分的關(guān)系

1.3機(jī)器人的分類

對(duì)于工業(yè)機(jī)器人而言，根據(jù)控制系統(tǒng)工作方式的不同，主要分為非伺服控制機(jī)器人和伺服控制機(jī)器人兩大類。從控制實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看，非伺服控制是較為簡(jiǎn)單的形式，非伺服控制機(jī)器人又稱為開(kāi)關(guān)式機(jī)器人。它的工作特點(diǎn)是機(jī)器人驅(qū)動(dòng)裝置接通能源后，帶動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的臂部、腕部和手部等裝置運(yùn)動(dòng)。

伺服控制系統(tǒng)是使物體的位置、狀態(tài)等輸出被控量能夠跟隨輸入目標(biāo)或給定值任意變化的自動(dòng)控制系統(tǒng)。伺服控制機(jī)器人工作時(shí)通過(guò)多源傳感器采集各種反饋信號(hào)，并用比較

器將反饋信號(hào)與來(lái)自給定裝置的綜合設(shè)置信號(hào)進(jìn)行比較，對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行放大后用以激發(fā)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)裝置，進(jìn)而帶動(dòng)末端執(zhí)行器進(jìn)行規(guī)律運(yùn)動(dòng)，達(dá)到規(guī)定的位置和速度等。伺服

控制機(jī)器人的工作過(guò)程如圖1-4所示。圖1-4伺服控制機(jī)器人的工作過(guò)程

按照運(yùn)動(dòng)控制方式的不同，伺服控制機(jī)器人又可細(xì)分為連續(xù)路徑(continuouspath，CP)控制機(jī)器人和點(diǎn)位控制機(jī)器人兩類。點(diǎn)位控制只規(guī)定了各關(guān)鍵點(diǎn)的位姿，不規(guī)定各點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)軌跡。機(jī)器人末端可以調(diào)節(jié)姿態(tài)與路線，完成相鄰點(diǎn)間的規(guī)劃運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)位控制機(jī)器人廣泛用于執(zhí)行部件從某一位置移動(dòng)到另一位置的操作。例如，圖1-5所示的碼垛機(jī)器人可以完成碼垛或裝卸托盤(pán)作業(yè)。連續(xù)路徑控制機(jī)器人不僅需要末端到達(dá)設(shè)定點(diǎn)，還要沿空間中設(shè)計(jì)好的軌跡運(yùn)動(dòng)。這類工業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用包括噴漆、拋光、磨削、電弧焊等較為復(fù)雜的任務(wù)。焊接機(jī)器人如圖1-6所示。圖1-5碼垛機(jī)器人圖1-6焊接機(jī)器人

1.4機(jī)器人的技術(shù)參數(shù)

1.自由度自由度(degreeoffreedom，DOF)又稱為坐標(biāo)軸數(shù)，有時(shí)也直接簡(jiǎn)稱為軸數(shù)，指用以確定物體在空間中能獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的變量數(shù)或描述物體在空間運(yùn)動(dòng)所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。通常，組成機(jī)器人的每個(gè)能以直線或回轉(zhuǎn)方式運(yùn)動(dòng)的關(guān)節(jié)就是一個(gè)自由度。

當(dāng)前，工業(yè)機(jī)器人以六軸關(guān)節(jié)型機(jī)器人最為常用，這是因?yàn)樵谌S空間中，描述物體的位置和姿態(tài)需要6個(gè)自由度，以安川MA1400六自由度機(jī)器人(如圖1-7所示)為例。圖1-7安川MA1400六自由度機(jī)器人

根據(jù)需要，常見(jiàn)的工業(yè)機(jī)器人還有四軸機(jī)器人和七軸機(jī)器人等。例如，圖1-8所示的是埃斯頓ER6-600-SRSCARA機(jī)器人。圖1-8埃斯頓ER6-600-SRSCARA機(jī)器人

七軸機(jī)器人多稱為協(xié)作機(jī)器人，如圖1-9所示的新松SCR5協(xié)作機(jī)器人是我國(guó)研制的首臺(tái)七自由度協(xié)作機(jī)器人。圖1-9新松SCR5協(xié)作機(jī)器人

自由度的增多對(duì)機(jī)器人的應(yīng)用有什么實(shí)際意義呢?將七自由度機(jī)器人和六自由度機(jī)器人做一個(gè)對(duì)比。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在保持末端機(jī)構(gòu)位置不變的情況下，一個(gè)六自由度機(jī)器人在空間中是無(wú)法改變其他關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的，如圖1-10所示。圖1-10六自由度機(jī)器人扭轉(zhuǎn)示意

我們?cè)囅胍幌?，如果機(jī)器人末端機(jī)構(gòu)不變，那么機(jī)器人能從左邊扭轉(zhuǎn)到右邊嗎?答案是不行的。就像人的手臂和手指一樣，不管關(guān)節(jié)怎么移動(dòng)，手指的位置肯定是要變的。也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)六自由度機(jī)器人，從一個(gè)構(gòu)型移動(dòng)到另一個(gè)構(gòu)型的時(shí)候，無(wú)法保持末端機(jī)構(gòu)始終不動(dòng)。而如圖1-11所示的七自由度機(jī)器人則可以實(shí)現(xiàn)。不過(guò)，雖然自由度多的機(jī)器人有更高的靈敏性，但自由度越多，其剛度越差，控制也越復(fù)雜。圖1-11七自由度機(jī)器人關(guān)節(jié)示意圖

2.定位精度

定位精度是指機(jī)器人末端執(zhí)行器實(shí)際到達(dá)位置與目標(biāo)位置之間的接近程度。影響機(jī)器人定位精度的因素有很多，分為內(nèi)部因素和外部因素，其中，內(nèi)部因素包括控制系統(tǒng)位姿控制方式、機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)的剛度、機(jī)器人部件的制造精度；外部因素包括負(fù)載大小、速度或加速度等運(yùn)動(dòng)動(dòng)量、溫度等環(huán)境因素。

3.重復(fù)定位精度

相較于定位精度，機(jī)器人產(chǎn)品的數(shù)據(jù)手冊(cè)中常常標(biāo)注的是重復(fù)定位精度參數(shù)。重復(fù)定位精度是指機(jī)器人手腕重復(fù)定位于同一目標(biāo)位置的能力。影響機(jī)器人重復(fù)定位精度的因素

有很多，分為內(nèi)部因素和外部因素。內(nèi)部因素有機(jī)器人尺寸、伺服系統(tǒng)特性、驅(qū)動(dòng)裝置的間隙與剛性、摩擦特性等；外部因素包括負(fù)載大小、運(yùn)動(dòng)過(guò)程(速度、加速度)、溫度等環(huán)境因素。重復(fù)定位精度代表了末端執(zhí)行器返回到同一位置的能力。當(dāng)機(jī)器人進(jìn)行裝配類工作時(shí)，重復(fù)定位精度就非常重要了。

圖1-12展示了機(jī)器人定位精度和重復(fù)定位精度的區(qū)別及好壞。在圖中，B表示正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)位，h表示重復(fù)定位精度，圖(a)、(b)、(c)分別表示定位精度合理，重復(fù)定位精度良好；定位精度良好，重復(fù)定位精度較差；定位精度較差，重復(fù)定位精度良好3種情況。圖1-12機(jī)器人定位精度和重復(fù)定位精度示意圖

4.工作空間

機(jī)器人的工作空間是指其活動(dòng)部件所能掠過(guò)的空間與末端執(zhí)行器和工件運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)器人手臂末端或手腕中心所能到達(dá)的所有點(diǎn)的集合。描述工作空間的手腕參考點(diǎn)可以選在手部

中心、手腕中心或手指指尖，參考點(diǎn)不同，工作空間的大小、形狀也不同。對(duì)于多自由度工業(yè)機(jī)器人，通常在產(chǎn)品數(shù)據(jù)手冊(cè)中使用臂展或可達(dá)半徑等數(shù)據(jù)值來(lái)表達(dá)工作空間的大小。

5.最高速度

從功能實(shí)現(xiàn)角度來(lái)看，機(jī)器人的最高速度指的是在各軸聯(lián)動(dòng)的情況下機(jī)器人手腕中心所能達(dá)到的最高線速度，單位為mm/s。從產(chǎn)品設(shè)計(jì)角度來(lái)看，機(jī)器人的最高速度指的是機(jī)器人主要自由度上的最大穩(wěn)定角速度，單位是rad/s或°/s。通常，從應(yīng)用場(chǎng)景來(lái)說(shuō)，裝配機(jī)器人的最高工作速度要低于搬運(yùn)機(jī)器人的工作速度，因?yàn)檠b配要求非常高的位置精度和穩(wěn)定性，而搬運(yùn)小物件更看重工作效率。

6.負(fù)載

負(fù)載(load)是指在規(guī)定的速度和加速度條件下，沿著運(yùn)動(dòng)的各個(gè)方向，末端執(zhí)行器安裝面或底盤(pán)等機(jī)器人組件能夠承受的力和扭矩。負(fù)載是質(zhì)量、慣性力矩的函數(shù)，是機(jī)器人

承受的全部靜態(tài)力和動(dòng)態(tài)力?？赏ㄋ椎貙⒇?fù)載理解為機(jī)器人在作業(yè)范圍內(nèi)的任何位姿上所能承受的最大質(zhì)量。為了安全起見(jiàn)，一般將承載能力這一技術(shù)指標(biāo)定義為高速運(yùn)行時(shí)的承

載能力。影響機(jī)器人負(fù)載能力的因素眾多，不僅包括驅(qū)動(dòng)器功率、連桿尺寸和材料剛度、重力浮力等環(huán)境條件，還包括速度和加速度的大小、方向等運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

如圖1-13所示為發(fā)那科M-2000iA/1700L機(jī)器人搬運(yùn)車(chē)體的示意圖，該機(jī)器人不含控制裝置的本體質(zhì)量為12500kg，其手腕部搬運(yùn)質(zhì)量可達(dá)1700kg。圖1-13發(fā)那科M-2000iA/1700L機(jī)器人搬運(yùn)車(chē)體的示意圖

1.5本

章

小

結(jié)

本章對(duì)機(jī)器人的定義、組成和分類進(jìn)行了探討，對(duì)決定機(jī)器人性能的自由度、定位精度、重復(fù)定位精度、工作空間、最高速度和負(fù)載等6個(gè)技術(shù)參數(shù)進(jìn)行了討論。在實(shí)踐中，機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)控制涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、經(jīng)典與現(xiàn)代控制理論、傳感器技術(shù)、伺服電機(jī)及其特性、氣壓及液壓、精密機(jī)械等多學(xué)科領(lǐng)域的綜合性交叉知識(shí)。在日益成熟的計(jì)算機(jī)視覺(jué)技術(shù)推動(dòng)下，該領(lǐng)域?qū)⑦M(jìn)入一個(gè)更加嶄新的發(fā)展階段。第2章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析2.1機(jī)器人空間描述2.2機(jī)器人位姿描述與坐標(biāo)變換2.3機(jī)器人齊次坐標(biāo)變換2.4機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立2.5機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算2.6本章小結(jié)

2.1機(jī)器人空間描述

符號(hào)表達(dá)是科學(xué)和工程中的一個(gè)重要問(wèn)題。針對(duì)本書(shū)中提到的相關(guān)公式符號(hào)的一般表達(dá),有如下說(shuō)明：

(1)一般用黑體字母表示矢量或矩陣，用非黑體字母表示標(biāo)量。

(2)左下標(biāo)和左上標(biāo)表示變量所在的坐標(biāo)系。例如，AP

表示坐標(biāo)系{A}中的位置矢量，ABR

是確定坐標(biāo)系{A}和坐標(biāo)系{B}相對(duì)關(guān)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

(3)右上標(biāo)表示矩陣的逆或轉(zhuǎn)置(比如R-1、RT)，這種表示已被廣泛接受。

(4)右下標(biāo)沒(méi)有嚴(yán)格限制，可能表示矢量的分量(例如x、y

或z)或者某種描述。

(5)我們可能會(huì)用到許多三角函數(shù)。例如，角θ1

的余弦可以用以下任何一種形式表示：cosθ1=cθ1=c1。

2.1.1空間點(diǎn)的描述

空間中任一點(diǎn)P(ax,by,cz)的位置(如圖2-1所示)可用它在參考坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)表示，即

式中，ax、by、cz

是點(diǎn)P

在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。顯然,也可以用其他坐標(biāo)來(lái)表示空間點(diǎn)的位置。可以看出，空間中點(diǎn)的表示是比較簡(jiǎn)單的。圖2-1空間點(diǎn)的描述

2.1.2空間矢量的描述

矢量是一個(gè)有大小和方向的量。如果一個(gè)矢量P

起始于點(diǎn)A(Ax,Ay,Az)，終止于點(diǎn)B(Bx,By,Bz)，那么它可以記為PAB，且

可以看出，公式(2-2)也就是兩點(diǎn)坐標(biāo)的差。特殊情況下，如果一個(gè)矢量P

起始于原點(diǎn),即點(diǎn)A

在原點(diǎn)，則矢量P

可以表示為

式中,ax、by、cz

是矢量P

在參考坐標(biāo)系中的3個(gè)分量。

實(shí)際上，2.1.1節(jié)中的點(diǎn)P就是用連接到該點(diǎn)的矢量表示的，具體地說(shuō)，也就是用連接到該點(diǎn)的矢量的3個(gè)分量表示的。我們可以把矢量的3個(gè)分量寫(xiě)成矩陣的形式，即

在本章中，我們將用式(2-4)的形式表示運(yùn)動(dòng)分量。對(duì)于空間矢量的矩陣表示，也可以通過(guò)加入一個(gè)比例因子w

將公式(2-4)稍做變化。令x、y、z各除以w,得到ax、by、cz，則這時(shí)矢量P

可以寫(xiě)為新的形式，即

式中

2.1.3坐標(biāo)系的描述

一個(gè)原點(diǎn)位于參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)系可由三個(gè)矢量(即n、o、a)表示，如圖2-2所示，通常這三個(gè)矢量相互垂直，稱為單位矢量。圖中n為法向矢量,o為指向矢量，a

為接近矢量。這樣，每一個(gè)單位矢量都由它所在參考坐標(biāo)系的3個(gè)分量表示，因此，坐標(biāo)系{F}就可以由3個(gè)矢量以矩陣的形式表示出來(lái)，即圖2-2中心位于參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)系

如果一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)不在參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)，那么該坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置也必須表示出來(lái)，如圖2-3所示，為此，在該坐標(biāo)系原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)之間做一個(gè)矢量P

來(lái)表示該坐標(biāo)系的位置。這樣，這個(gè)坐標(biāo)系就可以表示為矩陣F，由三個(gè)表示方向的單位矢量以及第四個(gè)位置矢量表示，即圖2-3一個(gè)坐標(biāo)系在另一個(gè)坐標(biāo)系中的表示

2.1.4剛體的描述

在坐標(biāo)系中表示機(jī)器人時(shí)，需要把機(jī)器人看作一個(gè)物體，稱之為剛體。剛體是一種理想物理模型，即在外力作用下，物體的形狀和大小保持不變，而且內(nèi)部各部分的相對(duì)位置

保持恒定，也就是沒(méi)有發(fā)生形變。剛體具有如下特性：(1)剛體上任意兩點(diǎn)的連線在平動(dòng)中是平行且相等的。

(2)剛體上任意質(zhì)元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各質(zhì)元的位移、速度和加速度卻相同。

以上剛體的特性也是我們常用“剛體的質(zhì)心”來(lái)研究剛體的平動(dòng)的原因。

剛體的坐標(biāo)系的表示方法是首先在它上面固連一個(gè)坐標(biāo)系,再將該固連坐標(biāo)系在空間表示出來(lái),如圖2-4所示。圖2-4空間剛體的描述

由于這個(gè)坐標(biāo)系一直固連在該剛體上，因此該剛體相對(duì)于坐標(biāo)系的位姿是已知的。因此，只要把這個(gè)坐標(biāo)系在空間中表示出來(lái)，那么這個(gè)剛體相對(duì)于固連坐標(biāo)系的位姿也就已知了，根據(jù)2.1.3節(jié)所講,空間坐標(biāo)系可以用矩陣Fobject表示，即

因此,只有上述約束方程成立時(shí)，坐標(biāo)系的值才能用矩陣表示。否則,坐標(biāo)系將不正確。只有了解了坐標(biāo)系的表示方法，才能更好地建立多工件機(jī)器人、移動(dòng)機(jī)器人、機(jī)器人與工具末端的坐標(biāo)系。圖2-5所示為多工件機(jī)器人坐標(biāo)系。圖2-5多工件機(jī)器人坐標(biāo)系示意圖

2.2-機(jī)器人位姿描述與坐標(biāo)變換

2.2.1位置的描述一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個(gè)3×1的位置矢量描述坐標(biāo)系中任何點(diǎn)的位置。但是如圖2-5所示，機(jī)器人系統(tǒng)中經(jīng)常有許多坐標(biāo)系，因此必須能夠在矢量中加入坐標(biāo)系信息，即表明該矢量是在哪一個(gè)坐標(biāo)系中被定義的。

首先建立一個(gè)直角坐標(biāo)系{A}(在機(jī)器人末端執(zhí)行器上建立的笛卡兒坐標(biāo)系即為工具坐標(biāo)系)，在直角坐標(biāo)系{A}中，空間中任一點(diǎn)P的位置可用3×1的位置矢量AP

表示，即

從圖2-6中可以看到，坐標(biāo)系{A}(工具坐標(biāo)系)的原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的位置可用來(lái)表示機(jī)器人的位置。圖2-6機(jī)器人位置描述

2.2.2-姿態(tài)的描述

為了研究機(jī)器人在空間的運(yùn)動(dòng)狀況，不僅要確定剛體的空間位置，而且需要確定剛體在空間的姿態(tài)(也稱為方位)。剛體姿態(tài)的描述可以采用歐拉角、旋轉(zhuǎn)矩陣、RPY角等方法。以下介紹使用旋轉(zhuǎn)矩陣描述剛體姿態(tài)的方法，即通常使用與剛體固連的坐標(biāo)系描述其在直角坐標(biāo)系下的姿態(tài)。

剛體的姿態(tài)描述如圖2-7所示。圖2-7剛體的姿態(tài)描述

我們可以將三個(gè)單位矢量按照順序組成一個(gè)3×3的矩陣，稱該矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣，表示如下：

式(2-10)中，標(biāo)量rij

可用每個(gè)矢量參考坐標(biāo)系中軸線方向上投影的分量來(lái)表示，即ABR

可用一對(duì)單位矢量的點(diǎn)積表示，即

由于兩個(gè)單位矢量的點(diǎn)積可表示為兩者之間夾角的余弦,故式(2-11)中的旋轉(zhuǎn)矩陣也可表示為

旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)正交矩陣，即ABRT=ABR-1,且

|ABR|=1。旋轉(zhuǎn)矩陣是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的基礎(chǔ)，它反映了剛體的定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。經(jīng)常用到的3個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣分別是繞x

軸、y軸、z

軸旋轉(zhuǎn)θ角得到的，表示如下：

2.2.3位姿的描述

在機(jī)器人學(xué)中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對(duì)出現(xiàn)，于是我們將此二者組合稱作位姿。為了完整描述剛體在空間的位姿，需要規(guī)定它的位置和姿態(tài)。一個(gè)位姿可以等價(jià)地用一個(gè)位置矢量和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣描述，4個(gè)矢量成一組，其中，1個(gè)矢量表示指尖位置，3個(gè)矢量表示姿態(tài)，合起來(lái)表示剛體的位置和姿態(tài)信息，即一個(gè)位置矢量和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。

以剛體

B為例，將剛體

B與坐標(biāo)系{B}固連，坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)通常選擇在剛體的質(zhì)心或?qū)ΨQ中心等特征點(diǎn)上。相對(duì)于參考坐標(biāo)系{A}，用位置矢量APBORG描述坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)的位置，用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于參考坐標(biāo)系{B}的姿態(tài)，則坐標(biāo)系{B}的位姿完全可以由下式表示：

當(dāng)式(2-16)表示位置時(shí)，式

(2-16)中的旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣，即ABR=E；當(dāng)式(2-16)表示姿態(tài)時(shí)，位置矢量APBORG=0。

機(jī)器人的末端執(zhí)行器可以看成剛體，為了描述末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，與其固連的坐標(biāo)系稱為工具坐標(biāo)系{B}。設(shè)夾鉗中心點(diǎn)為原點(diǎn)，接近物體的方向?yàn)閦軸，此方向上的矢量稱為接近矢量a，它是關(guān)節(jié)軸方向的單位矢量；兩夾鉗的連線方向?yàn)閥

軸，此方向上的矢量稱為指向矢量o，也就是手指連線方向的單位矢量；根據(jù)右手法則確定x

軸，此方向上的矢量稱為法向矢量n。

根據(jù)坐標(biāo)系知識(shí)，可以將末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)表示出來(lái)，即

總之，位姿可以用兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)關(guān)系來(lái)描述，即式(2-17)和式(2-18)。位姿包括了位置和姿態(tài)兩個(gè)概念，B=[n,o,a,P]。機(jī)器人的位置可以用一個(gè)特殊的位姿來(lái)表示，它的旋轉(zhuǎn)矩陣是單位矩陣，并且機(jī)器人的任意點(diǎn)的位置矢量的分量確定了被描述點(diǎn)的位置；同樣，如果位姿的位置矢量是零矢量，那么它表示的就是姿態(tài)。

2.2.4機(jī)器人坐標(biāo)變換

設(shè)坐標(biāo)系{A}和{B}具有相同的姿態(tài)，但它們的坐標(biāo)原點(diǎn)并不重合，如圖2-8所示。圖2-8坐標(biāo)平移

2.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

設(shè)坐標(biāo)系{A}和{B}有共同的原點(diǎn)，但兩者的姿態(tài)不同，如圖2-9所示。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)。點(diǎn)P

在坐標(biāo)系{B}中的位置矢量為BP，在坐標(biāo)系{A}中的位置矢量為AP，則點(diǎn)

P

在兩個(gè)坐標(biāo)系中的描述存在變換關(guān)系A(chǔ)P=ABRBP，即坐標(biāo)旋

轉(zhuǎn)。值得注意的是，由于旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，因此ABR

與ABR

兩者互逆，即ABR=ABRT=ABR-1。圖2-9坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

3.復(fù)合變換

一般情況下,坐標(biāo)系{A}和{B}的原點(diǎn)不重合,兩者的姿態(tài)也不同,如圖2-10所示。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR

描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài),用APBORG描述坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的位置。任一點(diǎn)P在坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}中存在變換關(guān)系A(chǔ)P=ABRBP+APBORG。圖2-10復(fù)合變換

可以這樣理解，設(shè)置一個(gè)過(guò)渡坐標(biāo)系{C}，坐標(biāo)系{C}和{B}的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)系{C}和{A}的姿態(tài)相同。首先坐標(biāo)系{C}由坐標(biāo)系{B}旋轉(zhuǎn)變換后得來(lái)，坐標(biāo)系{C}與坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)相同，但原點(diǎn)不重合；然后將坐標(biāo)系{C}平移使其原點(diǎn)與坐標(biāo)系{A}的原點(diǎn)重合，這個(gè)變換形式可以利用矢量相加來(lái)表示，故這個(gè)變換過(guò)程可總結(jié)為下式：

[例題2-1]

已知坐標(biāo)系{B}的初始位置與坐標(biāo)系{A}的位置重合，首先坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的zA

軸旋轉(zhuǎn)30°,再沿坐標(biāo)系{A}的xA

軸移動(dòng)10個(gè)單位,沿yA

軸移動(dòng)5個(gè)單位，試求矢量APBORG和旋轉(zhuǎn)矩陣ABR。假設(shè)點(diǎn)P

在坐標(biāo)系{B}中的描述為BP=[3,7,0]T,求它在坐標(biāo)系{A}中的描述AP。

2.3機(jī)器人齊次坐標(biāo)變換

2.3.1齊次坐標(biāo)一般情況下，公式(2-19)可以描述不同坐標(biāo)系間AP

與BP

之間的關(guān)系，由此我們可以引出一個(gè)新的形式AP=ABTBP

，即用矩陣形式表示一個(gè)坐標(biāo)系到一個(gè)坐標(biāo)系的映射，這比公式(2-19)更加簡(jiǎn)單。

由于變換式對(duì)于BP

是非齊次的，因此可以定義一個(gè)4×4的矩陣，將等式AP=ABTBP

寫(xiě)為等價(jià)齊次坐標(biāo)變換形式，即

式中，E

為單位矩陣。

令式(2-20)中的4×4矩陣為齊次變換矩陣ABT，可得

式中

公式(2-21a)中AP

與BP

均為4×1的位置矢量。

2.3.2-純平移變換

如果一個(gè)坐標(biāo)系在空間中以不變的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，那么該坐標(biāo)系所做的就是純平移變換，如圖2-11所示。圖2-11純平移變換

相對(duì)于參考坐標(biāo)系，新坐標(biāo)系的位置可以用原來(lái)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置矢量加上表示位移的矢量求得。若用矩陣形式，則新坐標(biāo)系的位置表示可以通過(guò)坐標(biāo)系矩陣左乘變換矩陣得

到。由于在純平移變換中方向向量不改變，因此變換矩陣T

可以簡(jiǎn)單地表示為

式中,dx、dy、dz

是純平移矢量D

相對(duì)于參考坐標(biāo)系x、y、z

軸的3個(gè)分量。由式(2-22)可以看出,矩陣的前三列表示沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(等同于單位矩陣)，最后一列表示平移移動(dòng)。平移后新坐標(biāo)系的位置可表示為

式中，F(xiàn)new是平移后的新坐標(biāo)系的位置矢量，F(xiàn)old是平移前坐標(biāo)系的位置矢量，Trans(dx,dy,dz)稱為平移算子，且

2.3.3繞軸純旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)矩陣還可以用旋轉(zhuǎn)算子來(lái)定義。在坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)表示中，為簡(jiǎn)化繞軸旋轉(zhuǎn)的推導(dǎo)，先假設(shè)該坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)并且與之平行，之后將結(jié)果推廣到其他的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的組合。

假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(n,o,a)的原點(diǎn)位于參考坐標(biāo)系(x,y,z)的

原

點(diǎn)，旋

轉(zhuǎn)

坐

標(biāo)

系(n,o,a)繞參考坐標(biāo)系的x

軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ。再假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(n,o,a)上有一點(diǎn)

P相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(px,py,pz)，相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(pn,po,pa)。當(dāng)坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，坐標(biāo)系上的點(diǎn)P

也隨坐標(biāo)系一起旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)之前，點(diǎn)P在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是相同的(這時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系的位置相同，并且相互平行)。旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)

P的坐標(biāo)雖然在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(n,o,a)中保持不變，但在參考坐標(biāo)系中卻改變了。現(xiàn)在要找到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系的新坐標(biāo)。

繞x軸純旋轉(zhuǎn)如2-12所示。圖2-12中,x

軸用來(lái)觀察二維平面上的同一點(diǎn)的坐標(biāo)，該圖顯示了點(diǎn)P

在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)。點(diǎn)P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(px,py,pz)，而相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(也就是點(diǎn)P

所固連的坐標(biāo)系)的坐標(biāo)仍為(pn,po,pa)。圖2-12-繞x軸純旋轉(zhuǎn)

從圖2-13可以看出，px

不隨坐標(biāo)系x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變，而py

和pz

卻改變了，可以證明，

寫(xiě)成矩陣形式為圖2-13相對(duì)于參考坐標(biāo)系的點(diǎn)的坐標(biāo)和從x軸上觀察旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)

由上述討論可見(jiàn)，為了得到圖2-13中參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的點(diǎn)P

或矢量P的坐標(biāo)必須左乘一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，它可以用旋轉(zhuǎn)算子Rot()表示，則式(2-25)可表示為

注意：在式(2-25)中,旋轉(zhuǎn)矩陣的第1列表示相對(duì)于x軸的位置，其值為1、0、0,表示沿x

軸的坐標(biāo)沒(méi)有改變。這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣只適用于繞參考坐標(biāo)系的x

軸做純旋轉(zhuǎn)變換的情況。可用同樣的方法分析坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系y

軸和z

軸旋轉(zhuǎn)的情況，如圖2-14所示。圖2-14繞x、y、z純旋轉(zhuǎn)角度θ

繞參考坐標(biāo)系的x

軸、y

軸和z

軸旋轉(zhuǎn)角度θ的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為

為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，習(xí)慣用符號(hào)cθ表示cosθ以及用sθ表示sinθ。因此，旋轉(zhuǎn)矩陣(2-27)也可寫(xiě)為

[例題2-3]參考例題2-1,在坐標(biāo)系{A}中，點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)軌跡如下：首先繞zA

軸旋轉(zhuǎn)30°,再沿xA

軸移動(dòng)10個(gè)單位，沿yA

軸移動(dòng)5個(gè)單位。假設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)系{A}中的描述為AP0=[3,7,0]T，求它在坐標(biāo)系{A}中的描述AP1。

解

平移算子可以表示為

旋轉(zhuǎn)算子可以表示為

運(yùn)動(dòng)算子可以表示為

所以

可以看到，例題2-3和例題2-2的結(jié)果是相同的，但是解釋不同。一個(gè)變換包含了旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，常被認(rèn)為是由一個(gè)廣義旋轉(zhuǎn)矩陣和位置矢量分量組成的齊次變換的形式。

2.3.4復(fù)合變換

結(jié)合平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的兩種表達(dá)形式可知，復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的一系列平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所組成的。實(shí)際上,任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。為了探討如何處理復(fù)合變換,如圖2-15所示，假定坐標(biāo)系(n,o,a)相對(duì)于參考坐標(biāo)系(x,y,z)依次進(jìn)行了3次變換,即

(1)繞x

軸旋轉(zhuǎn)α；

(2)平移(l1,l2,l3)(分別相對(duì)于x、y、z

軸)；

(3)繞y

軸旋轉(zhuǎn)β。圖2-15復(fù)合變換

比如，點(diǎn)Pnoa固定在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，開(kāi)始時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。隨著坐標(biāo)系(n,o,a)相對(duì)于參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或者平移時(shí)，坐標(biāo)系中的點(diǎn)

P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系也跟著改變。如前面所看到的，第一次變換后，點(diǎn)P

相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可用下列方程進(jìn)行計(jì)算：

在固定坐標(biāo)系中發(fā)生連續(xù)的齊次變換有兩種情況，我們來(lái)對(duì)比一下。

(1)如果齊次變換是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移的，則齊次變換為左乘,稱為絕對(duì)變換。假設(shè)開(kāi)始兩個(gè)坐標(biāo)系{B}、{A}重合,，然后坐標(biāo)系{B}先繞坐標(biāo)系{A}的xA軸旋轉(zhuǎn)α，再繞yA

軸旋轉(zhuǎn)β，得到坐標(biāo)系{B}中的向量在坐標(biāo)系{A}中的表示為

(2)如果運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為右乘，稱為相對(duì)變換。假設(shè)開(kāi)始兩個(gè)坐標(biāo)系{B}、{A}重合,然后先繞xA

軸旋轉(zhuǎn)α

得到新坐標(biāo)系{C}，再繞當(dāng)前軸yC

軸旋轉(zhuǎn)β得到要求的坐標(biāo)系{B}，可以得到這個(gè)變換過(guò)程的公式為

下面結(jié)合圖2-16實(shí)例具體說(shuō)明相對(duì)變換、絕對(duì)變換的概念。坐標(biāo)系{B}代表基座坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{T}是工具坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{S}是工件坐標(biāo)系,坐標(biāo)系{G}是目標(biāo)坐標(biāo)系，則它們之間的位姿關(guān)系可以用相應(yīng)的齊次變換矩陣來(lái)描述。工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{B}的描述可用下列變換矩陣的乘積描述：

在這里，結(jié)合圖2-16(b),我們使用了坐標(biāo)系的圖形化表示法，即用一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)向另一坐標(biāo)系原點(diǎn)的箭頭來(lái)表示。箭頭的方向指明了坐標(biāo)系定義的方式。將箭頭串聯(lián)起來(lái)，通過(guò)簡(jiǎn)單的變換矩陣相乘就可以得到起點(diǎn)到終點(diǎn)的坐標(biāo)系描述，如果一個(gè)箭頭的方向與串聯(lián)的方向相反,則需先求出該變換矩陣的逆再相乘即可。圖2-16機(jī)器人工作臺(tái)變換方程示意

2.3.5機(jī)器人RPY與歐拉角

假設(shè)固連在機(jī)器人末端上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到期望的位置上，但它仍然平行于參考坐標(biāo)系,或者假設(shè)其姿態(tài)并不是所期望的，下一步是在不改變位置的情況下，適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)坐標(biāo)系而使其達(dá)到所期望的姿態(tài)。合適的旋轉(zhuǎn)順序取決于機(jī)器人手腕的設(shè)計(jì)以及關(guān)節(jié)裝配在一起的方式?？紤]以下兩種常見(jiàn)的構(gòu)型配置：

(1)滾動(dòng)角(Roll)、俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw),即RPY;

(2)歐拉角。

1.滾動(dòng)角、俯仰角和偏航角

RPY是分別繞當(dāng)前坐標(biāo)系的n、o、a

軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)順序(如圖2-17所示),能夠把機(jī)器人的手調(diào)整到所期望的姿態(tài)的一系列角度。圖2-17繞固定坐標(biāo)系的RPY旋轉(zhuǎn)

參考圖2-17可以看出，RPY旋轉(zhuǎn)包括以下幾種：

(1)繞a

軸(即z

軸)旋轉(zhuǎn)γ，叫作滾動(dòng)；

(2)繞o

軸(即y

軸)旋轉(zhuǎn)β，叫作俯仰；

(3)繞n

軸(即x

軸)旋轉(zhuǎn)α，叫作偏航。

三次旋轉(zhuǎn)變換是相對(duì)固定坐標(biāo)系{A}而言的，將坐標(biāo)系{B}繞xA

軸旋轉(zhuǎn)γ，再繞yA

軸旋轉(zhuǎn)β，最后繞zA

軸旋轉(zhuǎn)α。按照“從右向左”的原則，表示RPY姿態(tài)變化的矩陣為

2.歐拉角

歐拉角的很多方面與RPY相似。我們?nèi)孕枰顾行D(zhuǎn)都是繞當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的，以防止機(jī)器人的位置有任何改變。這種描述法中的各次轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{B}的某個(gè)軸進(jìn)行的，而不是相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系{A}進(jìn)行的。表示歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)如下：

(1)繞a

軸(運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的軸z)旋轉(zhuǎn)φ。

(2)繞o

軸(運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的y

軸)旋轉(zhuǎn)θ。

(3)繞n

軸(運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的x

軸)旋轉(zhuǎn)ψ。

這樣三個(gè)一組的旋轉(zhuǎn)角描述法稱為歐拉角方法，又因轉(zhuǎn)動(dòng)是依次繞z

軸、y

軸和x

軸進(jìn)行的，故稱這種描述法為ZYX歐拉角方法。按照不同的旋轉(zhuǎn)順序，歐拉變換還有不同的形式，如XYX、XZX、YXY、YZY、ZXZ、XYZ、XZY、YZX、YXZ、ZXY以及ZYX等。

以ZYZ歐拉變換為例(如圖2-18所示),根據(jù)“從左到右”的原則安排各次旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的矩陣,從而得到表示歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)如下:圖2-18繞當(dāng)前坐標(biāo)軸歐拉旋轉(zhuǎn)

2.4機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立

2.4.1連桿的描述機(jī)器人本體一般是一臺(tái)機(jī)械臂，也稱操作臂或操作手，其可以在確定的環(huán)境中執(zhí)行控制系統(tǒng)指定的操作。機(jī)器人的機(jī)械臂如圖2-19所示。圖2-19機(jī)器人機(jī)械臂示意圖

從本質(zhì)上看，關(guān)節(jié)通?？煞譃橐苿?dòng)關(guān)節(jié)和轉(zhuǎn)動(dòng)(旋轉(zhuǎn))關(guān)節(jié)兩類。移動(dòng)關(guān)節(jié)可以沿著基準(zhǔn)軸移動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)則圍繞基準(zhǔn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。不管是轉(zhuǎn)動(dòng)還是移動(dòng)，都是沿著或者圍繞著一個(gè)軸進(jìn)行的,這被稱為一個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度。每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)提供一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，每一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)提供一個(gè)移動(dòng)自由度。通常，關(guān)節(jié)個(gè)數(shù)為機(jī)器人的自由度數(shù)，各關(guān)節(jié)間是以固定連桿相連接的。

連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)功能是使其兩端的關(guān)節(jié)軸線保持固定的幾何關(guān)系，連桿的特征也是由這兩條關(guān)節(jié)軸線所決定的。無(wú)論多么復(fù)雜的連桿，都可以用兩個(gè)參數(shù)來(lái)確定：一個(gè)參數(shù)是關(guān)

節(jié)軸線i-1和關(guān)節(jié)軸線i的公法線長(zhǎng)度ai-1，另一個(gè)參數(shù)是兩個(gè)關(guān)節(jié)軸線的夾角αi-1。ai-1稱為連桿i-1的長(zhǎng)度,αi-1稱為連桿i-1的扭角，這兩個(gè)參數(shù)稱為連桿的尺寸參數(shù)，如圖2-20所示。圖2-20連桿的尺寸參數(shù)

2.4.2-連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量

相鄰兩連桿之間有一條共同的關(guān)節(jié)軸線，因此每一條關(guān)節(jié)軸線i有兩條公法線與它垂直,每條公法線對(duì)應(yīng)于一條連桿。這兩條公法線(連桿)的距離稱為連桿偏距，記為di,它代表連桿i相對(duì)于連桿i-1的偏置。同樣地,對(duì)應(yīng)于關(guān)節(jié)軸線i的兩條公法線之間的夾角稱為關(guān)節(jié)角，記為θi。圖2-21所示為連桿i和連桿i-1之間連接關(guān)系參數(shù)。描述相鄰連桿之間連接關(guān)系的參數(shù)也有兩個(gè)：第一個(gè)參數(shù)是連桿偏距di,用來(lái)描述連桿i相對(duì)于連桿i-1的偏置；另一個(gè)參數(shù)為關(guān)節(jié)角θi，用來(lái)描述連桿i相對(duì)于連桿i-1繞關(guān)節(jié)軸線i的旋轉(zhuǎn)角度。注意：參數(shù)都有正負(fù)號(hào)之分。圖2-21描述相鄰連桿間連接關(guān)系的參數(shù)

對(duì)于一個(gè)連桿，需要4個(gè)參數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述，其中兩個(gè)參數(shù)描述連桿本身的特性，另外兩個(gè)參數(shù)描述相鄰連桿之間的相對(duì)位置。連桿偏距di

和關(guān)節(jié)角θi

是由關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)決定的,反映了關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。如果關(guān)節(jié)i是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，那么連桿i-1和連桿i之間沿著關(guān)節(jié)軸線i的距離di

就是一個(gè)定值，對(duì)于任意給定的機(jī)器人，該值不會(huì)發(fā)生變化，而θi

則會(huì)改變,因此θi

稱為關(guān)節(jié)變量。同樣地,如果關(guān)節(jié)i

是一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)，那么連桿i-1和連桿i之間的夾角θi

就是一個(gè)定值,變化的是兩個(gè)連桿沿著關(guān)節(jié)軸線i的距離di

，此時(shí)di

稱為關(guān)節(jié)變量。這種描述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的方法稱為D-H(Denavit-Hartenberg)建模法。

2.4.3機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

取空間任意兩相鄰連桿i-1和i，取關(guān)節(jié)i-1、i和i+1來(lái)研究連桿間的齊次變換矩陣,如圖2-22所示。圖2-22-標(biāo)準(zhǔn)

D-H模型下連桿坐標(biāo)系

1.標(biāo)準(zhǔn)D-H模型

(1)D-H連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則如下：

①zi

軸與第i+1個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合；

②xi

軸垂直于zi-1軸和zi

軸,并由關(guān)節(jié)i指向關(guān)節(jié)i+1；

③

以zi-1軸和zi

軸的公法線與zi

軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；

④yi軸則通過(guò)右手坐標(biāo)系規(guī)則建立。

(2)D-H參數(shù)在連桿坐標(biāo)系中的表示：

①ai：沿xi-1軸，從zi-1軸移動(dòng)到zi軸的偏置距離；

②αi：繞xi-1軸，從zi-1軸旋轉(zhuǎn)到zi

軸的角度；

③di：沿zi-1軸，從xi-1軸移動(dòng)到xi軸的距離；

④θi：繞zi-1軸，從xi-1軸旋轉(zhuǎn)到xi軸的角度。

(3)建立連桿坐標(biāo)系的步驟。

通過(guò)上述關(guān)于4個(gè)參數(shù)的定義，可總結(jié)出標(biāo)準(zhǔn)的D-H相鄰連桿間的坐標(biāo)系變換過(guò)程為：

①

繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使xi-1軸和xi

軸平行；

②

沿zi-1軸平移di，使xi-1軸和xi

軸共線；

③

沿新位置的xi-1軸平移ai，使坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)重合；

④

繞新位置的xi-1軸旋轉(zhuǎn)αi，使坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}重合。

[例題2-4]以SCARA機(jī)器人為例(其實(shí)物圖如圖2-23(a)所示),依據(jù)D-H建模法計(jì)算SCARA機(jī)器人的連桿變換矩陣。

SCARA機(jī)器人屬于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人,有4個(gè)自由度:3個(gè)旋轉(zhuǎn)副,1個(gè)移動(dòng)副。由于SCARA機(jī)器人是串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人,因此標(biāo)準(zhǔn)D-H模型和改進(jìn)D-H模型都適用,選用標(biāo)準(zhǔn)D-H模型計(jì)算SCARA機(jī)器人的連桿變換矩陣。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)D-H模型下坐標(biāo)系建立規(guī)則分別建立SCARA機(jī)器人各連桿的坐標(biāo)系,如圖2-23(b)所示。。進(jìn)而得到SCARA機(jī)器人各連桿的D-H參數(shù)如表2-1所示。

通過(guò)這個(gè)參數(shù)表以及前面講解的標(biāo)準(zhǔn)D-H模型下計(jì)

算機(jī)器人連桿變換矩陣的公式可得到SCARA機(jī)器人相鄰兩連桿間的變換矩陣為圖2-23SCARA機(jī)器人

2.改進(jìn)D-H模型

(1)D-H連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則如下：

①zi

軸與第i個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合；

②xi

軸垂直于zi

軸和zi+1軸，并由關(guān)節(jié)i指向關(guān)節(jié)i+1；

③

以zi

軸和zi+1軸的公法線與zi

軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；

④yi

軸則通過(guò)右手坐標(biāo)系規(guī)則建立。

改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系如圖2-24所示。根據(jù)改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則，可將改進(jìn)D-H模型下描述機(jī)器人相鄰連桿關(guān)系的4個(gè)參數(shù)總結(jié)如表2-2所示。圖2-24改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系

通過(guò)上述關(guān)于4個(gè)參數(shù)的定義，可總結(jié)出改進(jìn)的D-H相鄰連桿間的坐標(biāo)系變換過(guò)程為：

①

繞xi-1軸旋轉(zhuǎn)ai-1，使zi-1軸和zi

軸平行；

②

沿xi-1軸平移ai-1，使zi-1軸和zi軸共線；

③

繞新位置的zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使xi-1軸和xi

軸平行；

④

沿新位置的zi-1軸平移di，使坐標(biāo)系{i-1}和坐標(biāo)系{i}重合。

若連桿i在改進(jìn)D-H模型下的4個(gè)參數(shù)分別為ai-1、αi-1、di、θi，則連桿i-1與連桿i之間的變換矩陣i-1iT

如下式所示：

改進(jìn)D-H模型不僅適用于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，還適用于樹(shù)形結(jié)構(gòu)的機(jī)器人。

[例題2-5]

結(jié)合工業(yè)機(jī)械臂進(jìn)行講解,FANUC機(jī)器人(如圖2-25所示)屬于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，有6個(gè)自由度，都為旋轉(zhuǎn)副。根據(jù)改進(jìn)D-H模型下連桿坐標(biāo)系建立規(guī)則可分別建立機(jī)器人的各連桿坐標(biāo)系，如圖2-25所示。圖2-25FUNUC機(jī)器人

由建立的機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系，可得到機(jī)器人各連桿的D-H參數(shù)如表2-3所示。根據(jù)D-H參數(shù)以及前面講解的改進(jìn)D-H模型下計(jì)算機(jī)器人連桿變換矩陣的公式可得FANUC機(jī)器人相鄰兩連桿間的齊次變換矩陣為

2.5機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

根據(jù)公式(2-42)我們可以總結(jié)出，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)有兩種求解問(wèn)題，分別是正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)示例如圖2-26所示。圖2-26正運(yùn)動(dòng)學(xué)與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)示例

2.5.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

多連桿串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖如圖2-27所示。首先根據(jù)D-H模型確定相鄰連桿坐標(biāo)系{i}與{i-1}(i=1,2,…,6)的齊次變換矩陣,然后根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以寫(xiě)出圖2-27中多連桿機(jī)器人的齊次變換矩陣06T

為圖2-27多連桿串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖

[例題2-6]

來(lái)看一個(gè)正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的簡(jiǎn)單例題。某機(jī)器人有2個(gè)關(guān)節(jié)，如圖2-28所示，分別位于OA

、OB

點(diǎn)，機(jī)械臂中心為OC

點(diǎn)，OA

、OB

、OC

三個(gè)點(diǎn)分別為三個(gè)坐標(biāo)系

的原點(diǎn)，調(diào)整機(jī)器人各關(guān)節(jié)使得末端執(zhí)行器最終到達(dá)指定位置(未沿z軸發(fā)生平移)，其中l(wèi)1=100mm，l2=50mm,θ1=45°，θ2=-30°，求機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿。圖2-28平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

[例題2-7]

機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程實(shí)例，串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人(PUMA560機(jī)器人)是六自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人，其6個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)副,屬6R型機(jī)械臂，其各連桿坐標(biāo)系如圖2-29所示。前3個(gè)關(guān)節(jié)(即關(guān)節(jié)1、2和3)主要是用于確定手腕參考點(diǎn)的位置，后3個(gè)關(guān)節(jié)(即關(guān)節(jié)4、5和6)用于確定手腕的方位。和大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人一樣，關(guān)節(jié)4、5和6的軸線交于一點(diǎn)，將該點(diǎn)選作手腕的參考點(diǎn)，也作為連桿坐標(biāo)系{4}、{5}和{6}的原點(diǎn)。關(guān)節(jié)1的軸線沿豎直方向,關(guān)節(jié)2和3的軸線沿水平方向，并相互平行，距離為a2(連桿2的長(zhǎng)度)。關(guān)節(jié)4和5的軸線垂直相交，關(guān)節(jié)3和4的軸線垂直交錯(cuò)，距離為a3(連桿3的長(zhǎng)度)。圖2-29PUMA560機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系

解

建立各連桿坐標(biāo)系，列出相應(yīng)的連桿參數(shù)，見(jiàn)表2-4。結(jié)合公式(2-39)寫(xiě)出相鄰兩連桿間的齊次變換矩陣為

將以上齊次變換矩陣依次相乘得到PUMA560機(jī)器人的機(jī)械臂齊次變換矩陣為

式中

2.5.2-機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

1.幾何方法

如圖2-30三關(guān)節(jié)連桿機(jī)械臂，其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題可以描述為給定末端坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置坐標(biāo)(x,y)和末端連桿的方位角φ，計(jì)算滿足條件的3個(gè)關(guān)節(jié)角θ1、θ2、θ3。圖2-30平面三關(guān)節(jié)連桿機(jī)械臂

圖2-30中存在實(shí)線和虛線表示的兩個(gè)解。針對(duì)實(shí)線表示的一組解,在l1、l2-和

OA組成的三角形內(nèi),應(yīng)用余弦定理可以得到

解得

2.代數(shù)方法

已知末端坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置坐標(biāo)(x,y)和末端連桿的方位角φ，則可以給定末端位姿矩陣為

式中

同時(shí)，可以計(jì)算得到該機(jī)械臂基座坐標(biāo)系和乘腕坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中

對(duì)比式(2-50)和式(2-51)，可以得到4個(gè)非線性方程,進(jìn)而求出θ1、θ2、θ3:

結(jié)合式(2-52)和式(2-53)可得

求解可得

PUMA560機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題可以描述為已知06T

的16個(gè)元素的值，求解其6個(gè)關(guān)節(jié)變量θ1~θ6。由于06T

中有4個(gè)元素是常量，因此可以得到12個(gè)方程。在這12個(gè)方程中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣得到的9個(gè)矩陣中只有3個(gè)相互獨(dú)立，加上根據(jù)位置矢量得到的3個(gè)方程，該逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題共可以得到6個(gè)相互獨(dú)立的非線性超越方程，很難求解。由此可得出一般求逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的遞推公式為

2.6本

章

小

結(jié)

運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題是在不考慮引起運(yùn)動(dòng)的力和力矩的情況下，描述機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)。在本章中，我們已經(jīng)討論了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的表示方法和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。

本章的核心內(nèi)容為Denavit-Hartenberg(D-H)模型，其于1955年首次被提出，用于描述機(jī)器人連桿和節(jié)點(diǎn)之間的相互關(guān)系。后來(lái)人們逐步完善并推導(dǎo)出了D-H建模法，即采用

矩陣來(lái)描述機(jī)器人各連桿的相對(duì)位姿，再進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到末端執(zhí)行器的總變換矩陣。直至今日，D-H建模法仍然是當(dāng)下主流的機(jī)器人建模方法。但是本章的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)只研究機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)特性，而不考慮使機(jī)械臂產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)時(shí)施加的力，未研究速度、加速度以及位置變量的所有高階導(dǎo)數(shù)。第3章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析3.1機(jī)器人雅可比矩陣3.2基于牛頓歐拉法的動(dòng)力學(xué)方程3.3基于拉格朗日法的動(dòng)力學(xué)方程3.4機(jī)器人的軌跡規(guī)劃3.5本章小結(jié)

3.1機(jī)器人雅可比矩陣

3.1.1雅可比矩陣的定義利用雅可比矩陣可以建立工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度(線速度和角速度)之間的關(guān)系，以及末端執(zhí)行器與外界接觸力及對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)力間的關(guān)系，即將末端執(zhí)行器的線速度和角速度表示為關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。

[例題3-1]

以二連桿機(jī)器人為例，具體說(shuō)明雅可比矩陣的推導(dǎo)。圖3-1二連桿機(jī)器人

3.1.2速度雅可比矩陣的計(jì)算

求運(yùn)動(dòng)學(xué)速度的目的是尋找關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度之間的關(guān)系，即將末端執(zhí)行器的線速度和角速度表示為關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。本節(jié)在位移分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)旋轉(zhuǎn)速度和平移速度的變換，研究描述關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器的線速度和角速度之間映射關(guān)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；分析機(jī)械臂的速度，描述速度與關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系；定義機(jī)械臂的速度雅可比矩陣，并用雅可比矩陣描述末端執(zhí)行器速度與關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系；闡述機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)與逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)速度的求解方法。

線速度是指當(dāng)坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)不變時(shí)，坐標(biāo)系{B}上固連剛體的任意點(diǎn)的速度。線速度描述的是點(diǎn)的一種屬性，角速度描述的是剛體的一種屬性。由于坐標(biāo)系總是固連在剛體上，因此可以用角速度來(lái)描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)。速度具有可加性，當(dāng)某一坐標(biāo)系繞著各個(gè)坐標(biāo)軸均有旋轉(zhuǎn)速度時(shí)，角速度為繞各個(gè)軸旋轉(zhuǎn)速度的矢量和。由于機(jī)械臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，因此每一個(gè)連桿都可以看作一個(gè)剛體，那么連桿i+1的速度就是連桿i的速度“加上”由連桿i+1引起的新的速度分量。

[例題3-2]

為求解RP機(jī)械臂的速度雅可比矩陣，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(3-5)兩端分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得操作速度和關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系為

式(3-11)右端的第一個(gè)矩陣即為雅可比矩陣，即

相應(yīng)的逆雅可比矩陣為

為了判別機(jī)器人的奇異狀態(tài)，需要計(jì)算雅可比矩陣行列式，即

由式(3-12)可知，當(dāng)θ2=0或θ2=180°時(shí)，機(jī)器人處于奇異狀態(tài)。也就是說(shuō)，當(dāng)機(jī)器人完全伸直或完全縮回時(shí)，相應(yīng)的位形稱為奇異位形。當(dāng)l1>l2

時(shí)，可達(dá)工作空間的邊界是兩個(gè)同心圓，半徑分別為l1+l2

和l1-l2。在邊界上，機(jī)器人處于奇異位形，因此有

3.1.3-力雅可比矩陣與靜力計(jì)算

假設(shè)各關(guān)節(jié)“鎖定”，機(jī)械臂成為一個(gè)結(jié)構(gòu)。這種“鎖定”的關(guān)節(jié)力矩與手部所承受的載荷或受到外界環(huán)境作用的力獲得靜力平衡。求解這種“鎖定”的關(guān)節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動(dòng)力矩作用下末端執(zhí)行器的輸出力就是對(duì)機(jī)械臂的靜力計(jì)算。

假設(shè)已知外界環(huán)境作用在機(jī)械臂末端執(zhí)行器的力f

和力矩n，那么可以由最后一個(gè)連桿向零連桿(基座)依次遞推，從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。為了便于表示力和力矩(簡(jiǎn)稱末端操作力F)，可將fn，n+1和nn，n+1合寫(xiě)成一個(gè)6維矢量形式，即

式中，fn，n+1和nn，n+1分別表示連桿n

通過(guò)關(guān)節(jié)n

作用在n+1桿上的作用力和力矩。各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫(xiě)出一個(gè)n

維矢量的形式，即圖3-2末端執(zhí)行器與各關(guān)節(jié)的虛位移

若不考慮關(guān)節(jié)之間的摩擦力，在末端操作力F

的作用下，機(jī)械臂保持平衡是關(guān)節(jié)力矩應(yīng)滿足的條件。式(3-20)中的JT

與末端操作力F和關(guān)節(jié)力矩τ之間的力傳遞有關(guān)，故稱之為機(jī)械臂力雅可比矩陣。

速度雅可比矩陣J

與力雅可比矩陣JT

之間具有對(duì)偶關(guān)系。一方面，關(guān)節(jié)力矩與末端操作力之間的關(guān)系可用力雅可比矩陣JT

表示;另一方面，速度雅可比矩陣J

又可表示關(guān)節(jié)速度矢量與末端執(zhí)行器速度矢量之間的傳遞關(guān)系。因此，機(jī)械臂的靜力傳遞關(guān)系和速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)，下面利用線性映射來(lái)討論速度雅可比矩陣和力雅可雙矩陣的對(duì)偶性。

已知

對(duì)于給定的關(guān)節(jié)位移q，映射矩陣J(q)是m×n

矩陣，其中，n

表示關(guān)節(jié)數(shù)，m

代表操作空間維數(shù)。J的值域空間R(J)表示關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)能夠產(chǎn)生的全部末端執(zhí)行器速度的集合，顯然值域空間R(J)不能等于整個(gè)操作空間(存在末端執(zhí)行器不能運(yùn)動(dòng)的方向)。當(dāng)J(q)退化時(shí)，機(jī)械臂處于奇異位形。J(q)的零空間

N(J)表示不產(chǎn)生末端執(zhí)行器速度的關(guān)節(jié)速度的集合，如果N(J)不只含有0，則對(duì)于給定的末端執(zhí)行器速度，關(guān)節(jié)速度的反解可能有無(wú)限多。

與瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)映射不同，靜力映射是從m

維操作空間向n維關(guān)節(jié)空間的映射。因此，關(guān)節(jié)力矩總是由末端操作力F唯一確定。然而，對(duì)于給定的關(guān)節(jié)力矩τ，與之平衡的末端操作力F并非一定存在。與瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)分析相似，我們用零空間

N(J)和值域空間R(JT)描述靜力映射。零空間

N(JT)代表零關(guān)節(jié)力矩能承受的末端操作力的集合。這時(shí)，末端操作力完全由機(jī)械臂機(jī)構(gòu)本身承受。值域空間

R(JT)代表末端操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)力矩的集合。

J

與力雅可比矩陣JT

的值域空間和零空間有密切的關(guān)系。根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)知識(shí)可知，零空間

N(J)是值域空間R(JT)在m維操作空間內(nèi)的正交補(bǔ)空間。這意味著，在不產(chǎn)生末端執(zhí)行器速度的這些關(guān)節(jié)速度方向上，關(guān)節(jié)力矩不能被末端操作力所平衡。為了使機(jī)械臂保持靜止不動(dòng)，在零空間

N(J)內(nèi)的關(guān)節(jié)力矩必須為零。

3.2基于牛頓

歐拉法的動(dòng)力學(xué)方程

牛頓

歐拉(Newton-Euler)方法建立在機(jī)械臂連桿之間所有力平衡關(guān)系的基礎(chǔ)上，將連桿之間的相互約束力及相對(duì)運(yùn)動(dòng)作為矢量進(jìn)行處理，根據(jù)力與力矩的平衡關(guān)系推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程式。對(duì)

于

由

此

得

出

的

方

程

組，其

結(jié)

構(gòu)

使

得

解

具

有

遞

推

形

式，前

向

遞

推(forwardrecursion)用于連桿速度和加速度傳遞，后向遞推(backwardrecursion)則用于力傳遞。

圖3-3牛頓

歐拉公式連桿運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

計(jì)算機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)遞推求解的具體過(guò)程如下(i=0，1，2，…，n)，令轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)變量為θ，移動(dòng)變量為d，則連桿的角速度為

連桿的角加速度為

連桿坐標(biāo)系(原點(diǎn))的線加速度為

連桿質(zhì)心