大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫

大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫（附答案）

《高等數(shù)學(xué)》試卷1（下）

一,選擇題（3分X10）

1.點(diǎn)M（2,3,1）到點(diǎn)及2（2,7,4）的距離|MM|二（）,

A.3B.4C.5D.6

2.向量Q=-i+2j+k力=2i+j,則有().

r丁71r丁71

TTTTQ，力/Q?u\-

'D.''

A.QII力B.Q1力C.<

y=J2_*_y2+1—

3,函數(shù)“2+，-1的定義域是()，

A.{(xj)|l<x2+y242}22

B{(xl7|l<x+y<2)}

C.{(x,y)11cM+y2M2}D{(x,y)|lgx2+j2<2]

—>—>

4.兩個(gè)向量Q與力垂直的充要條件是（）.

A.a?力~0B.aX力二。c.a一力D,A+力二0

5.函數(shù)Z=x3+y@-3xy的極小值是().

A.2B.-2C.1D.-1

6.設(shè)z=xsiny，則().

V2V2

大了B.Fc*DT

□□

7.若P級數(shù)。=1收斂，則（）.

A.P<1B.PW1C.P>1DPNl

□□

ST

8.基級數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?

A.[-1.1]B（T，1）C」T，I）D.（TJ]

m

9.恭級數(shù)。二0在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（）.

1221

A.l-XB.2-Xc.l-XD.2-X

io.微分方程xy'-ylny=0的通解為（）.

x

A，*'Byac.y=^eD.y=e?

二,填空題（4分X5）

1.一平面過點(diǎn)，（°，°，3）且垂直于直線，B,其中點(diǎn)火2,—1,1）,則此平

面方程為.

2.函數(shù)每=應(yīng)口（。）的全微分是.

a乩z

3.設(shè)了+則以叫一.

1

4.2+X的麥克勞林級數(shù)是.

5.微分方程y"+4y'+4y=0的通解為.

三,計(jì)算題（5分、6）

dzdz

1.設(shè)z二c"sinu,而口二xy,v=x+y,求戰(zhàn)'藥.

2.己知隱函數(shù)％=z(x,y)由方程x2_2y2+z2_4x+2z_5=0確定，求

dzdz

Sx'Sy'

0'sin^x2Vy2do

3.計(jì)算o,其中D；712Mx2+y2447r2.

4.如圖，求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R為半徑）.

四.應(yīng)用題（10分乂2）

1.要用鐵板做一個(gè)體積為2m3的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸

時(shí)，才能使用料最?。?/p>

2..曲線上任何一點(diǎn)的切線斜率等于自原點(diǎn)到該切點(diǎn)的連線斜率的2倍,

且曲線過點(diǎn)（I詩3）/,求此曲線方程

試卷1參考答窠

一.選擇題CBCADACCBD

二,填空題

12x-y-2z+6=0

2gs(xy)(ydx+xdy)

3.6*夕一9y2-1.

4.?=0

5y=(C1+C2X)fi-2x

三，計(jì)算題

]—=ex-x[ysin(x+y)+cos(x+y)]

「?，、,、r

—=e^[xsin(x+y)4-cos(x+y)]

dz2-xdz2y

2.3xz+1'3yz-Fl

,21r,2ir

Id(|)Isinp?pdp=

2

3."。、-6TI

到3

4.3

5y=e3x—e2*

四.應(yīng)用題

1.長、寬、高均為3《，加時(shí)，用料最省.

12

y=7x-

2.3

《高數(shù)》試卷2（下）

一.選擇題（3分*10）

1.點(diǎn)%（4,3,1）,孫（7,1,2）的距離|%/|=（）.

Ayi2Byi3cyi4Dyi5

2.設(shè)兩平面方程分別為x-2y+2z+l=0和-x+y+5=0,則兩平面的夾角

為（）.

巴巴巴巴

A.6B.4C.3D,2

3,函數(shù)z=arcsin（x^y2）的定義域?yàn)椋ǎ?

4{3川|03盯241}B,{（3）2472V1}

TT[r7T5

（xj）o^x2+/2^y（%y）0<Jf2+/2<y

4.點(diǎn)P（-l，-2，l）到平面x+2y-2z-5=°的距離為（）.

A.3B.4C.5D,6

5.函數(shù)z=2燈-3*2—2/2的極大值為（）.

1

A.0B.1C.-1D.2

嗎Q2）二

6.設(shè)％=x243xy4y2,則dx（）,

A.6B.7C.8D.9

m

7.若幾何級數(shù)，=Q是收斂的，則（）.

A.r<lB.r"C」H<1D」“<1

8,凝級數(shù)”=0的收斂域?yàn)椋ǎ?

A.[-U]C（TJ]D,（-1J）

0

Y*1sinna

9.級數(shù)n=1是（）.

A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D,不能確定

io.微分方程的通解為（）.

A.y=fiCXB.y=cfiXc.y=fiXD）=皿*

二,填空題（4分X5）

x=3+t

y=t

1.直線1過點(diǎn)4（2,2,—1）且與直線一’平行，則直線1的方程為

2.函數(shù)％二e個(gè)的全微分為.

3.曲面2二2二一燈2在點(diǎn)（2,1,4）處的切平面方程為

4.14X?的麥克勞林級數(shù)是.

5.微分方程xdy-3ydx=0在X尸4=1條件下的特解為

三,計(jì)算題（5分、6）

―?―?―?―?—?―?—?―?—?

1設(shè)a=i+2j-k，力=2j4-3k，求。X8.

dzdz

2.設(shè)N=n2v-&y2而u=xcosy,v=Ksiny,求？x'”'

dzdz

3.已知隱函數(shù)z=z（x,y）由確定，求怖'可

4.如圖，求球面x2+y2+%2=4Q2與圓柱面x2+y2=2ax（a>0）所圍的幾

何體的體積.

5,求微分方程y"+3y'+2y=0的通解.

四.應(yīng)用題（10分x2）

1.試用二重積分計(jì)算由y=?/=2口和x=4所圍圖形的面積.

2.如圖，以初速度V。將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋，不計(jì)阻力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x=x（t），

d，dx_

（提示：衣一P,當(dāng)￡=0時(shí)，有x=x。，dt=vo）

777777777

試卷2參考答案

一.選擇題CBABACCDBA.

二.填空題

x-2y-2z+1

2,陽(ydx+xdy)

3.8x-8y-z=4

□□

ELIX

4.n=0

5.，=/.

三.計(jì)算題

i.8i-3j+2A

2.

1|j=3x2sinjcos/(cos/-siny),-|^=-2x38injcosj(giny+cogy)4-x3(sin^y+cosJ)

dz-yzdz-xz

3axxy+z2*dyxy+z2

2xx

5y=C1e-+C2e-

四.應(yīng)用題

16

i.T.

1

K---gt2+vt+^o

2.Lo

《高等數(shù)學(xué)》試卷3（下）

一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1、二階行列式2-3的值為（）

45

A、10B、20Cs24D、22

2^設(shè)a=i+2j-k,b=2j+3k,則a與b的向量積為（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、點(diǎn)P(、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距離為()

A、2B、3C、4D、5

4、函數(shù)z=xsiny在點(diǎn)（1,4）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為（）

dzdz

5、設(shè)x2+y2+z2=2Rx,則社'即分別為()

x-Ryx-Ryx-Ryx-Ry

9

A、Z’ZB、ZZC>Z'ZD、=”

6、設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R,面密度為H=x2+y2的薄板的質(zhì)量為（）（面

積A二我R，）

yff2/!

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、2

呢-嗚

7、級數(shù)^=1的收斂半徑為（）

1

A、2B、2c、1D、3

8、cosx的麥克勞林級數(shù)為（）

03030

工(—1廠上E(T)“上E（-i）”上

A、尸。(2〃)！B、k1(2〃)！c。=0（2〃）！口、

m

y(-l)Wx2n-l

n=o(2n—1)!

9、微分方程（y'、）4+（y'）5+y'+2=0的階數(shù)是（）

A、一階B、二階C、三階D、四階

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根為()

A、-2,-IB、2,IC、-2,ID、1,-2

二、填空題（本題共5小題，每題4分,共20分）

早=上早=2的夾角為

1直線L1：x二y二z與直線L2：L—1

直線L3；號呼亭平面3X+2,3。之間的夾角為

2、（0.98）2.03的近似值為?sinl00的近似值為。

jyda,D:x2+y2^l的值為

3、二重積分o0

0303

?!燈的收斂半徑為￡?duì)I的收斂半徑為

4、累級數(shù)k0,n=0

5、微分方程y'=xy的一般解為,微分方程xy'+y=y2的解為

三、計(jì)算題（本題共6小題，每小題5分，共30分）

1、用行列式解方程組-3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

2、求曲線x=t,y=t2,z二t3在點(diǎn)（1,1,1）處的切線及法平面方程.

jjxyd%其中D由直韌=1,乂=2如二上圍成

3、計(jì)算o

□0

E（-l）、in；收斂嗎？若收斂則是條件收斂還是絕對收斂?

4、問級數(shù)

5、將函數(shù)f(x)二e3x展成麥克勞林級數(shù)

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、應(yīng)用題(本題共2小題，每題10分，共20分)

1、求表面積為a2而體積最大的長方體體積。

2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不

斷減小，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原

子的含量M成正比，(已知比例系數(shù)為k)已知匕0時(shí)，鈾的含量為M0,求在

衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律。

參考答案

一、選擇題

1、D2、C3sC4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空題

2、0.96,0.17365

Ji4、0,+3

三、計(jì)算題

1、-32-8

解：△二2-53=(-3)x-53-2x23+(-8)2-5=438

17-57-51-5

172-8

△x=3-53=17x-53-2x33+(-8)x3-5=-138

27-57-52-527

同理：

-317-8

△y=233=276,Az=414

12-5

AxAy?Az

所以，方程組的解為

2、解；因?yàn)閤=t,y=t2,z=t3,

所以xt=l,yt=2t,zt=3t2,

所以x11t=l=1,y11t=l=2,zt|t=l=3

故切線方程為：1—2一3

?

法平面方程為：(xl)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因?yàn)镈由直線y=l,x=2,y=x圍成,

所以

D：1<y<2

y<x<2

231

xydx]dy=f(2y-y')dy=l才

8

松HE

4、解：這是交錯(cuò)級數(shù)，因?yàn)?/p>

外=3113)°，所以/〃41代〃，旦‘加4/4=°，所以該皴數(shù)為萊布尼茲型極數(shù)，故收斂。

00sin—mm

又fsin；當(dāng)工趨于0時(shí)用nx~x,所以,lim—^二=1,又級數(shù)發(fā)散《從而工§而：發(fā)散。

e-9ee

所以，原級數(shù)條件收斂。5、

111

e*=l+x+—x2+—x3+?-+—xn+<-

2!3!n!

解：因?yàn)閄￡(_R,+8)

用2x代X,得：

1o1o1

^=14-(2x)+-(2x)2+-(2x)^^+-(2x)n+^

222324

=l+2x+—x2+—x34---+—xn+--

2!3!n!

XE(-8,+8)

6、解：特征方程為r2+4r+4=0

所以，(r+2)2=0

得重根r1=r2=-2,其對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)解為y1=e-2x,y2=xe-2x

所以，方程的一般解為y=(cl+c2x)e?2x

四、應(yīng)用題

1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為x,y,z

則2(xy+yz+zx)=a2

構(gòu)造輔助函數(shù)

2

F(xy/z)=Xyz+(^xy4-2yz+2zx—a)

求其對x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為0,得：

{”+24(y+z)=0

xz+2人(x+z)=0

xy+22(x+y)=O

與2(xy+yz+zx)-a2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

&a

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=6

底03

二H

所以，表面積為a2而體積最大的長方體的體積為

2、解：據(jù)題意

at

其中外0為常數(shù)

初始條件

對于需=TM式

兩端積分得比M=-At4-lnC

而以,M=ce”￡

又因?yàn)?/p>

所以,%=C

所以,M=MQGT￡

由此可知，鈾的衰變規(guī)律為?鈾的含量隨時(shí)間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減。

《高數(shù)》試卷4（下）

選擇題：3X10=301

1.下列平面中過點(diǎn)(1,1J)的平面是.

(A)x+y+z=0(B)x+y+z=1(C)x=1(D)

x=3

2.在空間直角坐標(biāo)系中，方程、2+y2=2表示

（A）圓（B）圓域（C）球面（D）圓柱面

22

3.二元函數(shù)z=(l-x)+(l-y)的駐點(diǎn)是

(A)(0,0)(B)(0,1)(O(1,0)(D)(1,1)

dxdy=

4,二重積分的積分區(qū)域D是I<x24y2?4,則D

(A)n(B)471(C)37r(D)157r

5.交換積分次序后l1rx

dx]f(xty)dy=

i

f(xty)dxf(x,y)dx

(A)(B(C)

r(xj)dxf(3)dx

6.n階行列式中所有元素都是1,其值是

(A)n(B)0(On!(D)1

7.對于n元線性方程組，當(dāng)『(4)=『(')=r時(shí)，它有無窮多組解，則

(A)r=n(B)r<n(C)r>n(D)無法確定

8,下列級數(shù)收斂的是

m4

(B)(C)尸1(D)

9.正項(xiàng)級數(shù)"=1和"=1滿足關(guān)系式則

%

(A)若?=1收斂,則加=1收斂（B）若。=1收斂,則0=1收斂

□□

(C)若11發(fā)散,則I發(fā)散（D）若。=1收斂,則“1發(fā)散

1,1

—=l+x+x29+*?

10.己知：I則的基級數(shù)展開式

為

(A)1+謁+*4+…(g)—14-X2—x44-**e(c)-1—x2—x4—???

(D)l-x24-x4-

二填空題；4'X5=2（r

1.數(shù)戶"2+,_1+皿2-/一,）的定義域?yàn)?/p>

rd11=

2,若r（x,，）w,則八x'>

3.已知（X。/。）是fUM的駐點(diǎn)，若

廣八出,九）=3,/"區(qū),九）=12/皿幾,九）=。則

當(dāng)時(shí)，（x°JJ—定是極小點(diǎn).

4.矩陣A為三階方陣，則行列式|34|=\A\

B

5.級數(shù)"=1收斂的必要條件是

三.計(jì)算題㈠：6*5=3優(yōu)

dzdz

1.已知；片二犬/,求:哉,而,

2.計(jì)算二重積分D,其中

D={(x,y)4T2,0＜弁＜2}

1

01

1

001

0

3.已知：XB=A,其中A=B=

求未知矩陣X.

E（T）n-1^2

n

4.求幕級數(shù)n=l的收斂區(qū)間.

5.求ra）二6一”的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間）.

四.計(jì)算題（二）：15x2=20'

1.求平面x—2y+z=2和2x+y-z=4的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Ax+/+z=l

?x+Ay+z=l

x+y+Az=l.

2.設(shè)方程組，試問；入分別為何值時(shí)，方程組無解、有唯一

解、有無窮多組解.

參考答案

一,1,C；2.D：3,D；4,D；5,A；6.B；7,B；8.C；

9.B：10.D.

y_

二.1.{（2）|1攵2+,<2}2.X3,-6<fl<64,27

lim?ff=0

5."tb

dz.dz

--yy-i—=x>lny

四，i.解：以X

2.解：

2*3216

2=

：一~—

g臼do=Jdx『gdy=J(4-x)dx=4x=T

0

17

10

B-=01

-415

001

3.解:

n-1

4.解：R=l.當(dāng)|x|(1時(shí)，級數(shù)收斂，當(dāng)X=1時(shí)，得。=1收斂,

cn4彳b

當(dāng)x=T時(shí)，得〃二1n=l發(fā)散，所以收斂區(qū)間為

XW(-8,+8),所以

□□□□

e

ZJn\An!

n=0n=0X6(-8,+8)

—?

四.1.解；，求直線的方向向量;

曰//

求點(diǎn)：令z=0,得y=0,x=2,即交點(diǎn)為(2,0.0),所以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為135

2.解:

⑴當(dāng)入=-2時(shí),M，）=2,⑷=3,無解；

_________J_

（2）當(dāng)入/1,人大一2時(shí)，r（4）=（7）=3有唯一解：'一丁一"2+吊

x=l-c1-c2

1y=6

（3）當(dāng)入=1時(shí)，r（力）=（4）=1,有無窮多組解：I（仃"2為

任意常數(shù)）

《高數(shù)》試卷5（下）

一、選擇題（3分/題）

1、已知“=i+j,b=_k,則QX力二（）

—?T—?—?TT

AOB"jCi+jD-i+j

2、空間直角坐標(biāo)系中x2+y2=l表示（）

A圓B圓面C圓柱面D球面

sinxy

z=------

3、二元函數(shù)X在（0,0）點(diǎn)處的極限是（）

A1B0C00D不存在

1]

JdxJf（x,y）dy

4、交換積分次序后0'=（）

1]1

JdyJf(xty)dxJdyJf(xty)dx

A00Bx°

1]1

JdyJf(xty)dxJdyJ/(xj)dx

C0yDO°

JJ*dxdy=

5、二重積分的積分區(qū)域。是,|4|y|41,則D()

A2B1C0D4

6、n階行列式中所有元素都是1,其值為()

AOBICnDn!

7、若有矩陣A3X2,52X3,C3X3,下列可運(yùn)算的式子是()

AACBCBcABCQAB—AC

8、n元線性方程組，當(dāng)r(4)=r(4)=r時(shí)有無窮多組解，則()

Ar=nBr<nCr>nD無法確定

9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式()

A必等于零B必不等于零

C可以等于零，也可以不等于零D不會都不等于零

GDGD

10、正項(xiàng)級數(shù)。=1和冗三1滿足關(guān)系式“元$丫冗，則()

□□□□□□□□

A若"=1收斂，則"=1收斂B若"=1收斂，則加二1收斂

E%工外%

C若發(fā)散