2024-2025學(xué)年上海市復(fù)旦附中高三上期中考試數(shù)學(xué)試卷解析

復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試卷2024.11.12時(shí)間:120分鐘滿分:150分注：請(qǐng)將試題的解答全部寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.一、填空題(本大題共有12小題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.函數(shù)y=log22x?1【答案】x+1x6【答案】20已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足(1-3i)·z=|3+4i|,則復(fù)數(shù)的虛部為.【答案】已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積為.【答案】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2,方差是1,則的平均數(shù)是.【答案】5設(shè)斜率為3的直線是曲線的切線，則直線的方程為.【答案】若橢圓x2a2+【答案】若直線xa+yb=1??????????????????????????.????????3\???????????????????????經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，則直線在軸和【答案】在平面四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).若AB=2,CD=3,且EF?AB=4,則【答案】10.函數(shù)是定義在(-4,4)上的偶函數(shù),其圖像如左下圖所示,滿足設(shè).y'=f'x是的導(dǎo)函數(shù),則關(guān)于的不等式≥0的解集是.【答案】如右上圖，B地在A地的正東方向，相距4km；C地在B地的北偏東30°方向，相距2km，河流沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比它到B的距離遠(yuǎn)2km，現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算，從M到B地修建公路費(fèi)用是25萬(wàn)元/km，從M到C地修建公路的費(fèi)用為50萬(wàn)元/km.選擇合適的點(diǎn)M，可使修建的兩條公路總費(fèi)用最低，則總費(fèi)用最低是萬(wàn)元.【答案】125（可用雙曲線第二定義來(lái)解釋或者幾何方法均可以）12.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為6的正整數(shù)數(shù)列滿足a?=3,且a???≥a?1≤k≤5k∈N,若為不大于10的偶數(shù)，則符合條件的數(shù)列共有個(gè).【答案】5二、選擇題(本大題共有4小題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將正確選項(xiàng)用2B鉛筆涂黑.13.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與事件B的關(guān)系為()A.是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件B.是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件C.既是相互獨(dú)立事件又是互斥事件D.既不是互斥事件也不是相互獨(dú)立事件【答案】14.如圖，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，則對(duì)于翻折后的幾何圖形，下列結(jié)論不正確的是()A.AC⊥BDB.AB與平面BCD所成角為60°C.△ADC為等邊三角形D.二面角A-BC--D的平面角的正切值是2【答案】15.設(shè)集合P={-1,1},Q={},函數(shù)fx=a?+λa??①對(duì)任意λ∈P,存在a∈Q,使得y=f(x)是增函數(shù);②存在λ∈P,對(duì)任意a∈Q,y=f(x)是減函數(shù);⑧對(duì)任意λ∈P,存在a∈Q,使得y=f(x)是奇函數(shù);④存在λ∈P,對(duì)任意a∈Q,y=f(x)是偶函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)是()1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】16.已知M={xy|y=tx2+A.d=3,S<1B.d=3,S>1C.d=10,S<1【答案】三、解答題(本大題共5題，滿分78分)解答下列各題須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)在等差數(shù)列中，已知a?+a?=10(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{a?+b?}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由a1+aa所以an=4+2(n?1)=2nb所以S18.(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分)如圖，在三棱錐D?ABC中，∠DAC=∠BAC=60°,AC=1,AB=2,AD=3,(1)求AC?BD(2)判斷點(diǎn)D在平面ABC上的射影是否可能在直線BC上，給出你的結(jié)論并加以證明.【解析】(1)異面直線AC與BD所成角為θ,ACAC∵AC?BD=|AC|?|BD|cos?θ,AC=1,

∴cos?(2)不可能.證明：假設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的射影在BC上,則平面ABC⊥平面DBC,平面ABC∩平面DBC=BC,AC⊥從而有AC?BD=0,這與AC?BD=119.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車(chē)道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車(chē)道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車(chē)，在里側(cè)車(chē)道，其車(chē)體水平截面圖為矩形ABCD，它的寬AD為2.4米，車(chē)廂的左側(cè)直線CD與雙車(chē)道的分界線相交于E、F，記∠DAE=θ.(1)若大卡車(chē)在轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好θ=π(2)為保證行車(chē)安全，在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎時(shí)，車(chē)體不能越過(guò)雙車(chē)道分界線.求此大卡車(chē)的車(chē)長(zhǎng)AB的最大值.【解析】(1)如圖所示,作EM⊥OM,垂足為M,作FN⊥ON,垂足為N,

因?yàn)椤螪AE=π6,所以∠在Rt△BCF中,在Rt△OME中,OE=4cos?所以CD=OE+OF?ED?CF=833+8?435?1235=8?8315米.

(2)因?yàn)椤螪AE=θ,所以O(shè)E=4cos?θ,OF=4sin?θ,ED=2.4tan?θ,CF=2.4tan?θ,

所以AB=CD=OE+OF?ED?CF=4cos?θ+4sin?20.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AxA(1)若|AF|=4,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)已知T(t，0)是x軸上的點(diǎn)，若線段AT的最小值為4，求實(shí)數(shù)t的值；(3)如圖,已知yA=2,點(diǎn)M、N在拋物線C上，滿足AM⊥AN,作【解析】由拋物線的性質(zhì)可知，。A到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線的距離所以，帶入拋物線y2=4x，(3)設(shè)Mx又AM⊥∴x1?1x2Δ=16則x代入(1)式得:n當(dāng)n=1?2t時(shí),lMN:x=t(y?2∴直線MN過(guò)定點(diǎn)B(5,?2),

又AD⊥MN,故D在以AB為直徑的圓上,

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)已知定義域均為D的函數(shù)y=fx,y=