第六章　立體幾何與空間向量 第二節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

立體幾何與空間向量第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1．(2024·濰坊模擬)下列四個命題中的真命題是()A．如果一條直線與另兩條直線都相交，那么這三條直線必共面B．如果三條直線兩兩相交，那么它們能確定一個平面C．如果三條直線相互平行，那么這三條直線在同一個平面上D．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個平面2．已知兩條不同的直線a，b及兩個不同的平面α，β，下列說法正確的是()A．若α∥β，a?α，b?β，則a∥bB．若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線C．若α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面D．若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交3．(多選題)(2024·廣州模擬)下列命題正確的是()A．如果一條直線上的兩點到一個平面的距離相等，那么這條直線與這個平面平行B．兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段長度相等C．如果一個平面內(nèi)一個銳角的兩邊分別平行于另一個平面內(nèi)一個角的兩邊，那么這兩個平面平行D．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直4．(多選題)如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列命題中，正確的為()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．異面直線PM與BD所成的角為45?5．若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，高為6，則直線AE1與EF所成角的大小為()A．π6 B．C．π3 D．6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點，∠CGB＝70?，則∠ED1F＝________.7．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．8．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是________.9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝π2，AB(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．高考模擬10．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M11．(多選題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則以下四個結(jié)論中，正確的有()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線BN與MB1是異面直線C．AM與BN平行D．直線A1M與BN共面12．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，若直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成的角為π6，則異面直線A1B與ACA．12 B．C．22 D．13．(2024·唐山模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，過點D1，E，F(xiàn)作該正方體的截面，則截面的形狀為____________，周長為________.14．已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．答案解析1、D解析：當(dāng)三條直線交于同一點時，三條直線可能不共面，故A，B錯誤；當(dāng)三條直線相互平行時，三條直線可能不共面，故C錯誤；如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個平面，故D正確．2、C解析：若α∥β，a?α，b?β，則直線a，b沒有交點，故a與b平行或異面，故A，B錯誤，C正確；若α∩β＝b，a?α，當(dāng)a∥b時，a與β平行，故D錯誤．3、BC解析：如果一條直線上兩點到一個平面的距離相等，那么這條直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面相交，故A錯誤；兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段長度相等，故B正確；如果一個平面內(nèi)一個銳角的兩邊，分別平行于另一個平面內(nèi)一個角的兩邊，由平面與平面平行的判定定理可知，這兩個平面平行，故C正確；如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，當(dāng)這無數(shù)條直線均平行時，不能得出直線與這個平面垂直，故D錯誤．4、ABD解析：因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN.因為MN?平面ACD，PQ?平面ACD，PN?平面ABD，QM?平面ABD，所以PQ∥平面ACD，QM∥平面ABD.因為PQ?平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC.同理可得QM∥BD.由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正確．由PQ∥AC，PQ?平面PQMN，AC?平面PQMN，得AC∥截面PQMN，故B正確．因為BD∥PN，PQ∥AC，所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD.而AN≠異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即∠PMQ＝45?，故D正確．5、C解析：如圖，連接AF1，AE1，AE.易知EF∥E1F1，所以直線AE1與EF所成的角為∠AE1F1(或其補角)．由題意知，在△AFE中，AF＝EF＝1，∠AFE＝2π3所以AE2＝AF2＋EF2－2AF·EF·cos∠AFE＝3.又FF1＝EE1＝6，所以AE12＝AE所以AF12＝AF2+在△AF1E1中，cos∠AE1F1＝AE12+E1FS412即直線AE1與EF所成角的大小為π36、70?解析：依題意，EC∥D1G且EC＝D1G，所以四邊形ECGD1為平行四邊形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F.又因為兩角的兩邊方向相同，所以∠ED1F＝∠CGB＝70?.7、3解析：畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3對．8、相交、平行或異面解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時a和c異面．9、解：(1)由題意知PA為三棱錐P-ABC的高．因為∠BAC＝π2，AB所以S△ABC＝12三棱錐P-ABC的體積V＝13S△ABC·PA＝1(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．因為∠BAC＝π2，所以BC＝AB2+AC2＝4.因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝AB2+PA在△ADE中，DE＝12BC所以cos∠ADE＝AD2+DE故異面直線BC與AD所成角的余弦值為3410、D解析：因為AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.因為α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)基本事實3可知，點M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．所以γ與β的交線必經(jīng)過點C和點M.11、BD解析：A選項，因為A，M，C，C1四點不共面，所以根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線，故A錯誤．B選項，因為B，N，M，B1四點不共面，所以根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線，故B正確．C選項，如圖，取DD1的中點E，連接AE，EN，則有AB∥EN，AB＝EN，所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE∥BN.因為AM與AE交于點A，所以AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故C錯誤．D選項，如圖，連接MN，BA1，CD1.因為M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，所以MN∥D1C.由正方體的性質(zhì)可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，所以A1，B，M，N四點共面，所以直線A1M與BN共面，故D正確．12、D解析：如圖，取A1C1的中點H，連接B1H.根據(jù)題意易得B1H⊥側(cè)面AA1C1C，所以直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成的角為∠B1AH＝π6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1B1C1＝∠ABC＝π2，A1B1＝AB＝2，B1C1＝BC所以A1C1＝22，又A1B1＝2，所以A1A＝B1A2－A又BC＝2，所以BC1＝22，易知A1C1＝22，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠BA1C1＝π3因為AC∥A1C1，所以異面直線A1B與AC所成的角為∠BA1C1＝π3所以異面直線A1B與AC所成的角的正弦值為3213、五邊形213+2解析：如圖，連接EF并延長交DC的延長線于點N，連接D1N交CC1于點延長FE交DA的延長線于點M，連接D1M交AA1于點P，順次連接D1，Q，F(xiàn)，E，P，則五邊形D1QFEP即為平面D1EF截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面多邊形．由題意，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則AE＝1，∠AEM＝∠BEF＝45?，所以△AME為等腰直角三角形，則AM＝1.根據(jù)△AMP∽△A1D1P，得APA則A1P＝43所以D1P＝22+432同理可得D1Q＝2133，F(xiàn)Q＝所以五邊形D1QFEP的周長為2×21314、證明：(1)如圖，連接B1D1.由題意知EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.因為Q∈EF，所以Q