初中圓題型總結(jié)演示教學(xué)

初中題型總結(jié)

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圓的基本題型

縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題，選

擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分一15分左右，圓的有關(guān)性

質(zhì)，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質(zhì)等綜合性問題的運(yùn)用一般以計(jì)算

證明的形式考查；利用圓的知識與其他知識點(diǎn)如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為

中考壓軸題將會占有非常重要的地位，另外與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，閱讀理解

題，探索存在性問題仍是熱門考題，應(yīng)引起注意.下面究近年來圓的有關(guān)熱點(diǎn)

題型，舉例解析如下。

一、圓的性質(zhì)及重要定理的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的

關(guān)系.（3）圓周角定理及推論（4）圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)

【例1】（江蘇鎮(zhèn)江）如圖，為。0直徑，CD為弦，且8_LA5,垂足為

H.

（1）NOCZ）的平分線CE交。。于￡,連結(jié)OE.求證：E為弧ADB的中

八占、、??

（2）如果。0的半徑為1,CD=B

①求。到弦AC的距離;

②填空：此時(shí)圓周上存在個(gè)點(diǎn)到直線AC的距離為

【解析】(1)OC=OE,;.NE=NOCE

又NOCE=NDCE,:.ZE=ZDCE.

:.OEl/C.

又CDLAB,;.ZAOE=NBOE=90.

為弧ADB的中點(diǎn).

(2)①CDLAB,AB為。0的直徑，CD=6

r-3

：.CH="D=%又OC=1,：.sinNCOB0=衛(wèi)=昱

22OC12

...403=60,/.=30.

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作OPLAC于P,則OP=，OA=—.

22

②3.

【點(diǎn)評】本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問題的

能力.運(yùn)用垂徑定理時(shí)，需添加輔助線構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.

幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距,本題的弦心距就是指線段0D的長.在圓中

解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問題時(shí),常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距,把垂

徑定理和勾股定理結(jié)合起來解題.如圖，00的半徑為心弦心距為d,弦長a之間

的關(guān)系為，="2+(￡|-根據(jù)此公式，在。、八d三個(gè)量中，知道任何兩個(gè)量就

可以求出第三個(gè)量.平時(shí)在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這個(gè)基鯉之

【例2】(安徽蕪湖)如圖，已知點(diǎn)少是圓。上的點(diǎn)，

B、C分別是劣弧AD的三等分點(diǎn)，ZBOC=46,\\0/]

則NAE。的度數(shù)為^,,

【解析】由3、。分別是劣弧AO的三等分點(diǎn)知，圓心角NA0B=NB0C=NC0D,

又NBOC=46,所以NA0D=138°.

根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有NAE￡>=69。.

點(diǎn)評本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系。

【強(qiáng)化練習(xí)】

【1】.如圖，。。是ABC的外接圓，/BAC=60。，AD,CE分別是BC,AB上的

高，且AD,CE交于點(diǎn)H,求證：AH=A0

(1)如圖，在。0中，弦AC_LBD,0E±AB,垂足為E,求證：0E=1cD

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⑵如圖，AC,BD是。。的兩條弦，且ACBD,。。的半徑為今求AB?+CD2的

值。

[2]（第25題）如圖，。0是aABC的外接圓，弦8口交人（：

CD,月.AE=DE,BC=CE.

（1）求NACB的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)。作OF_LAC于點(diǎn)F,延長F0交BE于點(diǎn)G,DE=3,EG=2,求AB

的長.

二、直線與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識鏈接：

1、直線與圓的位置關(guān)系有三種：

⑴如果一條直線與一個(gè)圓沒有公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相離.

⑵如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相切，此

時(shí)這條直線叫做圓的切線,這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

⑶如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相交，此時(shí)

這條直線叫做圓的割線,這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn).

2、直線與圓的位置關(guān)系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；

4.和圓有關(guān)的比例線段

（1）相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；

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（2）推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段

的比例中項(xiàng)；

（3）切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓

交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；

（4）推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩

條線段長的積相等。

5.三角形的內(nèi)切圓

（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的

內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；

6、圓的切線的性質(zhì)與判定。

DEOE?￡CKD￡3=B￡-AE

AC-BC=CE-OCOE-EOBE-AE

【例1】（甘肅蘭州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,BO是。0的直徑,

AE±CD,垂足為E,OA平分N3OE.

（1）求證：AE是的切線；

（2）若NDBC=30,DE=1cm,求8。的長.

【解析】（1）證明：連接OA,/M平分N80E,=

04OD.Z.OAAN.ZOAD=ZEDA.

.OA/C

AELL,；.ZAED=90,NOAE=NDEA=90.

■.AELC.是。。的切線.

(2)8。是直徑，:.ZBCD^ZBAD=90.

ZDB6304BD&:.NBDE=120.

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ZM平分ZBDE,ZBDA=NEDA=60.

；.ZABD=NEAD=30.

在Rt^AE。中，ZAED=90,ZEAD=30,：.AD=2DE.

在.RtZVLBO中，ZBAD=90,ZABD=30,：.BD=2AD=4DE.

DE的長是1cm,.,.BD的長是4cm.

【點(diǎn)評】證明圓的切線，過切點(diǎn)的這條半徑為必作輔助線.即經(jīng)過半徑的外端且

垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【例2】（廣東茂名）如圖，。。是△力回的外接圓，且點(diǎn)〃在弧8C上

運(yùn)動，過點(diǎn)〃作應(yīng)〃比；鹿交4?的延長線于點(diǎn)區(qū)連結(jié)BD.

（1）求證：，//龍=/￡；f/

（2）當(dāng)點(diǎn)〃運(yùn)動到什么位置時(shí)，應(yīng)是。。的切線？請說明理由.B

（3）當(dāng)4?=5,給6時(shí)，求。。的半徑.（4分）E

【解析】（1）在△A9C中，?:AB=AC,

：.AABOAC.

'：DE//BC,：.ZAB(=ZE,

又.：乙AD氏4C,

：./ADB=/E.

（2）當(dāng)點(diǎn)〃是弧比1的中點(diǎn)時(shí)，應(yīng)1是。。的切線.

理由是：當(dāng)點(diǎn)。是弧8c的中點(diǎn)時(shí)，則有且/。過圓心。.

又?：DE〃BC,：.ADLED.

：.應(yīng)是。。的切線.

（3）連結(jié)BO、A0,并延長40交BC于點(diǎn)、F,

D

MiJAFVBC,且止,除3.

2

又比5,力44.

設(shè)的半徑為r,在Rt△戚中，〃佇4一r，0B=r,8佇3,

r2=32+（4—r）2

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解得r=425,二。。的半徑是白25.

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L點(diǎn)評】本題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線判定，解題最關(guān)鍵是抓

住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，探索出不同的結(jié)論.

【例4】已知：如圖7,點(diǎn)P是半圓0的直徑BA延長線上的點(diǎn)，PC切半圓于C

點(diǎn),2,DB=4,求tanNPCA及PC的長。

證明：連結(jié)CB

：PC切半圓0于C點(diǎn)，...NPCAuNB

VZP=ZP,/.APAC^APCB

AAC：BC=PA：PC

ACPA\

13nz_—tanBn=--=---=—

BCPC2

VAB是半圓0的直徑，ZACB=90°

XVCD1AB

AC2AD*ABAD行AC2皿1,

—=-------=——，AD=—丁?BZ)=—vX4=1

BC,TBD?ABBDBC24

/.AB=AD+DB=5

PC2=PA*PB,：.(2PA)2=PA(PA+5)

PA=-,.\PC=2PA=—

Z.33

【例5】已知：如圖8,在Rt^ABC中，ZB=90°,NA的平分線交BC于點(diǎn)

D,E為AB上的一點(diǎn)，DE=DC,以D為圓心，

求證：(1)AC是。D的切線；

(2)AB+EB=AC

分析：(1)欲證AC與G)D相切，只要證圓心D到AC的距離等于。D的半徑

BDo因此要作DF_LAC于F

(2)只要證AC=AF+FC=AB+EB,證明的關(guān)鍵是證BE=FC,這又轉(zhuǎn)化為證△

EBD^ACFDo

證明：(1)如圖8,過D作DF_LAC,F為垂足

?；AD是NBAC的平分線，DB1AB,/.DB=DF

...點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑

.?.AC是。D的切線

(2)VAB±BD,0D的半徑等于BD,

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；.AB是。D的切線，/.AB=AF

?.,在R3ED和RtZXFCD中,ED=CD,BD=FD

/.△BED^AFCD,.,.BE=FC

/.AB+BE=AF+FC=AC

小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共

點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有

給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一

類

【例6】已知：如圖9,AB為。0的弦，P為BA延長線上一點(diǎn)，PE與。。相切

于點(diǎn)E,C為金8中點(diǎn)，連CE交AB于點(diǎn)F。求證：PF"=PA*PB

分析：由已知可得PE?=PA?PB,因此要證PF=PA?PB,只要證PE=PF。

即證NPFE=NPEF。

證明一：如圖9,作直徑CD,交AB于點(diǎn)G,連結(jié)ED,

ZCED=90°

n

?點(diǎn)C為48的中點(diǎn)，.\CD±AB,/.ZCFG=ZD

?；PE為。0切線，E為切點(diǎn)

/.ZPEF=ND,/.ZPEF=ZCFG

VZCFG=ZPFE,/.ZPFE=ZPEF,/.PE=PF

VPE2=PA?PB,APF2=PA-PB

證明二：如圖9—1,連結(jié)AC、AE

ccc

丁點(diǎn)C是45的中點(diǎn)，：.AC=BC,.,.ZCAB=ZAEC

：PE切OO于點(diǎn)E,.*.ZPEA=ZC

VZPFE=ZCAB+ZC,ZPEF=ZPEA+ZAEC

.*.ZPFE=ZPEF,APE=PF

VPE2=PA?PB,APF2=PA?PB

【例7】(1)如圖10,已知直線AB過圓心0,交。。于A、B,直線AF交。0

于F(不與B重合)，直線/交。。于C、D,交BA延長線于E,且與AF垂直，

垂足為G,連結(jié)AC、AD

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圖10圖10—1

求證：①NBAD=NCAG；

②AC?AD=AE?AF

(2)在問題(1)中，當(dāng)直線/向上平行移動，與。。相切時(shí)，其它條件不

變。

①請你在圖10-1中畫出變化后的圖形，并對照圖10標(biāo)記字母；

②問題(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如

果不成立，請說明理由。

證明：(1)①連結(jié)BD

VAB是。0的直徑，，ZADB=90°

/.ZAGC=ZADB=90°

又???ACDB是。0內(nèi)接四邊形

ZACG=ZB,，ZBAD=ZCAG

②連結(jié)CF

ZBAD=ZCAG,ZEAG=ZFAB

Z.ZDAE=ZFAC

XVZADC=ZF,/.AADE^AAFC

AD_AE

：.AF~AC,AAC?AD=AE?AF

(2)①見圖10-1

②兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下：

①連結(jié)BC,

：AB是直徑，.?.NACB=90°

ZACB=ZAGC=90°

：GC切。0于C,/.ZGCA=ZABC

/.ZBAC=ZCAG(即NBAD=NCAG)

②連結(jié)CF

ZCAG=ZBAC,ZGCF=ZGAC,

/.ZGCF=ZCAE,NACF=NACG—NGFC,ZE=ZACG-ZCAE

AC_AF

/.ZACF=ZE,/.AACF^AAEC,AE~AC

.\AC2=AE?AF(即AC?AD=AE-AF)

說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動手畫圖的能力，并通過探究式

的提問加強(qiáng)了對學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)

注。

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【強(qiáng)化練習(xí)】

[1](第22題)如圖，。。的直徑A3為10刖，弦BC為5cm,。、E分別是

NAG5的平分線與。。，AB的交點(diǎn)，尸為AB延長線上一點(diǎn)，MPC=PE.

(1)求AC、A。的長；(2)試判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理

由.

[2](第23題)如圖，在△ABC中，ZC=90°,NABC的平分線交AC于點(diǎn)

E,過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)b。。是△8EF的外接圓.

(1)求證：AC是。。的切線.

(2)過點(diǎn)E作E/7LA8于點(diǎn)”，求證：CD=HF.

[3](第25題)如圖，在。0中，AB,CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn),

連接AD,BC,BD.

(1)求證：4ABD也aCDB；

(2)若/DBE=37。，求NADC的度數(shù).

[4](第24題)如圖，AB為。0的直徑，PD切。0于點(diǎn)C,交AB的延長

線于點(diǎn)D,且ND=2NCAD.

(1)求ND的度數(shù)；

(2)若CD=2,求BD的長.

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[5]（第27題）如圖，中，ZABC=90°,以AB為直徑作半圓。。交

AC與點(diǎn)。，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接DE.

（1）求證：OE是半圓。。的切線.（2）若NBAC=30。，DE=2,求AZ）的長.

三、圓與圓的位置關(guān)系的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，如圖（1）、

（2）、（3）所示.其中⑴又叫做外離，（2）、（3）又叫做內(nèi)含.（3）中兩圓的圓心相

同,這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓.

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，如圖（4）、（5）所示.其中

（4）又叫做外切，（5）又叫做內(nèi)切.如果兩個(gè)圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)

圓相交，如圖（6）所示.

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【例1】（甘肅蘭州）.如圖是北京奧運(yùn)會自行車比賽項(xiàng)目標(biāo)志，則圖中兩

輪所在圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.相切D.外離

【解析】圖中的兩圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的所有點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外

部，故兩圓外離，選D.

【點(diǎn)評】圓與圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.其關(guān)系可

以用圓與圓公，共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判定，也可以用數(shù)量關(guān)系來表

示圓與圓的位置關(guān)系：

如果設(shè)兩圓的半徑為八、/'2,兩圓的圓心距為d,則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)

系如下表

兩圓的位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系及其識別方法

外離d〉ri+f2

外切d=「i+r2

相交

內(nèi)切d=ri-r2（ri

內(nèi)含d<n-r2（r\>r2）

【例2】（赤峰市）如圖（1）,兩半徑為/?的等圓。Oi和。相交于N兩

點(diǎn)，且。0?過點(diǎn)。一過M點(diǎn)作直線43垂直于MN,分別交OOi和。Oz于AB

兩點(diǎn)，連結(jié)NANB.

（1）猜想點(diǎn)。2與。Oi有什么位置關(guān)系，并給出證明；

（2）猜想△243的形狀，并給出證明；

（3）如圖（2）,若過M的點(diǎn)所在的直線A3不垂直于MN,且點(diǎn)AB在

點(diǎn)M的兩側(cè)，那么（2）中的結(jié)論是否成立，若成立請給出證明.

【解析】解：（1）。2在?上

證明：過點(diǎn)a，

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又。01的半徑也是r,.?.點(diǎn)。2在。01上.

（2）ANAB是等邊三角形

證明：MN工AB,:.4NMB=4NMA=94.

.?.8N是。0?的直徑，4N是。Oi的直徑，

即3N=A7V=2r,02在BN上，。在4V上.

連結(jié)aa，則a。?是△MS的中位線.

二.AB=2。［0>=2r.

.-.AB=BN=,則△NAB是等邊三角形.

（3）仍然成立.

證明：由（2）得在。Oi中弧MN所對的，圓周角為60.

在。Oz中弧MN所對的圓周角為60..??當(dāng)點(diǎn)A8在點(diǎn)M的兩側(cè)時(shí)，

在。Oi中弧MN,所對的圓周角NM4N=60,在。02中弧MN所對的圓周角

NMBN=60,

.?.△NA是等邊三角形.

注：（2）,（3）是中學(xué)生猜想為等腰三角形證明正確給一半分..

【點(diǎn)評】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且。。2過點(diǎn)a，構(gòu)建對稱性

知，OCX過再證ANAB是等腰三角形；（2）1是的基礎(chǔ)上發(fā)散探究，具有

一定的開放性.

四、圓與多邊形的計(jì)算考查

基礎(chǔ)知識鏈接：

1、圓與正多邊形的關(guān)系的計(jì)算；

2、弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計(jì)算.

【例1】（贛州）小芳隨機(jī)地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子

落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是

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【解析】設(shè)圓的半徑為1,則圓的面積為不，易算得正方形的邊長為行，正方

形面積為2,則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是V.

71

【點(diǎn)評】本題考查的是幾何概率，解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，根

據(jù)古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比.

【例2】兩同心圓，大圓半徑為3,小圓半徑為1,則陰影部分面積為

【解析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8萬，圖中的陰影面積為圓

環(huán)面積的一半47.

【點(diǎn)評】有關(guān)面積計(jì)算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖

形計(jì)算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和整體思想.

五、，圓的綜合性問題的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：圓的有關(guān)知識與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應(yīng)

用。

【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)0,且與x軸、y軸分別相

交于4（—8,0）、8（0,-6）兩點(diǎn).

（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；

（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M,頂點(diǎn)C在。M上，開口

向下，且經(jīng)過點(diǎn)B,求此拋物線的函數(shù)解析式;

（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得

5"統(tǒng)=’5M吹？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）設(shè)AB的函數(shù)表達(dá)式為>=入+。

（3

/\/\0=Sk+/?,k=—,

A（-8,0）,B（0,-6）,,：.\4

[-6=h

直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=—6.

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(2)設(shè)拋物線的對稱軸與。M相交于一點(diǎn)，依題意知這一點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)

Co又設(shè)對稱軸與x軸相交于點(diǎn)N,在直角三角形A0B中，

AB=ylAO^+OB2=782+62=10.

因?yàn)?。M經(jīng)過0、A、B三點(diǎn)，且90-,r.AB為。M的直徑，.?.半徑

MA=5,；.N為A0的中點(diǎn)AN=N0=4,/.MN=3/.CN=MC-MN=5-3=2,，C點(diǎn)的坐標(biāo)為

(-4,2).

設(shè)所求的拋物線為y=ax2+bx+c

則<2=16(7-4/7+c,.,.</?=-4,

-6=c.c=-6.

所求拋物線為y=一3/一4彳一6

(3)令_!》2_4》_6.=0,得D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)為D(-6,0)、E(-2,0),所

2

以DE=4.

又AC=2百,BC=4M.直角三角形的面積SMec=g?2有?4行=20.

假設(shè)拋物線上存在

p(x，/吏得S"DE=*SMBC，即;?q?20".y=+l.

當(dāng)y=l時(shí)，x=-4土收;當(dāng)y=-1時(shí)，x=-4土布.故滿足條件的存在.它們是

P\4+V^,1),R(―4—q(―4+1),^4--\/6,—.

【點(diǎn)評】本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問題，解題的關(guān)鍵是抓住圖

形中的點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；

【例2】(第27題)如圖，在。0的內(nèi)接AABC中，ZACB=90°,AC=2BC,過C

作AB的垂線1交。。于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是眾上異于A,C的一個(gè)動

點(diǎn)，射線AP交1于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.A

(1)求證：△PACS/\PDF；

(2)若AB=5,AP=BP-求PD的長；

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，設(shè)蛙x,tanZAFD=y,G

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B

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求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)

圓的綜合題

(1)證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長成比例.因?yàn)轭}中

因圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方

向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角NDPF,利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代

換，等弧對等角等知識易得NDPF=NAPC,則結(jié)論易證.

(2)求PD的長，且此線段在上問己證相似的4PDF中，很明顯用相似得

成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路.利用已知條件易得其他邊長，則

PD可求.

(3)因?yàn)轭}目涉及/AFD與也在第一問所得相似的4PDF中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)

化，ZAFD=ZPCA,連接PB得NAFD=NPCA=NPBG,過G點(diǎn)作AB的垂線，

若此線過PB與AC的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三

角形ABC相似可用AG表示NPBG所對的這條高線.但是“此線是否過PB

與AC的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫幾個(gè)動點(diǎn)P,觀察我們的猜

想.驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線

過PB與AC的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵.常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以

換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)H,然后連接交點(diǎn)與B,再證明

ZHBG=ZPCA=ZAFD.因?yàn)镃、D關(guān)于AB對稱，可以延長CG考慮P點(diǎn)的對

稱點(diǎn).根據(jù)等空對等角，可得NHBG=NPCA,進(jìn)而得解題思路.

(1)證明：VAC=AD，

/.ZDPF=180o-ZAPD=180°-而所對的圓周角=180°-眾所對的圓周

角=成所對的圓周角=/APC.

在APAC和aPDF中，

[NAPC=NDPF,

IZPAC=ZPDF'

.,.△PAC^APDF.

(2)解:如圖1,連接P0,則由左二百，有P0LAB,且NPAB=45°,

△APO、4AEF都為等腰直角三角形.

在RtZ\ABC中，圖1

VAC=2BC,

，AB2=BC2+AC2=5BC2,///

VAB=5.///

啤.P\//.

??.AC=28

CE=AC*sinZBAC=AC*器2代.普2,/

AE=AC*cosZBAC=AC?及2^，F(xiàn)C

VAAEF為等腰直角三角形，

；.EF=AE=4,

.,.FD=FC+CD=(EF-CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.

?.'△APO為等腰直角三角形，AO=?AB=,

??.AP二殳匣

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VAPDF^APAC,

；rPD_PAT

…而F

572

?PD2

,,丁奉_

APD=3V10.

2

(3)解：如圖2,過點(diǎn)G作GHLAB,交AC于H,

作圓，連接CG并延長交。。于Q,

VHC1CB,GH1GB,

AC.G都在以HB為直徑的圓上，

.,.ZHBG=ZACQ,

VC>D關(guān)于AB對稱，G在AB上，

，Q、P關(guān)于AB對稱，

:.AP=AQ>

/.ZPCA=ZACQ,

.,.ZHBG=ZPCA.

VAPAC^APDF,

.".ZPCA=ZPFD=ZAFD,

y=tanZAFD=tanZPCA=tanZHBG=理.

BG

VHG=tanZHAG?AG=tanZBAC*AG=K.=1.AG，

ACAG2

y=A.坐=x.

2BG

本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡

單，但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結(jié).總體來講本題

偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過程，自己如何找到思路.

【例3】(第24題)如圖①，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)0,

0A=我，以0為圓心，0A長為半徑作圓，交AD于M,恰好與BD相切于H,過H

作弦HP〃AB,弦HP=3.若點(diǎn)E是CD邊上一動點(diǎn)(點(diǎn)E與C,D不重合)，過E

作直線EF〃BD交BC于F,再把4CEF沿著動直線EF對折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為

G.設(shè)CE=x,Z\EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S.

(1)求證：四邊形ABHP是菱形；

(2)問4EFG的直角頂點(diǎn)G能落在。0上嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不

能，請說明理由；

(3)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出FG與。0相切時(shí)，S的值.

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圖②(備用圖)

第3題圖

考占.

J八、、?圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性

質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)；切線長定理；軸對稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)

值所有

專題：壓軸題.

分析：(1)連接0H,可以求出NH0D=60°,ZHD0=30°,從而可以求

出AB=3,由HP〃AB,HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據(jù)切線長定

理可得BA=BH,即可證到四邊形ABHP是菱形.

(2)當(dāng)點(diǎn)G落到AD上時(shí)，可以證到點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，可求出x=2.

(3)當(dāng)0WxW2時(shí)，如圖①，S=S%GF,只需求出FG,就可得到S與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2<xW3時(shí)，如圖④，S=SAGEF-SASGR,只需求出SG、RG,就可得

到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)FG與相切時(shí)，如圖⑤，易得FK=AB=3,

KQ=AQ-AK=2-2我+標(biāo).再由FK=J^(Q即可求出x,從而求出S.

解答:解：(1)證明：連接0H,如圖①所示.

???四邊形ABCD是矩形，

.*.ZADC=ZBAD=90o,BC=AD,AB=CD.

VHP/7AB,

AZANH+ZBAD=180°.

/.ZANH=90°.

.\HN=PN=HP=.

V0H=0A=V3?

/.sinZHON=I?t^.

OH2

.*.ZH0N=60o

???BD與GO相切于點(diǎn)H,

AOHIBD.

/.ZHD0=30o.

.,.0D=2V3，

；.AD=3心

.,.BC=3V3.

VZBAD=90°,ZBDA=30°.

tan/BDA=^=—^==1,

AD班3

.\AB=3.

VHP=3,

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/.AB=HP.

二四邊形ABHP是平行四邊形.

VZBAD=90°,AM是。0的直徑，

...BA與。。相切于點(diǎn)A.

OBD與。。相切于點(diǎn)H,

???平行四邊形ABHP是菱形.

(2)4EFG的直角頂點(diǎn)G能落在。0上.

如圖②所示，點(diǎn)G落到AD上.

VEF/7BD,

ZFEC=ZCDB.

VZCDB=90°-30°=60°,

AZCEF=60°.

由折疊可得：ZGEF=ZCEF=60°.

ZGED=60°.

VCE=x,

.-.GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x.

???cos/GE嚕寧

x=2.

AGE=2,ED=1.

??.GD=V3，____

.,.0G=AD-AO-GD=3V3-M-后退

.*.0G=0M.

.?.點(diǎn)G與點(diǎn)M重合.

此時(shí)4EFG的直角頂點(diǎn)G落在。0上，對應(yīng)的x的值為2.

.,.當(dāng)4EFG的直角頂點(diǎn)G落在。。上時(shí)，對應(yīng)的x的值為2.

(3)①如圖①，

在RtZXEGF中，

tanNFEG=—=^=5/3.

_GEx

FG=V3x-

，S=GE?FG=X?V5X=?2.

②如圖③，

ED=3-x,RE=2ED=6-2x,

GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.

,Itan/SRG=^=—^-=退，

...S/SSGR二SG?RG二?y(x-2)?(3x-6).

圖③

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=理5（X-2）2.

2_

SAGEI：=^-^X-?

2

=每-公（x-2）2.

22_

=-V3X'+6A/3X-6A/3-

綜上所述：當(dāng)0WxW2時(shí)，S=，^2；當(dāng)2VxW3時(shí)，S=-^+6^-673.

2

當(dāng)FG與。。相切于點(diǎn)T時(shí)，延長FG交AD于點(diǎn)Q,過點(diǎn)F作FKLAD,垂足為

K,如圖④所示.

?..四邊形ABCD是矩形，

，BC〃AD,ZABC=ZBAD=90°

/.ZAQF=ZCFG=60°.

V0T=V3.

.\0Q=2.

AQ="\/3^2.

VZFKA=ZABC=ZBAD=90°,

...四邊形ABFK是矩形._

FK=AB=3,AK=BF=3V3-后.

/.KQ=AQ-AK=（V^-2）-（3代-）=2-2■后.

在RSFKQ中，tan/FQK&S.

_QK

?,.FK=V3QK,__

A3=V3<2-2后后）.

解得：x=3-公.

3

V0<3-冬蜃2,

3

223

=3W3-6.

6_

...FG與。。相切時(shí)，S的值為過后-6.

6

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定

理、垂徑定理、軸對稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30°角所對的直角邊等于

斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性非常強(qiáng).

【例4】（第23題）如圖1,在。0中，E是弧AB的中點(diǎn)，C為。。上的一動點(diǎn)

（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F,EB=2（r是的半徑）.

3

（1）D為AB延長線上一點(diǎn)，若DC=DF,證明：直線DC與。0相切；

（2）求EF?EC的值；

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(3)如圖2,當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值.

圖1圖2

圓的綜合題..

(1)連結(jié)OC、OE,0E交AB于H,如圖1,由E是弧AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂

徑定理的推論得到OE_LAB,則/HEF+NHFE=90°,由對頂相等得

ZHFE=ZCFD,則NHEF+NCFD=90°，再由DC=DF得NCFD=NDCF,加上

ZOCE=ZOEC,所以N0CE+/DCE=NHEF+NCFD=90°,于是根據(jù)切線的判

定定理得直線DC與。0相切；

(2)由弧AE=MBE,根據(jù)圓周角定理得到NABE=NBCE,加上

ZFEB=ZBEC,于是可判斷△EBFS^ECB,利用相似比得到EF?EC=BE?=

(r)2=r2；

(3)如圖2,連結(jié)0A,由弧AE=MBE得AE=BE=r,設(shè)0H=x,則HE=r

x,根據(jù)勾股定理，在RtAOAH中有AH2+x2=r2；在RtAEAH中由AH?+(r-

x)2=(r)②，利用等式的性質(zhì)得X?-(r-x)2=r2-(r)2,即得x=r,則

HE=r-r=r,在RtZ\OAH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=2&,由OE_LAB

9

得AH=BH,而F是AB的四等分點(diǎn)，所以HF=AH=2②,于是在RtZ\EFH中

廠9

可計(jì)算出EF=2也r,然后利用(2)中的結(jié)論可計(jì)算出EC.

9

(1)證明：連結(jié)OC、OE,0E交AB于H,如圖1,

IE是弧AB的中點(diǎn)，

/.OE±AB,

/.ZEHF=90o,

/.ZHEF+ZHFE=90°,

而NHFE=NCFD,

.,.ZHEF+ZCFD=90°,

VDC=DF,

...ZCFD=ZDCF,

而OC=OE,

，Z0CE=Z0EC,E

ZOCE+ZDCE=ZHEF+ZCFD=90°,圖1

/.OC±CD,

，直線DC與。0相切；

(2)解:連結(jié)BC,

???E是弧AB的中點(diǎn),

.?.弧AE=MBE,

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/.ZABE=ZBCE,

而/FEB=NBEC,

/.△EBF^AECB,

.\EF：BE=BE：EC,

/.EF?EC=BE2=(r)2=r2；

(3)解：如圖2,連結(jié)OA,

VMAE=MBE,

.\AE=BE=r,

設(shè)0H=x,則HE=r-x,

在RtZ\OAH中，AH2+OH2=OA2,BPAH2+x2=r2,

在RtaEAH中，AH2+EH2=EA2,即(r-x)2=(r)\

x2-(r-x)2=r2-(r)2,即得x=r,

HE=r-r=r,

在RtAOAH中，AHROA?-OH%//一(g)［弩,

VOE±AB,

；.AH=BH,

而F是AB的四等分點(diǎn)，

；.HF=AH=2ar,

9_____________________

在RtAEFH中，2+(華Q區(qū)竽,

VEF*EC=r2,

.,.^^r*EC=r2,

9

.?.EC=2V3r.

圖2

本題考查了圓的綜