2010年高考試題-數(shù)學(xué)理(全國(guó)卷2)含解析(貴州、云南、甘肅、新疆、內(nèi)蒙古、青海、西藏)

[鍵入文字]PAGE19-2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷II）（數(shù)學(xué)理）【教師簡(jiǎn)評(píng)】按照“保持整體穩(wěn)定，推動(dòng)改革創(chuàng)新，立足基礎(chǔ)考查，突出能力立意”命題指導(dǎo)思想，本套試卷的總體印象是:題目以常規(guī)題為主，難度較前兩年困難，得高分需要扎扎實(shí)實(shí)的數(shù)學(xué)功底.1.縱觀試題，小題起步較低，難度緩緩上升，除了選擇題11、12、16題有一定的難度之外，其他題目難度都比較平和.2.解答題中三角函數(shù)題較去年容易，立體幾何難度和去年持平，數(shù)列題的難度較去年有所提升，由去年常見的遞推數(shù)列題型轉(zhuǎn)變?yōu)榻衲甑臄?shù)列求極限、數(shù)列不等式的證明，不易拿滿分，概率題由去年背景是“人員調(diào)配”問(wèn)題，轉(zhuǎn)變?yōu)榻衲甑呐c物理相關(guān)的電路問(wèn)題，更體現(xiàn)了學(xué)科之間的聯(lián)系.兩道壓軸題以解析幾何和導(dǎo)數(shù)知識(shí)命制，和去年比較更有利于分步得分.3.要求考生有比較強(qiáng)的計(jì)算能力，例如立體幾何問(wèn)題，題目不難，但需要一定的計(jì)算技巧和能力.不管題目難度如何變化，“夯實(shí)雙基(基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法)”，對(duì)大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)，是以不變應(yīng)萬(wàn)變的硬道理.（1）復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）（2）.函數(shù)的反函數(shù)是（B）（C）（D）（3）.若變量滿足約束條件則的最大值為（A）1（B）2（C）3（D）4（4）.如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35（5）不等式的解集為（A）（B）（C）（D）（6）將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種（7）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位（B）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位（C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位（D）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位（8）中，點(diǎn)在上，平方．若，，，，則（A）（B）（C）（D）（9）已知正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（A）1（B）（C）2（D）3（10）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則（A）64（B）32（C）16（D）8（11）與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點(diǎn)（A）有且只有1個(gè)（B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)（12）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則（A）1（B）（C）（D）2第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用0.5毫米的黑色字跡簽字筆在答題卡上作答。2．本卷共10小題，共90分。二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．（13）已知是第二象限的角，，則．（14）若的展開式中的系數(shù)是，則．（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．若，則．（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，．若，則兩圓圓心的距離．三．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．（17）（本小題滿分10分）中，為邊上的一點(diǎn)，，，，求．（18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：．（19）如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大小．（20）（本小題滿分12分）如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過(guò)T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過(guò)T4的概率是0.9．電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求電流能在M與N之間通過(guò)的概率；（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通過(guò)電流的元件個(gè)數(shù)，求的期望．（21）（本小題滿分12分）己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為．（Ⅰ）求C的離心率；（Ⅱ）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．（22）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷II）（數(shù)學(xué)理）【教師簡(jiǎn)評(píng)】按照“保持整體穩(wěn)定，推動(dòng)改革創(chuàng)新，立足基礎(chǔ)考查，突出能力立意”命題指導(dǎo)思想，本套試卷的總體印象是:題目以常規(guī)題為主，難度較前兩年困難，得高分需要扎扎實(shí)實(shí)的數(shù)學(xué)功底.1.縱觀試題，小題起步較低，難度緩緩上升，除了選擇題11、12、16題有一定的難度之外，其他題目難度都比較平和.2.解答題中三角函數(shù)題較去年容易，立體幾何難度和去年持平，數(shù)列題的難度較去年有所提升，由去年常見的遞推數(shù)列題型轉(zhuǎn)變?yōu)榻衲甑臄?shù)列求極限、數(shù)列不等式的證明，不易拿滿分，概率題由去年背景是“人員調(diào)配”問(wèn)題，轉(zhuǎn)變?yōu)榻衲甑呐c物理相關(guān)的電路問(wèn)題，更體現(xiàn)了學(xué)科之間的聯(lián)系.兩道壓軸題以解析幾何和導(dǎo)數(shù)知識(shí)命制，和去年比較更有利于分步得分.3.要求考生有比較強(qiáng)的計(jì)算能力，例如立體幾何問(wèn)題，題目不難，但需要一定的計(jì)算技巧和能力.不管題目難度如何變化，“夯實(shí)雙基(基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法)”，對(duì)大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)，是以不變應(yīng)萬(wàn)變的硬道理.（1）復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）【答案】A【命題意圖】本試題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.【解析】.（2）.函數(shù)的反函數(shù)是（B）（C）（D）【答案】D【命題意圖】本試題主要考察反函數(shù)的求法及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互化。【解析】由原函數(shù)解得，即，又；∴在反函數(shù)中，故選D.（3）.若變量滿足約束條件則的最大值為（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.【解析】可行域是由構(gòu)成的三角形，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)C時(shí)最大，最大值為3，故選C.（4）.如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).【解析】（5）不等式的解集為（A）（B）（C）（D）【答案】C【命題意圖】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.【解析】利用數(shù)軸穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故選C（6）將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識(shí)，考察考生分析問(wèn)題的能力.【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有種方法，共有種，故選B.（7）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位（B）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位（C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位（D）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】B【命題意圖】本試題主要考查三角函數(shù)圖像的平移.【解析】=，=，所以將的圖像向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到的圖像，故選B.（8）中，點(diǎn)在上，平方．若，，，，則（A）（B）（C）（D）【答案】B【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運(yùn)算，考查角平分線定理.【解析】因?yàn)槠椒?，由角平分線定理得，所以D為AB的三等分點(diǎn)，且，所以，故選B.（9）已知正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（A）1（B）（C）2（D）3【答案】C【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問(wèn)題.【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高所以體積，設(shè)，則，當(dāng)y取最值時(shí)，，解得a=0或a=4時(shí)，體積最大，此時(shí)，故選C.（10）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力..【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面積是，解得.故選A.（11）與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點(diǎn)（A）有且只有1個(gè)（B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)【答案】D【解析】直線上取一點(diǎn)，分別作垂直于于則分別作，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方體中各個(gè)表面、對(duì)等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三條棱AB、CC1、A1D1.所在直線的距離相等所以有無(wú)窮多點(diǎn)滿足條件，故選D.（12）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則（A）1（B）（C）（D）2【答案】B【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義.【解析】設(shè)直線l為橢圓的有準(zhǔn)線，e為離心率，過(guò)A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B為垂足，過(guò)B作BE垂直于AA1與E，由第二定義得，，由，得，∴即k=，故選B.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用0.5毫米的黑色字跡簽字筆在答題卡上作答。2．本卷共10小題，共90分。二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．（13）已知是第二象限的角，，則．【答案】【命題意圖】本試題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的計(jì)算能力.【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.（14）若的展開式中的系數(shù)是，則．【答案】1【命題意圖】本試題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和求指定項(xiàng)系數(shù)的方法.【解析】展開式中的系數(shù)是.（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．若，則．【答案】2【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì).【解析】過(guò)B作BE垂直于準(zhǔn)線于E，∵，∴M為中點(diǎn)，∴，又斜率為，，∴，∴，∴M為拋物線的焦點(diǎn)，∴2.（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，．若，則兩圓圓心的距離．【答案】3【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質(zhì)，解三角形問(wèn)題.【解析】設(shè)E為AB的中點(diǎn)，則O，E，M，N四點(diǎn)共面，如圖，∵，所以，∴，由球的截面性質(zhì)，有，∵，所以與全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面積相等，可得，三．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．（17）（本小題滿分10分）中，為邊上的一點(diǎn)，，，，求．【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況.【參考答案】由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.從而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.由正弦定理得，所以=.【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問(wèn)題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在17或18題，屬于送分題，估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保留，不會(huì)有太大改變.解決此類問(wèn)題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?（18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：．【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【參考答案】【點(diǎn)評(píng)】2010年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I、Ⅱ這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心.估計(jì)以后的高考，對(duì)數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡(jiǎn)單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).（19）如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大?。久}意圖】本試題主要考查空間的線面關(guān)系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計(jì)算的能力.【參考答案】(19)解法一：（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊鍭A1BB1為正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點(diǎn)，故DE∥BF，DE⊥AB1.………………3分作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn).又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD.所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.（II）因?yàn)镈G∥AB1，故∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角，∠CDG=45°設(shè)AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A1C1，H為垂足，因?yàn)榈酌鍭1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角.【點(diǎn)評(píng)】三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一，是高考的的熱點(diǎn)，它是處理線線垂直問(wèn)題的有效方法，同時(shí)它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過(guò)引入空間向量，用向量代數(shù)形式來(lái)處理立體幾何問(wèn)題，淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化，這是用向量解立體幾何問(wèn)題的獨(dú)到之處.（20）（本小題滿分12分）如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過(guò)T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過(guò)T4的概率是0.9．電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求電流能在M與N之間通過(guò)的概率；