77空間幾何體的外接球（精講）

7.7空間幾何體的外接球（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一漢堡模型【例1】（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將三棱錐放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖示：則三棱錐的外接球就是一個(gè)長(zhǎng)方體的外接球，因?yàn)?，，為直角三角形，所?設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R，則，故.所以外接球的表面積為.故選：B.【一隅三反】1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知正三棱柱的高與底面邊長(zhǎng)均為2，則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三棱柱，取三棱柱的兩底面中心，，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則為正三棱柱外接球的半徑．∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中心，∴．又∵，∴．∴正三棱柱外接球的表面積．根據(jù)題意可知，當(dāng)球半徑是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時(shí)，此時(shí)正三棱柱內(nèi)的球半徑最大，即，所以正三棱柱內(nèi)半徑最大的球表面積為，2．（2021·吉林高三月考（文））已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，且，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，且，，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖所示：∴長(zhǎng)方體的外接球即是三棱錐的外接球，∵，，∴長(zhǎng)方體的外接球的半徑為：，∴球的表面積為：，故選：D．3．（2021·普寧市第二中學(xué)）三棱錐中，平面，，的面積為3，則三棱錐的外接球體積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為3，所以，，利用正弦定理得，所以三角形ABC外接圓半徑為，平面，所以球心O到平面ABC的距離為，設(shè)球O的半徑為R，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三棱錐的外接球體積的最小值為.選：C4．（2021·河南洛陽(yáng)市）已知四棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面，，，若球的表面積為，則四棱錐的體積為（）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】，，，與全等，，易知、、、四點(diǎn)共圓，則，，所以，四邊形的外接圓直徑為，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，解得，由底面，底面,所以又,且，所以平面,又面PAB，所以同理可證：設(shè)為為的中點(diǎn),則由直角三角形的性質(zhì)可得：所以四棱錐外接球的球心，即為其直徑，即，所以故選：B考點(diǎn)二墻角模型【例2】（1）（2021·天津高三二模）長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且，則球面面積為（）A． B． C． D．（2）（2021·河北衡水市）已知正三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．3 C．6 D．9【答案】（1）D（2）C【解析】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，所以球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)球的半徑為，因?yàn)椋?，，所以，球的表面積為，故選：D.（2）正三棱錐的外接球即是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，所以外接球的直徑，所以,外接球的表面積，故選：C【一隅三反】1．（2021·海原縣第一中學(xué)高三二模（文））已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.【答案】【解析】平面，平面，，，又，，，，，則可將三棱錐放入如下圖所示的長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的半徑，球的表面積.故答案為：.2．（2021·天津高三一模）已知正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)球的表面積為，則這個(gè)正方體的體積為___________.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，所以球的半徑，因?yàn)檎襟w的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，所以正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以.所以正方體的體積為.故答案為：3．（2021·全國(guó)高三二模（文））已知長(zhǎng)方體的體積為，，則當(dāng)長(zhǎng)方體的表面積最小時(shí)，該長(zhǎng)方體外接球的體積為__________.【答案】【解析】設(shè)，，因?yàn)?，由已知條件可得，解得，所以，長(zhǎng)方體的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，該長(zhǎng)方體的外接球直徑為，則，因此，長(zhǎng)方體的外接球的體積為.故答案為：.考點(diǎn)三斗笠模型【例3】（2021·沙坪壩區(qū)）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設(shè)外接球半徑為，又，則，由得，解得，所以表面積為．故選：D．【一隅三反】1．（2021·江西師大附中高三三模（文））正三棱錐P－ABC底面邊長(zhǎng)為2，M為AB的中點(diǎn)，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖，設(shè)，則，而，因?yàn)镻M⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由對(duì)稱性可知：三棱錐P－ABC外接球的球心在三棱錐P－ABC的高PD上，假設(shè)為O點(diǎn)，則，因?yàn)?所以，又由于點(diǎn)D是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的體積為.故選：C2．（2021·廣西來賓市·高三其他模擬（文））已知在高為2的正四棱錐中，，則正四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方形ABCD的中心為О，正四棱錐外接球的半徑為，有，，解得，則正四棱錐外接球的體積為.故選：B3．（2021·寧夏銀川市·高三二模（理））已知一個(gè)圓錐的底面面積為，側(cè)面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于___________.【答案】【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線為l，則，又圓錐側(cè)面展開圖是半圓，，如圖是圓錐的正截面，則，則外接球球心即正三角形的外接圓圓心，且半徑即外接球半徑，其半徑為，則外接球表面積為故答案為：16π考點(diǎn)四L模型【例4】（2021·江西高三）在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，，所以，，設(shè)是中點(diǎn)，則是外心，又是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱錐外接球的球心，所以球半徑，球體積為．故選：C．【一隅三反】1．（2021·四川雅安市）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面體ABCD中，取AB的中點(diǎn)E，連CE，DE，如圖：因，則，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，在平面CDE內(nèi)分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點(diǎn)O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圓性質(zhì)知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點(diǎn)O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，因平面平面，則，而，即有四邊形OO1EO2是正方形，則，中，，則，所求外接球的表面積.故選：B2．（2021·重慶九龍坡區(qū)·高三二模）在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，是等邊三角形，則因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，過作平面，則，因?yàn)椋匀忮F的外接球的球心在上，設(shè)球心為，連接，設(shè)外接球半徑為，由已知，，，，在直角梯形中，，，，所以球表面積為．故選：C．3．（2021·四川瀘州市·高三三模（文））已知三棱錐中，平面平面，若，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，因?yàn)?，所以為等邊三角形，取BD中點(diǎn)M，連接CM，則外接圓圓心在CM上，且設(shè)為，由正三角形性質(zhì)可得，外接圓半徑，則，在中，，AD=BD=1，所以，即，由正弦定理得外接圓半徑，設(shè)外接圓圓心為，則，所以四邊形為菱形，過作平面BCD的垂線，過作平面的垂線，兩線交于點(diǎn)O，則O為三棱錐的外接球的球心，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以四邊形為矩形，則，所以三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積.故選：D考點(diǎn)五矩形模型【例5】（2021·湖北襄陽(yáng)市）若矩形ABCD的面積是4，沿對(duì)角線AC將矩形ABCD折成一個(gè)大小是60°的二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榍蛐牡剿膫€(gè)頂點(diǎn)的距兩相等,所以球心在對(duì)角線上,且半徑為，設(shè)矩形的的長(zhǎng)力x,寬為y則，所以，又，由基本不等式知:，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，故選：B【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高三月考（文））在矩形中，，沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵诜圻^程中，始終不變，所以的中點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離始終相等，三棱錐外接球的直徑為，所以外接球的表面積為，故選：D2．（2021·天津河西區(qū)·高三一模）將長(zhǎng)、寬分別為和的長(zhǎng)方形沿對(duì)角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：由題意，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，所以，為四面體的外接球的球心，且球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：A.3．（2021·四川眉山市·高三三模（理））中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個(gè)面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”.如圖所示的鱉臑中，面，，若，，且頂點(diǎn)均在球上，則球的表面積為______.【答案】【解析】由題意可知：球?yàn)轺M臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中點(diǎn)，連接，，，同理可知：，點(diǎn)與球的球心重合，球的半徑，球的表面積.故答案為：.考點(diǎn)六懷表模型【例6】（2021·廣西南寧三中）已知，，，四點(diǎn)都在某個(gè)球表面上，與都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角的大小為，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)球心為，取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，，由題意得，，是二面角的平面角，，由題意得平面，分別取，的三等分點(diǎn)，，在平面內(nèi)，過點(diǎn)，分別作直線垂直于，，兩條直線的交點(diǎn)即球心，連結(jié)，則球半徑，由題意知，，，，連結(jié)，在中，，，，球的表面積為.故選：B【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得二面角為，此時(shí)點(diǎn)、、、在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖分別取，的中點(diǎn)、，連，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)的菱形，，故，在等腰三角形中，有，故，由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長(zhǎng)線上，如圖，連接，.設(shè)球的半徑為，，則，所以，解得，則，∴球的表面積，故選：B．2．（2021·安徽高三一模（文））在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將菱形沿其對(duì)角線折成直二面角，若四點(diǎn)均在某球面上，則該球的表面積為___________.【答案】【解析】在邊長(zhǎng)為的菱形中，，，，則，均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，，，分別取的中心，過分別作兩個(gè)平面的垂線，交點(diǎn)為，則即為所求球的球心，且四邊形為矩形，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，球的半徑，球的表面積.故答案為：.考點(diǎn)七其他模型外接球【例71】（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，二面角的余弦值為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，該四棱錐的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵四棱錐的底面面積為定值，故當(dāng)四棱錐的高最大時(shí)，其體積最大，∵二面角的余弦值為為定值，故當(dāng)中邊上的高最大時(shí)，四棱錐的高最大，又，∴當(dāng)時(shí)，邊上的高最大，此時(shí)四棱錐的圖象如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)的外心為，連接，在上取一點(diǎn)使其滿足，∴，，∴，，，，，，∵、，∴為二面角的一個(gè)平面角，∴，故，∴，∴，∴，∵、，，∴平面，∴，又，∴平面，∴為四棱錐的外接球的球心，由，解得，故該四棱錐的外接球的體積為，故選：C.【例72】（2021·山西太原市·高三二模（理））已知三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，以為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系過點(diǎn)作的垂線二面角的大小為，又外接圓的圓心在的中點(diǎn)三棱錐外接球的球心在過的中點(diǎn)且垂直于平面上設(shè)由得，解得該幾何體外接球的半徑即三棱錐外接球的表面積為故選：B3．（2021·四川高三月考（理））等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折起到，使得，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為______．【答案】7π【解析】由題意知中，，由余弦定理可得，所以外接圓半徑．由題意可知平面，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，則易得三棱錐的外接球的球心即三棱柱的上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，設(shè)圓心到底面的距離為，則，根據(jù)球的性質(zhì)可得球的半徑滿足，所以該球的表面積為．故答案為：7π考點(diǎn)八內(nèi)切球【例8】（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知,該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都為，連接.底面，.，，，.設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，球心為，由，得，即，解得，故四棱錐內(nèi)切球的體積為.故選：B.【一隅三反】1．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，，，，若三棱錐有一個(gè)內(nèi)切球，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因平面，則，而，，于是得平面，，而，，又，，則有，三棱錐的表面積為，連