黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實驗中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

哈師大青岡實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年度高三期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1.已知集合，，則A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則A.B.C.D.3.已知角的終邊上一點(diǎn)，則A.1B.C.D.4.已知向量，，，若，則A.B.C.D.5.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，且，則的最小值為A.13B.C.16D.286.函數(shù)的大致圖象為A.B.C.D.7.已知數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，且，則A.3B.C.1D.8.記表示，二者中較大的一個，函數(shù)，，若，，使得成立，則的取值范圍是A.B.C.D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.設(shè)單位向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A.B.向量的夾角為C.D.在的方向上的投影向量為10.設(shè)為正實數(shù)，已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)時，函數(shù)的圖象的一條對稱軸為B.已知，，且的最小值為，則C.當(dāng)時,函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)存在三個不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時，，則t的最大值為2D.當(dāng)時，方程有且只有兩個實根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則.13.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為.14.若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是.15.（本題13分）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值時相應(yīng)的值；(2)討論在上的單調(diào)性.16.（本題15分）已知數(shù)列中.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前項和；17.（本題15分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為3的正方形，，，且，，面，，為中點(diǎn).(1)若是中點(diǎn)，求證：面；(2)求平面與平面夾角的正弦值.18.（本題17分）在中，角的對邊分別是，且.(1)求角；(2)已知為邊上一點(diǎn)，且，求的長.19.（本題17分）已知函數(shù)，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.(1)當(dāng)時，求出直線的方程；(2)若，討論的單調(diào)性，并求出的最值；(3)若直線與曲線相交于點(diǎn)，且，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：題號12345678910答案BDACBDDAACDBCD題號11答案BCD12.—13.14.參考解析：1．B【詳解】由題，得，故，進(jìn)而，故選：B2．D【詳解】若復(fù)數(shù)滿足，則.故選：D.3．A【詳解】由三角函數(shù)定義知，，所以.故選：A.4．B【詳解】因為，，又，所以，故.故選：B.5．B【詳解】函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，有，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為16.故選：B.6．D【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除A，且當(dāng)時，，故排除C，，當(dāng)時，，故排除D，滿足條件的只有B.故選：D7．D【詳解】則為常數(shù)，所以為常數(shù)，知數(shù)列為等差數(shù)列，由，知，又，所以公差，故.故選：D8．A【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即在區(qū)間上的值域為.，令，得，解得或，畫出，的圖象如圖所示，若，，使得成立，則需要在上的值域包含在上的值域，則，解得，即的取值范圍是.故選：A.9．ACD【詳解】由于，又因為，所以，故，故A正確，B錯誤；因為，故，又，故，所以，C正確；在的方向上的投影向量為，故D正確.故選：ACD10．BCD【詳解】A選項，當(dāng)時，函數(shù)的圖象的對稱軸為,即,不能取到,A錯誤；B選項，為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以，B正確；C選項，當(dāng)時,函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)，故C正確；D選項，∵，則，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，D正確；故選：BCD.11．BCD【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象得：對于A中，函數(shù)存在兩個不同的零點(diǎn)，所以A不正確；對于B中，函數(shù)既存在極大值又存在極小值，所以B正確；對于C中，當(dāng)時，，可得，所以t的最大值為，所以C正確；對于D中，若方程有且只有兩個實根，即與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，可得，所以D正確.故選：BCD.15．(1)，最大值為，(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【詳解】（1），所以的最小正周期，當(dāng)時，取最大值為，此時，，即，；-------------------------------6分（2）當(dāng)時，有，從而時，即時，單調(diào)遞增，時，即時，單調(diào)遞減，綜上所述，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.------------------------------13分16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，得，即，又，有，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.-------------------------------6分（2）由（1）得，則有，，，①-②得，，即.-------------------------------15分17．(1)證明過程見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因為是中點(diǎn)，為中中點(diǎn)，，所以，，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，所以平面；-------------------------------6分（2）因為面，平面，所以，又四邊形是邊長為3的正方形，⊥，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以四邊形為矩形，其中，，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，故平面與平面夾角的正弦值為.-------------------------------15分18．(1)(2)1【詳解】（1）由正弦定理可得：，，由可得：，，，可得：，，，.-------------------------------7分（2），與相似，滿足：，設(shè)，則有，解得：（舍去），即：，，在中，由余弦定理可得：，即：，解得：（舍去），的長為1.-------------------------------10分19．(1)(2)的最小值為，無最大值；(3)【詳解】（1）由，得，則，因為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即；-------------------------------3分（2），則，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，無最大值；-------------------------------7分（3）由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即，因為直線與曲線相交于點(diǎn)，且，所以關(guān)于的方程在有解，令，則，令，則，①當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上遞減，在上單調(diào)遞增，所以