20個(gè)專題+100道壓軸題及解析

20個(gè)專題+100道壓軸題及解析

目錄

1.二次函數(shù)典型題...................................................2

2.復(fù)合函數(shù)典型題..................................................4

3.創(chuàng)新型函數(shù).......................................................6

4.抽象函數(shù)典型題..................................................11

6.函數(shù)的應(yīng)用典型題...............................................21

7.函數(shù)與數(shù)列綜合典型題...........................................23

8.數(shù)列的概念與性質(zhì)典型題.........................................34

9.Sn與an的關(guān)系典型題...........................................40

10.創(chuàng)新型數(shù)列....................................................43

11.數(shù)列一不等式..................................................45

12.數(shù)列與解析幾何................................................48

14.雙曲線典型題..................................................54

15.拋物線典型題..................................................57

16.解析幾何中的參數(shù)范圍問題.....................................59

17.解析幾何中的最值問題..........................................66

18.解析幾何中的定值問題..........................................69

19.解析幾何與向量典型題..........................................72

20.探索問題.......................................................80

22.100道壓軸題詳解......................................125-210頁(yè)

1.二次函數(shù)

1.對(duì)于函數(shù)/0)=加+3+1)%+0-2(awO),若存在實(shí)數(shù)尤0,使/(/)=%成立,則

稱小為的不動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)。=2,》=-2時(shí)，求/(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)于任何實(shí)數(shù)口函數(shù)八幻恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍；

(3)在⑵的條件下，若y=/a)的圖象上45兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)/(%)的不動(dòng)

點(diǎn)，且直線>="+看是線段"的垂直平分線，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

分析:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、直線等基礎(chǔ)知識(shí)，及綜合分析問題的能力，

函數(shù)與方程思想

解：/(x)=ax2+(h+V)x+b—2(a，0),

(1)當(dāng)。=2,》=-2時(shí)，/(X)=2X2-X-4.

設(shè)了為其不動(dòng)點(diǎn)，即2/-x-4=x,則2X2—2XY=0.所以可=-1,/=2,即的不

動(dòng)點(diǎn)是T2.

(2)由/(%)=工得加+hx+)-2=0.

由已知，此方程有相異二實(shí)根，所以&=/_4吐2)>0,即十一①+&>0對(duì)任意

恒成立.

<0,「.16〃—32。<0,「.()v。<2.

(3)設(shè)A(X,，X),B(W，M),直線y=b+五匕是線段AB的垂直平分線，.?.4=-1.

記AB的中點(diǎn)MA，/),由⑵知/=-丁.ax2+bx+b-2=Q,:.x+x=-一

2al2a

M人y=k,x-\---1--卜L,..--b-.b.1-l--

12a2+\2a2a2a2、+-\

/一a一1、1一枝后

化簡(jiǎn)得：以一五彳1=一力2一1廣=彳，當(dāng)”4時(shí)，等號(hào)成立.

4口TZ./Z6Z?-2

2

gp6--,+00

44J

例2已知函數(shù)/(%)=奴?+4x-2,若對(duì)任意多,”R且x產(chǎn)乙,都有

/內(nèi)+犬2)<〃西)+/(々)

I2)2

(I)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(II)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)。，有一個(gè)最小的負(fù)數(shù)"(a),使得x?M(a),0]時(shí)，

TW/(x)W4都成立，則當(dāng)。為何值時(shí)，/⑷最小，并求出“⑷的最小值.

([)??/x+x2)/(玉)+/(*2)+b%+c+ax2+/?%2+c

X

=~-(Xl-2)'<0,

???x尸馬,，。>0.，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(。，”).

(II)Vf^=cvc2+4x-2=a(x+^\-2--,顯然/(o)=-2,對(duì)稱軸x=-2<o。

\aJa。

(1)當(dāng)_2_/<-4,即()<av2時(shí)，M(6?),且/[M(叫=-4.

令江+4x-2=-4,解得x=—2±6^,

a

此時(shí)火。)取較大的根，即M(a)=±H巨=.「：.,V0<?<2,

a。4-2。+2

-2—>-1

')2*

(2)當(dāng)-2-3-4,即a22時(shí)，且/[M(a)]=4.

令江+4X_2=4,解得x=-2±V^,此時(shí)〃⑷取較小的根，即

a

知⑷=-2一^^-6

,4+6〃+2，

V?>2,?,.?.)=j4+：_2—當(dāng)且僅當(dāng)。=2時(shí)，取等號(hào).

3

V-3<-l,.?.當(dāng)"2時(shí)，"(a)取得最小值一3.

2復(fù)合函數(shù)

1.已知函數(shù)“X)滿足"log〃x)=其中"0,且"1。

2

(1)對(duì)于函數(shù)/(%),當(dāng)XG(T1)時(shí)，/(l-,W)+/(l-m)<0,求實(shí)數(shù)m的取值范

圍；

(2)當(dāng)XG(Y°，2)時(shí)，〃%)-4的取值范圍恰為(YO,0),求a的取值范圍。

解：/(logx)=^--(x-x_1)(a>0^a*l)

uCl—1

設(shè)r=log“x,則x="，=-a")：.f(x)=^-(ax-a-x)

a-1a-1

當(dāng)ae(0,l)時(shí)，-A-<0,J「T/.V=/⑴在其定義域上T

a—1

當(dāng)aG(l,+s)時(shí)，-A->0,優(yōu)3a-7/.y=/(x)在其定義域上T

a—1

V"0且"1,都有y=/(x)為其定義域上的增函數(shù)

又=-優(yōu))=-/(x)為奇函數(shù)

a—1

(1)當(dāng)xw(—U)時(shí),f(l-m)+f(l-m2)<0：./(I-m)<-/(I-m2)-f(m2-1)

<-l<m2-l<l=>l<m<V2

l-m<m2-1

(2)當(dāng)Xe(-00,2)時(shí)，???F(x)=/(%)-4在(-00,2)上T,且值域?yàn)?-8,0)

尸(2)=/(2)-4=0

/,儲(chǔ)—y)=4——=44+1=4〃a=2±V3

292

a--1a-a-1a

例2.函數(shù)f(x)是尸高-1(XGR)的反函數(shù)，g(x)的圖象與函數(shù)產(chǎn)片的

1U+1X—I

圖象關(guān)于直線y=x-i成軸對(duì)稱圖形，記尸(x)=/(x)+g(%)。

(1)求尸(6的解析式及其定義域；(2)試問廠(%)的圖象上是否存在兩個(gè)不

4

同的點(diǎn)A、B,使直線AB恰好與)，軸垂直？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若

不存在，說明理由。

解.(1)y=———110'+1=-^-10'=3x=lg4，

師，'—>]0，+]>+11h+y

/(x)=lg—^(-Kx<l)

1+x

???g(x)的圖象與>=寧的圖象關(guān)于直線y=成軸對(duì)稱圖形

g(x)+i的圖象與八七千+1==的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

X—IX—1

a_9r

即：g(x)+l是"——^的反函數(shù)xy-y=3-2x

X-I

/、1x+3I

(y+2)x=y+3g⑴g(j)=

y+2x+2

1-Y1

F(x)=/(x)+g(x)=lg-——+——-(-1<X<1)

1+xx+2

(2)假設(shè)在A?的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A、B使得加口軸，即去eR使得

方程怛：￡+:7=，有兩不等實(shí)根

-

1"I人人I乙

設(shè)"F=-i+三，則，在(一1，1)上,且‘>。

1IXXIL

???尤=匕，L=T?,*丸eR使得方程lgr+^=c有兩不等正根

XII.A/ILIIIJ

Z4~12

\gt=c--------=(c-l)+-------

r+3f+3

…2

設(shè)〃(r)=lg(/),/Q)=(c-l)+y^

9

由函數(shù)圖象可知：Vee/?,方程lgf=(c-l)+不僅有唯一正根二.不存在點(diǎn)A、

B符合題意。

3.設(shè)aeR且"0'e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(X)=ex-x-\,g(x)=^x2ex.

(1)求證:當(dāng)時(shí)，。他8(%)對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)X恒成立;

5

(2)對(duì)于(0,1)內(nèi)的任意常數(shù)a,是否存在與a有關(guān)的正常數(shù)與,使

得/?)>g(x。)成立？如果存在，求出一個(gè)符合條件的與；否則說明理由.

分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.分類討論、化歸(轉(zhuǎn)化)思想方法

解：(1)當(dāng)。0時(shí),/(%)?8(>)01《京2+與'令心)=。2+二1=力，(幻=了(“一_L)

-2e,2ee

v?>l,x>0h'(x)>O,=>〃(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

〃(x)>〃(O)=1=>f(x)<g(x)

1<0

(2)/Uo)>g(xo)=>y%o+^V^-(1),

乙e

需求一個(gè)飛,使(1)成立，只要求出心)=獷+燮-1的最小值，滿足心濡<。,

???，(%)=%(。一上)在(0,-lnQ)上|

ex

(—lna,+8)JL|,，(尤)mE=，(—Ina)=耳In~。+。(―In。+1)—1

只需證明■|1112。+。(111。+1)-1<0在。6(0,1)內(nèi)成立即可，

令0(a)=^ln2a+a(-lna+l)-l=>(p\d)=g(ln2a)>On(p(a)

為增函數(shù)=>9(。)<夕⑴=0。+〃(一Ina+1)-1<0,

??.Q(x))min<。，故存在與a有關(guān)的正常數(shù)x°=Tna(O<a<l)使⑴成立。

3.創(chuàng)新型函數(shù)

1.在R上定義運(yùn)算軟23夕=-：(。-。(4-》)+4加(13、。為實(shí)常數(shù))。記工(%)=/2-2°,

力(％)=%-?,令/(%)=/(%)位4(%).

(I)如果函數(shù)"0在力=1處有極值試確定b、C的值；

(II)求曲線上斜率為C的切線與該曲線的公共點(diǎn)；

(III)記g(x)=|/(x)|(-IKXWI)的最大值為”.若M2%對(duì)任意的b、C恒成立，

6

試示k的最大值。

2322

解：*?*/(x)=f](x)0(x)=-^(x—3c)(x-3Z?)+4Z?c=-^-x+bx-\-cx+bc/./'(x)=—x+2/zx+c

(i)由/(X)在處有極值q,可得

[r⑴=-i+2b+c=orr

/⑴，+…」，解得二閾二3

Iv733i

若力=l，c=-l,則/3=-胃+2x-l=-(x-l)Y0,此時(shí)〃x)沒有極值;

若人=—1,c=3,貝ljr(x)=-f-2x+3=-(x-l)(x+3)o

當(dāng)》變化時(shí)，"H、/'a)的變化情況如下表：

XS-3)-3(-3,1)1(L+oo)

/'(X)—0+0—

單調(diào)遞極小值單調(diào)遞極大值

/(■X)

_4單調(diào)遞減

減-12增-3

??.當(dāng)x=l是，”力有極大值4,故匕=-1，c=3即為所求。

(II)設(shè)曲線y=/(x)在4=￡處的切線的斜率為C,

222

,/f'(x)=-x+2bx+c,-t+2bt+c=c,t-2bt=Q0解得，=?；颍?2力。

若"0,則/(。)=從，得切點(diǎn)為(。,秘)，切線方程為V=M+反；

若f=2b,則/(2匕)=產(chǎn)+3兒，得切點(diǎn)為(2"y+3從j,切線方程為y=cx+bc+>3。

—x3+hx2+cx+bc=cx+hcox3-3bx2=0解得％=%2=0,x=3b,

若-33

則此時(shí)切線y=cx+A與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)為(o,bc),(36,4)c)；

(2)若-^x3+bx2+cx+bc-cx+hc+^b3=x3—3bx2+4b3=0,

解得玉=工2=?,鼻=-6,此時(shí)切線y=cx+A+g/與曲線y=/(》的公共點(diǎn)為

(2"[人3+3bc),卜包齊)。

綜合可知，當(dāng)。=。時(shí),斜率為C的切線與曲線y=〃x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(。，。)；

7

當(dāng)。H。，斜率為C的切線與曲線尸〃x)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，分別為(。氏)和

(344歷)或(2若工，+3可，,包齊)。

(Hi)g(x)=|r(x)|=--片+〃+c

⑴當(dāng)網(wǎng)>1時(shí),函數(shù)y=/'(x)的對(duì)稱軸X=b位于區(qū)間T1]外，f(x)在上的最

值在兩端點(diǎn)處取得，故知應(yīng)是g(T)和g⑴中較大的一個(gè)。

2M><g(l)+^(-l)=|-l+2Z?+c|+|-l-2Z?+c|>|4^|>4,即：.M>2

⑵當(dāng)網(wǎng)41時(shí),函數(shù)y=/'(x)得對(duì)稱軸X=b位于區(qū)間TH之內(nèi)

此時(shí)M=max{g(—l),g6,gS)}

由r⑴-八-1)=劭,前Q)-r(±i)=smi)2>0

若-1W"W0,則P⑴<f(-l)<P(b),g(-l)<max{g(-1),g(b)}

于是M=max{|r(-i)|,，s)|}z；(|/3|+|r3)|"g(|/F)iTrs)|)=gs-i)2

若04/41,則￡(-l)4￡a)WfQ>L,/.g(1)<max{^(-l),g(b))

于是M=max{|r(-ws)|}弓(/(-1)|+/s)|)(帥=gs+ly>；

綜上，對(duì)任意的b、c都有MN；

而當(dāng)，匕=0，c=g時(shí)，g(無)=-Y+；在區(qū)間[―1,1]上的最大值”=；

故MNK對(duì)任意的b,C恒成立的k的最大值為go

1

例2.設(shè)函數(shù)/(》)=一]:晝了-(x>。),其中㈤表示不超過》的最大整數(shù)，如

口+㈤+[”

[2]=2,[1]=0,[1.8]=1,

(I)求嗎)的值;

(II)若在區(qū)間23)上存在X,使得k成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(III)求函數(shù)/⑴的值域.

8

32

-+-

13

解：(1)因?yàn)榍?1舟=。,所以吟=23

3232

乙3乙[-]?[-]+[-]+[-]+112

2323

(II)因?yàn)?x<3,所以㈤=2,4=0,

則/(x)=*+g).求導(dǎo)得廣@)=；。-5),當(dāng)2。<3時(shí)，顯然有((x)>0,

所以/⑴在區(qū)間12,3)上遞增，即可得小)在區(qū)間[2,3)上的值域?yàn)樗鼘W(xué),

在區(qū)間⑵3)上存在X,使得〃x)必成立,所以

(III)由于小)的表達(dá)式關(guān)于x與:對(duì)稱,且X>0,不妨設(shè)X>1.

當(dāng)x=l時(shí)，5=1,則”1)=3;當(dāng)x>l時(shí)，設(shè)x=n+a,neN*,0<?<l.

n+a+

則[x]=n,[]=o,所以f^=f(n+a)=n+a.

設(shè)g(x)=x+J,g(x)=l-p->0,

g(x)在[1,+8)上是增函數(shù),又〃v〃+a<”+l,.?.〃+：4"+a+/^<”+l+￡,

1

n+—〃+1?H----1--、

當(dāng)XW2時(shí),/(X)G--------3?=/?(neN*,w>2

n+\n+\'

當(dāng)xe(l,2)時(shí)，/(x)e(l,$=《故xeQ+oo)時(shí)，/⑴的值域?yàn)镠UIZU-UInU—

.i

b?=--------^±l=i+-則/“=&，N).

n—2

n〃(〃+l)(〃+2)，.,?當(dāng)n>2時(shí)，a2=a3<a4<???<an<…

又bn單調(diào)遞減，b2>b3>->bn>-a2,b2)=12Ml3M14MInM

L=[q，瓦)=1,I2=[a2,b2)=I，

...IlUI2U-UInU-=IlUI2=,弓]，=

綜上所述,小)的值域?yàn)樨Σ?!

例3.我們用minki，和max、.,…,s”｝分別表示實(shí)數(shù)si，…,L中的最小

者和最大者.

(1)設(shè)/(x)=min{sinx,8sx},g(x)=max{sinx,cosx},xe[0,2萬],函數(shù)/(幻的值域?yàn)?/p>

9

A,函數(shù)g*)的值域?yàn)锽,求AC8；

(2)提出下面的問題：設(shè)外,%,…，%為實(shí)數(shù)，KWR,求函數(shù)

/(%)=?1\x-xy\+a1\x-x2\+---+an\x-xn\

(為<々<-.<七,€/?)的最小值或最大值.為了方便探究，遵循從特殊到一般

的原則，先解決兩個(gè)特例：求函數(shù)f(x)=\x+2\+3\x+l\-\x-U和

g(x)=|x+l|~4|x-l|+2|x-2|的最值。得出的結(jié)論是：［/(x)］min=min(r(-2),/(-l),/(l)},

且/(x)無最大值；［g(x)lw=maxk(-l),g⑴,g⑵},且g(x)無最小值.請(qǐng)選擇兩個(gè)學(xué)

生得出的結(jié)論中的一個(gè)，說明其成立的理由；

(3)試對(duì)老師提出的問題進(jìn)行研究，寫出你所得到的結(jié)論并加以證明(如

果結(jié)論是分類的，請(qǐng)選擇一種情況加以證明).

解：(1)A=-1，與，B=一爭(zhēng)，.?.AQB=一冬日.

(2)若選擇學(xué)生甲的結(jié)論，則說明如下，

-3x-6,xW-2

—x—2—2<Yv—1

〃幻=，于是/⑶在區(qū)間(-8,-2］上是減函數(shù)，在［-2,-1］上是

DA+4,1<X-：1

3x+6,x>1

減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在口，+8)上是增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值是

min{/(-2),/(-1),/(1)},且函數(shù)/⑴沒有最大值.

若選擇學(xué)生乙的結(jié)論，則說明如下，

x—1,—1

g⑺」‘于是在區(qū)間(一夕t上是增函數(shù),在Tn上是

一5x+9,l<xW2

-x+1,x>2

增函數(shù)，在口⑵上是減函數(shù)，在2+8)上是減函數(shù).所以函數(shù)g(x)的最大值是

max{g(-l),g⑴,g(2)},且函數(shù)g(x)沒有最

小值.

10

(3)結(jié)論：

若q+/+???+%>。，貝！)"(xXLin=min{/(Xi)J(%2),…J?)}；

若q+a2+---+a?>0,則"(%)小=max),/(x2),???,/(x?)}；

若q+%+…+a“=0,則"(Xin=min{/(X1)J(X2),--J(x“)},

"⑼一=max{/(X),A/),???,/(%)}

以第一個(gè)結(jié)論為例證明如下：

■:q+w+…>0,:.當(dāng)xe(-8,x/時(shí)，

/(幻=一(弓+a2+…+a“)x+(qX]+a2x2+…+a“x”)，是減函數(shù)，

當(dāng)xe[x“,+oo)時(shí)，f(x)=(ai+a2+--+an)x-(alxi+a2x2+---+a?xn),是增函數(shù)

當(dāng)時(shí),函數(shù)/(X)的圖像是以點(diǎn)(XJ(XJ),(%"a))，…，(ZJ(Z))為端點(diǎn)

的一系列互相連接的折線所組成，

所以有"(x)]min=min{/,(%)),/(x2),???,/(%?)}.

4.抽象函數(shù)

1.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，對(duì)任意XI、

X2E[0,；]，都有f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),且f(l)=a>0.

⑴求f(；)、包:)；(2)證明￡6)是周期函數(shù)；(3)記2吁乳11+1),求無。叫).

解：⑴因?yàn)閷?duì)xl,x2E[0,”，都有f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),所以

f(x)=/(^+^)=/(^)^0,xe[0,1]

又因?yàn)閒(l)=f(；+；)=f(；)f(l)=f(il)=f(l)?f())二

44444L*■+*T*T*■

Lf(!)]2

又f(l)=a>0.*.f(|)=ai,f(；)=a：

證明：⑵依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故f(x)=f(l+l—x),即

f(x)=f(2—x),x￡R.

11

又由f(x)是偶函數(shù)知f(―x)=f(x),xeRAf(-X)=f(2—x),xeR.

將上式中一x以x代換得f(x)=f(x+2),這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且

2是它的一個(gè)周期.

解：⑶由⑴知f(x)20,x￡[0,1]

Vf(1)=f(n?；)=f(；+(n—1)(；)?f((n—1)?；)

22n2n2n2n2n

........=f(；)?f(；)f(；)二[f(y-)]=ai,.??f(；)=a].

2n2n...2n2〃2n

又??丫6)的一個(gè)周期是2

.??￡(211+；)=￡(4),因止匕an=a五，/?lim(ln??)=lim(7^_ln^)=0-

2n2n“一>8/I—>002n

例2.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,總有/(加+/=/(㈤/㈤,

且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<lo

(1)判斷f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)

B=((x,y)\f(ax-y+42)=laeR),若AuB為空集,試確定a的取值范圍。

解：(1)在=㈤中，令加=1,間=o,得/(1)=/(1)〃0),因?yàn)榘?)。0,

所以40)=1。

在/(冽+%)=」(?-/(%)中,令加=x,n=-x

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),0</(%)<1,所以當(dāng)x<0時(shí)-x>0,

而/―,所以〃加看>1>0

又當(dāng)X=0時(shí)，/(0)=1>0,所以，綜上可知，對(duì)于任意XCR,均有1/(x)>0。

設(shè)一8<勺<心<+00,貝1」心一芥1>0，0</(小_$)<1

所以〃心)=加1+(M一()]=/(X1)-/(x2-X1)</(X1)

所以丁=/。)在R上為減函數(shù)。

(2)由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù),所以〃馬加2)=a2+外>加)

即有又fQx-y+貶)=1=/⑼,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有數(shù)-行也=0

12

由AuB=°,所以直線ax-1y+也=0與圓面x2+j?<1無公共點(diǎn)。因此有

解得-14a41。

5.導(dǎo)函數(shù)一一不等式

1.已知函數(shù)./Xx)=e*-6，xeR

(I)若ge,試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)若左>0,且對(duì)于任意xeR,/(W)>。恒成立，試確定實(shí)數(shù)*的取值范圍;

(III)設(shè)函數(shù)尸(幻=/(幻+/(-X),求證：F(1)F(2)F(n)>(en+l+2)2(neN*)-

分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考

查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)

思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。

解：(I)由％=6得/(》)=^-秋，所以r(x)=e，-e.

由小龍)>0得x>\,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+8),

由尸(幻<0得X<1,故/3的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,1).

(II)由/(H)=/(W)可知/(N)是偶函數(shù).

于是/(IXA對(duì)任意XGR成立等價(jià)于/(幻>。對(duì)任意Q0成立.由

/'(x)=e'_%=0得x=lnk.

①當(dāng)0(0,1］時(shí)，r(x)=e'—左>1-心0(x>0).此時(shí)/(x)在。+8)上單調(diào)遞增.

故f(x)N/(0)=l>0,符合題意.

②當(dāng)履(1,+8)時(shí)，ln%〉().當(dāng)了變化時(shí)廣⑴，/(幻的變化情況如下表：

X（O,lnQInk（In匕+8）

/'(X)—0+

/(X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

13

由此可得，在[。，+8)上，f(x)^f(\nk)=k-k\nk.

依題意，左-左如左>0,又左>l,.i<Ae<.綜合①，②得，實(shí)數(shù)攵的取值范圍是0<攵<e.

(Ill)F(x)=f(x)+f(-x)=e'+/,

X+Xr+xA,+X2

?1?F(xi)F(x2)=QI2+6一但+*2)+e再一處+已一司"2>e-i2+e-(^+^2)4.2>e+2,

.?.F(l)F(/i)>en+1+2,

F(2)F(?-l)>e,,+l+2

F(?)F(l)>e,,+'+2.

由此得,[F(1)F(2)尸(明2=[F(1)產(chǎn)(0[尸⑵尸[F(n)F(l)]>(en+1+2)n

故尸⑴尸⑵F(n)>(efl+1+2)2,neN,?

/20

2.設(shè)./1(>)=§,對(duì)任意實(shí)數(shù)，，記g,(x)=#x-

(I)求函數(shù)y=/(x)-g8(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)求證:(i)當(dāng)x>o時(shí)，f(x)>gt(x)

對(duì)任意正實(shí)數(shù)，成立；

(ii)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)不，使得&5)2&(/)對(duì)于任意正實(shí)數(shù)「成立。

分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知

識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.分類討論、化歸(轉(zhuǎn)化)

思想方法

(I)解：J=y-4x+y.

由丁'=父-4=0,得％=±2.因?yàn)楫?dāng)xe(-oo,-2)時(shí)，/>0,

當(dāng)xe(—2,2)時(shí)，/<0,當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，/>0,

故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-，-2),(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2).

(II)證明：(i)方法一：

人工3232t-i?2

h(x)^f(x)-gl(x)=--tx+-t(x>0),則/(幻=/_八，

14

當(dāng)，>0時(shí)，由〃'(x)=0,得x=j,當(dāng)xe(x；+8)時(shí)，〃'。)>。，

所以〃3在(0，+8)內(nèi)的最小值是/)=().故當(dāng)x>0時(shí)，/(x)2g,(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)

，成立.

方法二：

、229-1-

對(duì)任意固定的x>0,令恤)=&(犬)=戶》-,">0),則/⑺=丁(-為，

由“Q)=0,得/=/.當(dāng)0々<丁時(shí)，"⑺>0；當(dāng)時(shí)，“《)<0,

所以當(dāng)好/時(shí)，〃⑺取得最大值力，)=#.因此當(dāng)x>0時(shí)，/(x)》g(x)對(duì)任意正

實(shí)數(shù)》成立.

(ii)方法一：

/(2)=|=g,(2).由⑴得，獲2)》當(dāng)⑵對(duì)任意正實(shí)數(shù)f成立.

即存在正實(shí)數(shù)%=2,使得心⑵三以⑵對(duì)任意正實(shí)數(shù)r成立.

下面證明天的唯一性：

當(dāng)"2,%>0,f=8時(shí)，/(%)=，，g,(%)=4xo-與，

由⑴得，￥>4/當(dāng)，再取r=x°3,得g,35)=子，

所以&(/)=4f-與<卑=8媼(/)，即"2時(shí)，不滿足g.r(Xo)Ng,(Xo)對(duì)任意/>。都成

立.

故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)與=2,使得心(%)0，&(%)對(duì)任意正實(shí)數(shù)/成立.

方法二：對(duì)任意與>0,8式/)=4%-4，

因?yàn)間，(x°)關(guān)于，的最大值是1。3,所以要使&(%)三.(%。)對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充

分必要條件是：

4x(j,即(X0-2)2(%+4)W0,①

又因?yàn)樾　?。，不等式①成立的充分必要條件是%=2,所以有且僅有一個(gè)正實(shí)

15

數(shù)玉=2,

使得g,5)，￡5)對(duì)任意正實(shí)數(shù),成立.

3.定義函數(shù)fn(x)=(l+x)n—1,x>—2,n￡N*

(1)求證：fn(x)2nx；

(2)是否存在區(qū)間[a,0](a<0),使函數(shù)h(x)=f3(x)—f2(x)

在區(qū)間[a,0]上的值域?yàn)閇ka,0]?若存在，求出最小實(shí)數(shù)k的值及相應(yīng)的區(qū)

間[a,0],若不存在，說明理由.

分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知

識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.分類討論、數(shù)形結(jié)合思

想方法

解：⑴證明：fn(x)—nx=(l+x)n—1—nx,

令8(x)=(l+x)n—1—nx,則g'(x)=n[(l+x)n—1—1].

當(dāng)x6(—2,0)時(shí)，g(x)V0,當(dāng)x￡(0,+°°)時(shí)，g(x)>0,

Ag(x)在x=0處取得極小值g(0)=0,同時(shí)g(x)是單峰函數(shù)，

則g(0)也是最小值..??g(x)20,即fn(x)2nx(當(dāng)且僅當(dāng)x=0

時(shí)取等號(hào)).

注：亦可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(2)Vh(x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2:.h'(x)=(l+x)2+x,2(1

+x)=(1+x)(l+3x)

1

令h'(x)=0,得x=-1或x=—

A1

當(dāng)

z當(dāng)

Xe/-2IXel

k?X—

z—1,一§)時(shí),

h'(x)<0；

16

x

當(dāng)x￡(―3,+8)時(shí)，h5(x)>0.

故作出h（x）的草圖如圖所示，討論如下:

14

①當(dāng)一3WaV0時(shí),h(x)最小值h(a)=ka.*.k=(l+a)2^g

411_4_3

②當(dāng)一§時(shí)h(x)最小值h(a)=h(—§)=—^=ka^=27a

14

414

③當(dāng)a=一可時(shí)h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)2，§,a=—3

時(shí)取等號(hào).

14

綜上討論可知k的最小值為此時(shí)[a,0]=[—30].

例4.已知/（幻=累（》€(wěn)尺）在區(qū)間[TH上是增函數(shù)。

（1）求實(shí)數(shù)。的值組成的集合A；

（2）設(shè)關(guān)于x的方程/（力=；的兩個(gè)非零實(shí)根為匹、x試問：是否揭"，使

.12o

得不等式加+的+12|玉-々1對(duì)VaeA及，恒成立？若存在，求機(jī)的取值范圍；

若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知

識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.函數(shù)方程思想、化歸（轉(zhuǎn)

化)思想方法

解：⑴:/(%)=學(xué)《(i)

?，，/、。)?

2(r+2)；—(2x；—2x2(x~—ax—2)

??7(%)=-------4-+-2--)-2------=-----(尤-2z-+-2->z-

/(幻在[-1,1]上T.?./'(X)=2°對(duì)v"e[T1]恒成立

即VxG[-1,1],恒有-—ox-240成立

17

g(-l)=?—1<0:.-\<a<\

設(shè)g(x)—x2—ax—2

g(i)=-a-l<0/.A=[-1,1]

2x-a

(2)/U)x~-ax—2=0

x2+2x

△=。2+8>0陽、9是方程一_"_2=0的兩不等實(shí)根，且%)4-x2=a,

x}x2=—2

2

.*.|x,-x2|=+x2)-4X,X2=J/+8e[2A/2,3]

加+加i+i4X]一期|對(duì)Va€A及fG[T』恒成立

m2+51+1N3對(duì)V，恒成立

hQ)=/n?，+(m2—2),tG[—1,1]

.?.他"0對(duì)VfG[-1,1]恒成立

=m2-m-2>0m<-1或機(jī)>2

=><

h(l)=m2+m-2>0m<-2或根>1

:.3me(-00,-2]32,+oo)滿足題意

5.已知函數(shù)/(x)=ln(e*+a)(a>0)。

(1)求函數(shù)丁=/(X)的反函數(shù)V="'(%)和/(X)的導(dǎo)函數(shù)f'M.

(2)假設(shè)對(duì)Vxe[ln(3a)/n(4a)],不等式|加-尸(x)|+ln(1(x))<0成立，求實(shí)數(shù)加的取

值范圍。

分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明

等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.化歸(轉(zhuǎn)化)

思想方法

解：(1)y=ln(/+a)ex+a=eyex=ey-ax=ln(ey-a)

???尸(x)=ln(e*~)...y=ln("+a)Af1^-

(2)V^e[ln0a),ln(4?)],|吁尸(x)|+ln(f(x))<0成立

?ex,e"+a

?\|m-\n(ex-a)|<-In-----In-----

e'+aex

18

丁?—[\n(ex+?)—%]<m—\n(ex-ci)<ln(ev+a)—x

設(shè)g(x)=ln(ex—d)—\n(ex+tz)4-x,h(x)=ln(ex—a)+]n(/+a)—xxe[ln(3a)Jn(4a)]

Vxe[ln6a)』n(4a)]恒有g(shù)(x)<m<h(x)成立

g'(x)=，--------------+1*.*XG[ln(3a),ln(4u)]/.exe[3?,4?]

e'-ae"+ci

/.0<ex-a<ex<ex+a——>1,0<——<1

ex-aex+a

.?.g，(x)>(),g(x)在[ln(3a)』n(4a)]上T

g(x)max=g(ln@a))(機(jī)

riI?

即ln(3?)一ln(5a)+ln(4。)<mm>ln(—a)

l(x)=-^—+咯--1>0/I(x)在[ln(3a),ln(4")]上T

e-ae+a

?\m<A(x)min=〃(山6。))m<ln(2a)+ln(4q)—ln(3a)m<In(—a)

17Q

???加的取值范圍是（3丁。）,1嗚0）

6.設(shè)函數(shù)7（x）1

(nGN,且〃A1,尤￡N).

（I）當(dāng)x=6時(shí)，求卜+」的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（II）對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,證明"2X）；"2）>y，（x）（/，（x）是的導(dǎo)函數(shù)）;

（III）是否存在。eN，使得an<卦+{|V3+1）〃恒成立?若存在，試證明你的

結(jié)論并求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

（I）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是

\nJn:

（II）證法一因./■（2x）+/（2）=（l+：+（1+：）

-1+-

19

>211.214in141

+mi+；=2/(x)

kri)nn

證法二:

2H/[2n2/]

1

因/(2x)+/(2)=1+-1+=214---1+-

n?44-；n

而2f(x)=21+-山+1]

\〃In)

1

故只需對(duì)和進(jìn)行比較。

n

令g(x)=x-lnx(Ql),有g(shù)(x)=」=H'由￡」=0,得x=l

9

XXX

因?yàn)楫?dāng)0<x<l時(shí)，g(x)<。，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)l<x<+8時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)

遞增，所以在x=l處g(x)有極小值1

故當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>g(l)=l,從而有x-lnx>l,亦即x>lnx+l>lnx

故有(l+j>ln(l+J恒成立。所以/(2力+/(2”2八同，原不等式成立。

(III)對(duì)帆￡N,且加>1

+C：

1——1-

\m

<2+3+11

十一++——

2!3!k\m\

△1111

<2H------1------FH;---T+~\----；-----T

2x13x2m(m-l)