數(shù)學(xué)素材：第一章立體幾何初步

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥Ⅱ思考與交流1．略．2．平面的基本性質(zhì)1的三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述：文字語(yǔ)言表述:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．圖形語(yǔ)言表述如圖所示：符號(hào)語(yǔ)言表述：如圖，A∈l,B∈l，A∈α，B∈α?l?α。3．（1)柱體的定義、性質(zhì)：名稱棱柱直棱柱正棱柱圓柱圖形定義有兩個(gè)面互相平行，其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體叫做棱柱側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱性質(zhì)①底面及平行于底面的截面是全等的多邊形；②側(cè)面及經(jīng)過(guò)不相鄰兩側(cè)棱的截面(對(duì)角面）是平行四邊形；③側(cè)棱平行且相等①具有棱柱的一切性質(zhì);②側(cè)面、對(duì)角面都是矩形;③側(cè)面展開圖是矩形①具有直棱柱的一切性質(zhì)；②兩底面中心連線是兩底面的公垂線，其長(zhǎng)是正棱柱的高；③底面及平行于底面的截面是正多邊形①底面及平行于底面的截面是全等的圓面；②軸截面是全等的矩形；③所有的母線都平行且相等（2)錐體的定義、性質(zhì)：名稱棱錐正棱錐圓錐圖形定義有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫做棱錐底面是正多邊形，頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線上的棱錐叫做正棱錐以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐性質(zhì)①底面是多邊形，各側(cè)面都是三角形；②平行于底面的截面是與底面相似的多邊形，其面積與底面積的比等于頂點(diǎn)到截面和頂點(diǎn)到底面距離的平方的比①底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形，其高（斜高)相等；②各側(cè)棱相等，且與底面成等角;③頂點(diǎn)和底面中心連線和底面垂直,其長(zhǎng)為正棱錐的高；④斜高、高、底面邊心距組成直角三角形①底面與平行于底面的截面都相似；②軸截面都是全等的等腰三角形;③所有母線都相交于一點(diǎn)且長(zhǎng)相等（3)臺(tái)體的定義、性質(zhì)：名稱棱臺(tái)正棱臺(tái)圓臺(tái)圖形定義棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)性質(zhì)①底面是多邊形，各側(cè)面都是梯形;②平行于底面的截面與底面是相似的多邊形①底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜高相等；②上、下兩底面中心的連線和底面垂直，其長(zhǎng)為正棱臺(tái)的高；③斜高、高、兩底面邊心距組成一直角梯形；高、側(cè)棱及兩底面對(duì)角線的一半組成直角梯形①上、下兩個(gè)底面圓心的連線與底面垂直,其長(zhǎng)為圓臺(tái)的高;②軸截面都是全等的等腰梯形；③所有的母線長(zhǎng)都相等，且延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)（4)球的定義、性質(zhì)、面積、體積：名稱球圖形定義半圓繞著它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面；球面圍成的幾何體叫做球（空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，叫球面)性質(zhì)同球的半徑都相等，直徑也都相等;球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓；被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的小圓；球心和截面圓心連線與截面垂直；球心到截面的距離d，球半徑R及截面圓半徑r可組成直角三角形，其關(guān)系是r＝eq\r（R2－d2）面積S球＝4πR2＝πd2R是球半徑d是球直徑體積V球＝eq\f(4，3）πR3＝eq\f(1，6）πd3R是球半徑d是球直徑4．當(dāng)正棱臺(tái)的上底面擴(kuò)展為與下底面全等的圖形時(shí)，c′＝c，h′＝h，S′＝S，則S＝eq\f(1，2)(c＋c)·h＝ch，V＝eq\f(h，3)(S＋eq\r(SS)＋S）＝Sh，由此可以看出變化所得的公式與柱體的相應(yīng)公式一樣．當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為中心點(diǎn)時(shí),c′＝0，h′＝h′，S′＝0，∴S＝eq\f(1,2）(c＋0）·h′＝eq\f(1，2)ch′，V＝eq\f（h，3）（S＋eq\r（S×0)＋0）＝eq\f(1,3）Sh.也恰好為棱錐的對(duì)應(yīng)公式．5．確定平面的依據(jù)有四條:①不共線三點(diǎn);②直線及其外的一點(diǎn)；③兩相交直線；④兩平行直線．例如：①三條腿的凳子穩(wěn)定性好；②餐桌的支架可使桌面穩(wěn)定；③門軸加上鎖可以固定門；④鐵軌可以使火車平穩(wěn)行駛．6．點(diǎn)到直線的距離，兩條平行線間的距離的概念可以說(shuō)是平面幾何知識(shí)推廣到了空間．再如：兩條平行線同時(shí)垂直于一條直線（證明略)．Ⅲ鞏固與提高1．存在．如正方體、球等．2．略．3．(1)假；（2）真;（3）假；(4)真；（5）假；(6）真；（7）真；（8)真;(9)假．4．解:設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,高為h,則a2＝72,h＝5?！鄬?duì)角線長(zhǎng)為l＝eq\r（a2＋a2＋h2）＝eq\r（144＋25）＝13（cm）．5．解:取棱錐的一個(gè)側(cè)面SAB，設(shè)三個(gè)平行截面依次交側(cè)面SAB于A1B1，A2B2，A3B3。由平行平面截線段成比例知:eq\f(A1B1,AB）＝eq\f（1，4），eq\f（A2B2，AB)＝eq\f（2,4)，eq\f（A3B3,AB）＝eq\f（3,4).由相似三角形的邊長(zhǎng)比與面積比的關(guān)系得自上而下設(shè)三個(gè)截面面積分別為S1，S2，S3?！鄀q\f(S1,320)＝eq\f（1,16）,eq\f（S2,320）＝eq\f（1，4)，eq\f(S3,320）＝eq\f（9,16）.∴S1＝20（cm2），S2＝80(cm2)，S3＝180（cm2)．6．解：四棱柱共有4條體對(duì)角線，三棱柱沒(méi)有體對(duì)角線，六棱柱有18條體對(duì)角線．n棱柱共有n(n－3)條體對(duì)角線．因?yàn)閚棱柱的底面有eq\f（n（n－3）,2)條對(duì)角線，而底面的每一條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)角面，每一個(gè)對(duì)角面內(nèi)有兩條對(duì)角線，∴n棱柱有n(n－3）條體對(duì)角線，此規(guī)律對(duì)五棱柱也適用．7．證明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b,∴a?α，a?β，b?β，b?γ.①當(dāng)a∥b時(shí)，∵α∩γ＝c，∴a?γ。又b?γ，∴a∥γ。∵α過(guò)a且與γ交于c，∴a∥c.∴a∥b∥c.②當(dāng)a∩b＝O時(shí)，則O∈a,O∈b,∵a?α，b?γ，∴O∈α，O∈γ.又∵α∩γ＝c，∴O∈c，∴a、b、c交于O點(diǎn)．8．解:如圖所示,在四面體OABC中,取AB的中點(diǎn)H，連接OH.∵OA＝OB＝OC，∴點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心．∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴△ABC為直角三角形．∴H為△ABC的外心．∴OH⊥平面ABC.在等腰三角形OAB中，OH＝eq\r(OA2－AH2）＝eq\r(132－52）＝12。∴球心O到平面ABC的距離為12。Ⅳ自測(cè)與評(píng)估1．(1）假；（2)假．2．(1)兩個(gè)定點(diǎn)連線的中垂面(2)eq\r(2a2＋b2)（3)垂直3．解：CD2＝AB2＋BD2＋AC2＝62＋82＋242＝676.∴CD＝26。4．解:由圖可知圓柱的底面圓的直徑為40，高為60。設(shè)底面圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為a，如圖所示．∵AO＝eq\f(\r（3）,3）AB＝eq\f（\r(3）,3）a，∴a＝eq\r(3）AO＝20eq\r(3)。設(shè)圓柱的內(nèi)接正三棱錐為SABC，如圖所示,它的高SO＝60，AO＝20.在Rt△SOA中，SA＝20eq\r(10)。∴正三棱錐的斜高h(yuǎn)′＝10eq\r（37）.∴VSABC＝eq\f（1，3）S△ABC·SO＝eq\f(1，3）×eq\f（\r(3），4）(20eq\r（3））2×60＝6000eq\r（3)。S三棱錐側(cè)＝eq\f（1,2）ch′＝eq\f(1,2）×60eq\r(3）×10eq\r（37）＝300eq\r(111)，S△ABC＝eq\f(\r（3),4)AB2＝300eq\r（3）,V圓柱＝πr2·h＝（20)2π·60＝24000π，∴剩余幾何體的體積為V圓柱－V三棱錐＝24000π－6000eq\r(3）。剩余部分的表面積為S圓柱全＋S棱錐側(cè)－S棱錐底＝3200π＋300eq\r(