專題12立體幾何初步

專題12立體幾何初步一、一、核心先導(dǎo)二、考點(diǎn)再現(xiàn)二、考點(diǎn)再現(xiàn)【考點(diǎn)1】空間幾何體的結(jié)構(gòu)（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（3）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（4）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（5）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（6）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（7）球球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:

【考點(diǎn)2】柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積1、柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積幾何體表面積體積柱體（棱柱，圓柱）椎體（棱錐，圓錐）臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）球2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)圖示側(cè)面積公式【考點(diǎn)3】點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1、與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)（1）基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

數(shù)學(xué)語言：,,三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使,,.（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

數(shù)學(xué)語言：,,且,（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

數(shù)學(xué)語言：,且,且2、基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

3、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言相交關(guān)系圖形語言圖形語言獨(dú)有關(guān)系圖形語言圖形語言與是異面直線三、三、解法解密方法一：平行1、直線與平面平行（1）直線與平面平行的定義直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線與平面平行.（2）直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號表述：（3）直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行符號表述：，，2、平面與平面平行（1）平面與平面平行的定義兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)（2）平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.符號表述：（3）平面與平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.符號語言性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行與另一平面符號語言：方法二：垂直1、直線與平面垂直（1）直線和平面垂直的定義如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫垂足.符號語言：對于任意，都有.（2）直線和平面垂直的判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡記：線線垂直線面垂直符號語言：，，，，（3）直線和平面垂直的性質(zhì)定理定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內(nèi)所有直線.符合語言：，.性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符合語言：，2、平面與平面垂直2.1、平面與平面垂直的定義（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.（2）符號語言:（3）圖形語言2.2、平面與平面垂直的判定（1）定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號（圖形）語言:，2.3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(2)符號（圖形）語言：，，.四、四、考點(diǎn)解密題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、直觀圖例1．（1）、（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)矩形邊長為1和2，繞它的長為2的邊旋轉(zhuǎn)一周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為______．【答案】##【詳解】該幾何體為圓柱，側(cè)面展開圖為矩形，其中，，將問題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn)，使最短．作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，令與交于點(diǎn)，則得的最小值就是，其中BE=2+1=3，所以．故答案為：（2）、（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，圓柱的底面半徑為2，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在圓柱的下底面圓上，若圓柱的側(cè)面積為，且，則（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積為可求得圓柱母線長，又因?yàn)锳BCD是圓柱的軸截面，可知與圓柱的上下底面垂直，且是下底面圓的直徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算可得，即可得出.【詳解】如下圖所示：設(shè)圓柱的母線長為l，由圓柱的側(cè)面積為可得，得，連接AE，則，連接BE，則，故，故.故選：A.【變式訓(xùn)練11】、（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高一期末）若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，則原四邊形的面積為____________【答案】【詳解】在直觀圖中，四邊形為直角梯形，，而，則，由斜二測畫法得原四邊形是直角梯形，，，，如圖：所以四邊形的面積為.故答案為：【變式訓(xùn)練12】、（2022·云南·玉溪市民族中學(xué)模擬預(yù)測（文））《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若一個(gè)直角圓錐的體積是它的表面積的倍，則該直角圓錐的高為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)直角圓錐的性質(zhì)求出圓錐的高、母線長與圓錐的底面半徑之間的關(guān)系，再根據(jù)圓錐體積與表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)直角圓錐的高為h，底面圓的半徑為r，母線長為l，因?yàn)橹苯菆A錐的軸截面為等腰直角三角形，所以．因?yàn)橹苯菆A錐的體積是它的表面積的倍，所以，解得.故選：D.題型二:空間幾何體的表面積與體積、三視圖例2．（1）、（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）法國羅浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀（如圖所示），已知塔高，底寬，則塔身的表面積（精確到是（可能用到的參考數(shù)據(jù)：，A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，正四棱錐，底面，，，則，所以，作，則所以該塔身的表面積故選：．（2）、（2023·全國·模擬預(yù)測）唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2），當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)圓柱和球的表面積公式求得，再根據(jù)圓柱和球的體積公式求出酒杯和半球的體積，結(jié)合題意求得的范圍，即可得解.【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，則，所以,酒杯的體積，半球的體積，因?yàn)榫票娜莘e不大于半球體積的2倍，所以，解得，又因，所以，所以.故選：D. （3）、（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，某多面體的體積是，其三視圖如圖所示，則正視圖中的高（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由三視圖還原出原幾何體，確定其結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)體積公式計(jì)算可得．【詳解】由三視圖還原出原幾何體為三棱錐，如圖所示，結(jié)合三視圖得該三棱錐體積為：，所以.故選：B.（4）、（2022·全國·模擬預(yù)測（文））《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為________．【答案】【分析】由三視圖確定三棱柱的底面面積和高，即可求得答案.【詳解】由“塹堵”的三視圖可知，直三棱柱的底面直角三角形斜邊為2，其上的高為1，三棱柱高為2，原幾何體如圖示：則底面積為，故三棱柱的體積為：，故答案為：2【變式訓(xùn)練21】、（2022·浙江·太湖高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）一個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高.北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”如圖深受廣大市民的喜愛，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時(shí)代，以及面向未來的無限可能它的外形可近似抽象成一個(gè)球缺與一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體如圖已知該圓臺(tái)的底面半徑分別和，高為，球缺所在球的半徑為，則該組合體的體積為_____.附：圓臺(tái)體積公式，其中分別表示圓臺(tái)上下底面面積，為圓臺(tái)高.【答案】【詳解】解：如圖作出幾何體的軸截面如下所示：依題意可得，，，，所以，則，所以，，所以幾何體的體積；故答案為：【變式訓(xùn)練22】、（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）寧波老外灘天主教堂位于寧波市新江橋北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光緒二十五（1899年）增建鐘樓，整座建筑由教堂、鐘樓、偏屋組成，造型具有典型羅馬哥特式風(fēng)格.其頂端部分可以近似看成由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正方體組成的幾何體，且正四棱錐的側(cè)棱長為，其底面邊長與正方體的棱長均為，則頂端部分的體積為__________.【答案】【詳解】解：依題意可得如下直觀圖，，，設(shè)與的交點(diǎn)為，則為正四棱錐的高，所以，，所以，，所以【變式訓(xùn)練23】、（2022·四川·模擬預(yù)測（文））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A． B．8 C． D．10【答案】D【分析】多面體的直觀圖可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成，根據(jù)三視圖尺寸求出對應(yīng)體積即可【詳解】多面體的直觀圖如圖所示，它可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成，，則直三棱柱體積為，四棱錐體積為，所以多面體的體積為.故選：D【變式訓(xùn)練24】、（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的外接球的表面積為________．【答案】【分析】該幾何體的直觀圖是四面體，將其放入正方體，其外接球即為該正方體的外接球，求出正方體外接球的半徑即可求出外接球的表面積.【詳解】該幾何體的直觀圖是下圖中的四面體，，其外接球即為該正方體的外接球，直徑為，即故外接球表面積為．故答案為：.題型三：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例3．（1）、（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】在正方體中，記底面ABCD為，EF為m，EH為n，顯然A不正確；記底面ABCD為，EF為m，平面CDHG為，故排除C；記底面ABCD為，EF為m，平面ABFE為，可排除D；由線面垂直的性質(zhì)可知B正確.故選：B（2）、（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)，為不重合的直線，，，為不重合的平面，下列是成立的充分條件的有___________（只填序號）.①，②，，③，④，【答案】④【分析】根據(jù)線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面的位置關(guān)系易知，①②③中面和面可能相交也可能平行，④若且，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故④正確.故答案為：④（3）、（2020·四川瀘州·一模（理））如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），有下列結(jié)論:①平面平面;②多面體的體積為定值;③直線與所成的角可能為;④可能是鈍角三角形.其中結(jié)論正確的序號是____________（填上所有序號）.【答案】①②④【分析】由面面垂直的判定定理可知①正確，由等體積法可知②正確，由直線與所成的角的最大值小于可知③錯(cuò)誤，由可知④正確.【詳解】對于①，正方體中，，，平面平面平面平面，故①正確;對于②，到平面的距離，三棱錐，為定值，故②正確;對于③，易得BC∥，即為直線與BC所成角，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是直角三角形，，所以，而此時(shí)直線與所成的角是最大角，所以直線與所成的角不可能為，故③錯(cuò)誤；對于④，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如上圖所示：由題得，設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即是鈍角.此時(shí)是鈍角三角形.故④正確.故答案為：①②④【變式訓(xùn)練31】、（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，為不重合的平面，，為不重合的直線，則其中正確命題的序號為（

）①，，則；

②，，，則；③，，，則；④，，，則．A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【詳解】①中，，可以相交并垂直于，①錯(cuò)誤；②中，或或、相交（不一定垂直），②錯(cuò)誤；③中，如圖，將直線、平移交于點(diǎn)，設(shè)過直線、的平面為，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，、，所以∥，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故③正確；④中，如圖，設(shè)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，分別過作，垂足分別為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，故④正確，故選：D.【變式訓(xùn)練32】、（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，是兩條不同的直線，是平面，且，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行、線線平行、線面垂直、線線垂直的條件逐一判斷即可．【詳解】解：依題意，若，則可能，∴A錯(cuò)誤；若，則與可能相交、異面、平行，∴B錯(cuò)誤；若，則可能，，與相交，∴C錯(cuò)誤；由于，∴平面內(nèi)存在直線，滿足，若，則，則，∴D正確．故選：D．【變式訓(xùn)練33】、（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在矩形內(nèi)，且到底面的距離是到的距離的倍，點(diǎn)在正方形內(nèi)，且到面的距離等于到直線的距離，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．對于任意，，直線與直線不共面B．對于任意，，直線與直線不垂直C．至少存在兩組，，使得直線與直線共面D．至少存在兩組，，使得直線與直線垂直【答案】D【分析】由題意可知點(diǎn)的軌跡為橢圓，點(diǎn)的軌跡為拋物線，結(jié)合圖象的旋轉(zhuǎn)與平移即可求解【詳解】對于A：根據(jù)圓錐曲線的定義，點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡為橢圓（以為焦點(diǎn)，為長軸），點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為以A為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.當(dāng)且僅當(dāng)在平面內(nèi)時(shí)，與共面，（或以一個(gè)動(dòng)平面繞著旋轉(zhuǎn)過程中與P的軌跡和Q的軌跡不會(huì)同時(shí)有交點(diǎn)可得），所以對于任意，直線與不共面，故A正確；對于B：設(shè)垂直于直線的平面由C往D平移，平移過程中與P的軌跡和Q的軌跡不會(huì)同時(shí)有交點(diǎn)亦可得：直線與直線不垂直，故B正確；對于C：當(dāng)與的軌跡相交，為任意一點(diǎn)時(shí)，直線與直線共面，故C正確；對于D：判斷方法同AB，可知D錯(cuò)誤.故選：D.題型四:空間幾何體的外接球例4．（1）、（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知，，，為球的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，且，四棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定四棱錐底面四邊形形狀，令，再建立r的函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.【詳解】因，則平面過球O的球心O，又的中點(diǎn)為，則點(diǎn)E是以AB為直徑的球的截面小圓圓心，連接，如圖，則，四邊形為梯形，令球O的半徑為，設(shè)，則，四棱錐體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)梯形面積最大，并且點(diǎn)D到平面的距離最大，顯然球面上的點(diǎn)D到平面的最大距離為R，梯形面積，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，在是遞減，因此當(dāng)時(shí)，，，于是得四棱錐體積的最大值為，解得，所以球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及某些幾何體面積、體積問題最值，可以引入變量建立函數(shù)關(guān)系，再求解函數(shù)最值作答.（2）、（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（理））在三棱錐中，，，，的中點(diǎn)為，的余弦值是，若都在同一球面上，則該球的表面積是______．【答案】【分析】根據(jù)二面角的定義可得為的平面角，利用圖中的垂直關(guān)系和直線與平面垂直的判定定理可得以為頂點(diǎn)可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為的正方體，則正方體的對角線為球的一條直徑，進(jìn)而可得到三棱錐外接球的表面積,【詳解】如圖所示：因?yàn)橹悬c(diǎn)為，連接，，則由，，得出，，所以為的平面角，又因?yàn)槠矫?，所以面，因?yàn)槊妫?，又因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，且，又因?yàn)椋?，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，滿足，所以，即，又，，、面，所以面，又因?yàn)槊?，所以兩兩垂直，以為頂點(diǎn)可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為的正方體，都在正方體的外接球上，則正方體的對角線為球的一條直徑，所以，，所以球的表面積．故答案為：． 【變式訓(xùn)練41】、（2023·全國·模擬預(yù)測（理））若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出外接圓直徑，結(jié)合錐體體積公式及球面的性質(zhì)求出球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】如圖，設(shè)的中心為，連接，的延長線交球面于點(diǎn)D，連SD，顯然CD是外接圓的直徑，則，而平面ABC，則平面ABC，因正邊長為3，則，，又，而，解得，在中，球O的直徑，球O的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為.故選：D【變式訓(xùn)練42】、（2019·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））同底面的兩個(gè)正三棱錐和的頂點(diǎn)，，，，均在球的球面上，已知，且兩個(gè)三棱錐的高的比為，則球的表面積為___________.【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，正三棱錐，的高為，，則由題意可得，，表示出，可求出球心到平面的距離，然后利用勾股定理可求出球的半徑，從而可求出球的表面積.【詳解】設(shè)球的半徑為，正三棱錐，的高為，，則，，解得，，∴球心到平面的距離為，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的外心，則在上，又∵，∴，∴在中，，即，解得，∴球的表面積為.故答案為：五、五、分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖1是文祥塔，位于浙江省溫州市泰順縣城南象山之上，初名象山塔，后人重修時(shí)易名為文祥塔．已知該塔六面七層且第七層塔身可近似地視為一個(gè)高2.8m、底面邊長為2m的正六棱柱，塔頂可近似地視為一個(gè)高1m的正六棱錐，如圖2所示，則該塔的第七層塔身及其塔頂?shù)谋砻娣e之和約為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件，解三角形求正六棱錐的側(cè)面的高，再結(jié)合三角形面積公式和矩形面積公式分別求六棱錐的側(cè)面積和六棱柱的側(cè)面積即可.【詳解】如圖，設(shè)正六棱錐的底面正六邊形的中心為O，則為等邊三角形，連接點(diǎn)與邊的中點(diǎn)，連接，由已知可得，，因?yàn)檎呅蔚倪呴L為2，所以．又正六棱錐的高，故正六棱錐的側(cè)面的高為，則該塔的第七層塔身及其塔頂?shù)谋砻娣e之和為，故選：A．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）米斗是我國古代官倉，糧棧?米行必備的用具，是稱量糧食的量器.如圖是一種米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形狀為正四棱臺(tái)，且上口寬為18cm，下口寬為24cm，則高約為（

）A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm【答案】C【分析】設(shè)該米斗的高為hcm，結(jié)合臺(tái)體體積公式可求.【詳解】設(shè)該米斗的高為hcm，由臺(tái)體的體積公式可得，解得.故選：C.3．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（文））年詹希元?jiǎng)?chuàng)制了“五輪沙漏”，流沙從漏斗形的沙池流到初輪邊上的沙斗里，驅(qū)動(dòng)初輪，從而帶動(dòng)各級機(jī)械齒輪旋轉(zhuǎn)．最后一級齒輪帶動(dòng)在水平面上旋轉(zhuǎn)的中輪，中輪的軸心上有一根指針，指針則在一個(gè)有刻線的儀器圓盤上轉(zhuǎn)動(dòng)，以此顯示時(shí)刻，這種顯示方法幾乎與現(xiàn)代時(shí)鐘的表面結(jié)構(gòu)完全相同．已知一個(gè)沙漏的沙池形狀為圓雉形，滿沙池的沙漏完正好一小時(shí)（假設(shè)沙勻速漏下），當(dāng)沙池中沙的高度漏至一半時(shí)，記時(shí)時(shí)間為（

）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)【答案】D【分析】設(shè)沙漏的底面半徑為，高為，然后根據(jù)題求出當(dāng)沙池中沙的高度漏至一半時(shí)，所剩余的沙的體積，從而可求出漏下的沙子體積與總體積的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)沙漏的底面半徑為，高為，則沙的體積為，當(dāng)沙池中沙的高度漏至一半時(shí)，所剩余的沙形成的圓錐的高為，底面半徑為，所以所剩余的沙的體積為所以漏下的沙子體積為總體積的，故記時(shí)時(shí)間為小時(shí)．故選：D4．（2022·廣西北海·一模（理））如圖所示幾何體是底面直徑為2，高為3的圓柱的上底面挖去半個(gè)球，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，該幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積，圓柱的一個(gè)底面面積和半個(gè)球面面積的和，再依次計(jì)算求和即可.【詳解】解：根據(jù)題意，該幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積，圓柱的一個(gè)底面面積和半個(gè)球面面積的和.因?yàn)閳A柱底面直徑為2，高為3，所以，圓柱的側(cè)面積為，一個(gè)底面面積為，半個(gè)球面的面積為，所以，該幾何體的表面積為．故選：B5．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，圓形紙片的四分之一扇形（陰影部分）是圓錐A的側(cè)面展開圖，其余部分是圓錐B的側(cè)面展開圖，則圓錐A與圓錐B的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積可得兩圓錐的底面圓半徑關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為r，圓錐A與B的底面半徑分別為，由題意知,解得,圓錐A的表面積，圓錐B的表面積，故．故選:B6．（2022·四川省南充市高坪中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積等于（

）A． B．160 C． D．【答案】D【分析】由三視圖復(fù)原幾何體直觀圖，確定相關(guān)棱長，根據(jù)表面積公式即可求得答案.【詳解】由三視圖可知，幾何體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐CSAB，如圖示：其中直三棱柱的側(cè)棱長為8，底面為直角三角形，且，故幾何體的表面積為：，故選：D7．（2019·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】作出原幾何體四棱錐，確定四棱錐的結(jié)構(gòu)、尺寸，然后由體積公式計(jì)算體積．【詳解】該幾何體是一個(gè)底面為梯形的四棱錐，平面，，底面是直角梯形，，，，其體積.故選：C.8．（2018·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（文））某幾何體的三視圖如圖所示，其中正、側(cè)視圖中的三角形是邊長為2的正三角形，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三視圖還原組合體的形狀為一個(gè)圓錐與一個(gè)球組成，再結(jié)合圓錐與球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】該幾何體由一個(gè)圓錐與一個(gè)球組成，圓錐的底面和球的半徑為1，故其表面積為．故選:D.9．（2022·上?！つM預(yù)測）如圖，正方體中，M是的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線相交，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線AC異面，直線平面D．直線與直線垂直，直線∥平面【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來研究直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系較為簡單，用向量的共線定理證明兩直線是否平行或異面，根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直或平行，得出直線與平面是否平行或垂直，再對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，又M為的中點(diǎn)，故可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，故可得．設(shè)平面的法向量為則，即，不妨取，故可得．對A：因?yàn)?，，故BM，不相交，故錯(cuò)誤；對B：，，不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB，不平行，故錯(cuò)誤；對C：，平面的法向量為，不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB與平面不垂直，故錯(cuò)誤；對D：，，則，故直線MB與垂直；又，故MB與平面平行，故正確；故選：D．10．（2017·上海普陀·二模）設(shè)l、m是不同的直線，、是不同的平面，下列命題中的真命題為（）A．若l∥，m⊥，l⊥m，則⊥ B．若l∥，m⊥，l⊥m，則∥C．若l∥，m⊥，l∥m，則⊥ D．若l∥，m⊥，l∥m，則∥【答案】C【分析】在A中，與相交或平行；在B中，與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得⊥；在D中，由面面垂直的判定定理得⊥．【詳解】解：由l、m是不同的直線，、是不同的平面，知：在A中，若l∥，m⊥，l⊥m，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若l∥，m⊥，l⊥m，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；在C中，若l∥，m⊥，l∥m，則由面面垂直的判定定理得⊥，故C正確；在D中，若l∥，m⊥，l∥m，則由面面垂直的判定定理得⊥，故D錯(cuò)誤．故選：C．11．（2022·全國·安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知l、m、n是三條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】D【分析】結(jié)合圖形或定理判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，m在與n垂直時(shí)，可能與平面垂直，平行，相交或者在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，如下圖，平面與存在相交的可能，故B錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，因，，則.則當(dāng)時(shí),n不一定垂直于.故C錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，因，，和是兩個(gè)不重合的平面，則.又因，則.則當(dāng)時(shí)，有.故D正確.故選：D12．（2022·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（

）A．AE=CF，AC與EF是共面直線 B．，AC與EF是共面直線C．AE=CF，AC與EF是異面直線 D．，AC與EF是異面直線【答案】D【分析】，，在中，根據(jù)中位線可得，由此能求出結(jié)果．【詳解】在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面，其中母線，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如圖，，，，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，與是共面直線，若AC與EF是共面直線,則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線故選：D．13．（2021·陜西·安康市教學(xué)研究室二模（文））設(shè)直四棱柱的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面為平行四邊形，，側(cè)面的面積為6，則球O表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可判斷出四棱柱ABCDA1B1C1D1為長方體，設(shè)AD=a，AA1=h，設(shè)AD=a，AA1=h，然后求出長方體的體對角線，從而可得球的直徑，表示出球的表面積，結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，且球O是直四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球，所以底面ABCD必為矩形，從而四棱柱ABCDA1B1C1D1為長方體.設(shè)AD=a，AA1=h，則AB=2a，ah=6，所以球O的表面積S=4π()2=π(5a2+h2)≥2π×ah=12π，當(dāng)且僅當(dāng)5a2=h2，即a=時(shí)，等號成立，故球O表面積的最小值為12π.故選：B14．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模（文））北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積（單位：），則S與地球表面積之比為____________．【答案】45:106##【分析】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，得，在直角三角形中求出后，可計(jì)算兩者面積比．【詳解】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，則，地球表面積為所以．故答案為：．15．（2022·陜西渭南·一模（文））我國古代《九章算術(shù)》中將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖是一個(gè)芻童的三視圖，其中正視圖與側(cè)視圖為全等的等腰梯形，兩底的邊長分別為1和3，高為4，則該芻童的表面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)三視圖與幾何體的關(guān)系求出該幾何體的斜高即可求表面積.【詳解】由題可知正視圖與側(cè)視圖的高為芻童幾何體的高，則側(cè)面等腰梯形的高等于，所以該幾何體的表面積等于，故答案為：.16．（2022·湖北·恩施市第一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為1，它是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為________．【答案】8【分析】根據(jù)斜二測畫法，還原出原圖，根據(jù)原圖與直觀圖的關(guān)系，求得邊長，即可得答案.【詳解】根據(jù)直觀圖，還原原圖可得OABC，如圖所示：根據(jù)原圖與直觀圖的關(guān)系可得，，且，所以，所以原圖形OABC的周長為3+1+3+1=8，故答案為：817．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））如圖為某幾何體的三視圖，該幾何體的表面積是___________.【答案】【分析】根據(jù)三視圖復(fù)原出原幾何體，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖復(fù)原原幾何體的直觀圖，如圖示，該幾何體為一組合體，上部分為半徑為1的半球，下部分為底面半徑為1，高為2的圓柱，故該幾何體的表面積為，故答案為：18．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（文））如圖，在棱長為2的正方體中，、、分別是，，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題：①不存在點(diǎn)，使平面；②三棱錐的體積是定值；③直線平面④經(jīng)過、、、四點(diǎn)的球的表面積為.正確的是______.【答案】②③④【分析】連接PQ，，當(dāng)Q是的中點(diǎn)時(shí)，由線面平行的判定可證，即可判斷①，根據(jù)即可判斷②，證明、，即可判斷③，分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體，其體對角線就是外接球的直徑，求出體對角線的長，可求出球的表面積，即可判斷④；【詳解】解：連接PQ，，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故①錯(cuò)誤；因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，平面，所以到平面的距離，即為到到平面的距離，所以，故三棱錐的體積是定值，即②正確；由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，同理可證平面，平面，所以，，平面，所以平面，故③正確；當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體，則經(jīng)過、、、四點(diǎn)的球即為長方體的外接球，設(shè)所求外接球的直徑為2R，則長方體的體對角線即為所求的球的直徑，即，所以經(jīng)過、、、四點(diǎn)的球的表面積為，故④正確.故答案為：②③④19．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)一模（文））在長方體中，底面是邊長為4的正方形，，過點(diǎn)作平面與分別交于M，N兩點(diǎn)，且與平面所成的角為，給出下列說法：①異面直線與所成角的余弦值為；②平面；③點(diǎn)B到平面的距離為；④截面面積的最小值為6．其中正確的是__________（請?zhí)顚懰姓_說法的編號）【答案】②④【分析】利用異面直線所成角的定義及余弦定理可判斷①，利用線面平行的判定定理可判斷②，利用等積法可判斷③，過點(diǎn)A作，連接，進(jìn)而可得為與平面所成的角，結(jié)合條件及基本不等式可判斷④.【詳解】依題意得，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角即或其補(bǔ)角，在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故①錯(cuò)誤．由于平面平面，所以平面，故②正確．設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，由，得，解得，故③錯(cuò)誤．如圖，過點(diǎn)A作，連接，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，平面，則，平面平面，平面平面，故為與平面所成的角，則，在中，，則有，在中，由射影定理得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即E為的中點(diǎn)時(shí)，等號成立，所以截面面積的最小值為，，故④正確．故答案為：②④.20．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））正方體的棱長為1，E、F、G分別為的中點(diǎn)，有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是___________.①點(diǎn)C與點(diǎn)B到平面的距離相等；②直線與平面平行；③平面截正方體所得的截面面積為；④直線與直線所成的角的余弦值為.【答案】①②③【分析】對于①：利用平面AEF過BC的中點(diǎn)E，得出C與B到平面AEF的距離相等；對于②：取的中點(diǎn)Q，連接、、QE.證明出平面∥平面AEF.得到∥平面AEF；對于③：連接，延長，AE交于點(diǎn)S.判斷出截面即為梯形AEFD1.利用梯形的面積公式直接求解；對于④：判斷出直線與直線EF所成的角，利用余弦定理即可求的.【詳解】對于①：假設(shè)C與B到平面AEF的距離相等，即平面AEF將BC平分，則平面AEF必過BC的中點(diǎn).由E是BC的中點(diǎn)，所以C與B到平面AEF的距離相等.故①正確對于②：如圖所示.取的中點(diǎn)Q，連接、、QE.因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以∥AE.因?yàn)槊鍭EF，面AEF，所以面AEF.同理可證：面AEF.因?yàn)?，面，面，所以平面∥平面AEF.又因?yàn)槠矫?，所以∥平面AEF.故②正確；對于③：連接，延長，AE交于點(diǎn)S.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，C1C的中點(diǎn)，所以EF∥AD1，所以A、E、F、D1四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形AEFD1.因?yàn)镃F=CE，所以，即，所以FS=ES又D1F=AE，所以即，，所以等腰△的高，梯形的高為，所以梯形的面積為.故③正確對于④：因?yàn)?，所以直線與直線EF所成的角即為所求.在三角形中，，由余弦定理得，.所以直線與直線EF所成的角的余弦值為.故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③

B組能力提升21．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，，則四棱錐的外接球O的表面積是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π【答案】D【分析】先求底面矩形的外接圓半徑，由側(cè)棱垂直底面易得外接球半徑，再求體積即可【詳解】由題意底面矩形的外接圓半徑，則原四棱錐外接球半徑，故選：D22．（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理及找到外接球的直徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)的外接圓半徑為r，由正弦定理，知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為2，此時(shí)外接球半徑滿足，解得或.所以三棱錐的外接球的最小半徑為.所以外接球表面積為.故選：C.23．（2022·山東濰坊·三模）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．若一個(gè)“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長為的等腰直角三角形．則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，設(shè)在三棱錐中，平面，且，，證明出該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，求出該三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球體表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在三棱錐中，平面，且，，因?yàn)槠矫?，、、平面，則，，，，，平面，平面，，所以，三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，且，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，因此，球的表面積為.故選：A.24．（2022·山西·忻州一中模擬預(yù)測（文））在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知，可將三棱錐補(bǔ)成長方體，求長方體的外接球的表面積即可.【詳解】由平面，，知三棱錐可補(bǔ)形為以，為長寬高的長方體，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則，所以．故選：A25．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測）在三棱錐中，二面角和的大小都為，，，，則三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為__________.【答案】【分析】根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球半徑，設(shè)中點(diǎn)為，過作直線的平行線，三棱錐外接球球心在直線上且位于平面下方，根據(jù)求出外接球半徑解決即可.【詳解】如圖，作平面，垂足為，過作，垂足為，所以為二面角的平面角，由，大小均為知，點(diǎn)到直線距離相等，即點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心，設(shè)半徑為則，又因?yàn)樵谥校?，，，所以為直角三角形，，所以，設(shè)中點(diǎn)為，過作直線的平行線，所以三棱錐外接球球心在直線上且位于平面下方，在直角中，過作交于，作交于，連接，所以與全等，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，所以在直角中，，設(shè)，所以又因?yàn)?，所以，解得，所以，設(shè)內(nèi)切球半徑為，因?yàn)?所以，所以，所以,故答案為：.26．（2018·甘肅·西北師大附中一模（理））在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為____________．【答案】【分析】先在等邊三角形中求出，外接圓半徑，根據(jù)幾何關(guān)系確定外接球球心位置，列勾股定理方程確定該三棱錐的外接球的半徑.【詳解】因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，等邊外接圓的半徑為，如圖，三棱錐外接球球心為，半徑為，設(shè)球心到平面的距離為，外接圓圓心為，連接，則平面，取中點(diǎn)，所以，又平面，所以//，則四邊形是矩形，所以在和中，由勾股定理可得，解得：，表面積.故答案為：27．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖為一個(gè)三棱錐的三視圖，則其外接球的表面積為________.【答案】【分析】根據(jù)三視圖求出直觀圖，從而求出底面三角形BCD的外接圓半徑，進(jìn)而求出外接球半徑，求出外接球表面積.【詳解】畫出直觀圖，如圖所示：已知BC=1，由勾股定理得：，因?yàn)椋O(shè)△BCD的外接圓半徑為R，由正弦定理得：，所以，設(shè)三棱錐ABCD的外接球半徑為r，則，所以其外接球的表面積為.故答案為：C組真題實(shí)戰(zhàn)練28．（2018·全國·高考真題（理））中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A．B．C． D．【答案】A【詳解】詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形，且俯視圖應(yīng)為對稱圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．29．（2020·全國·高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.30．（2018·全國·高考真題（理））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．31．（2019·全國·高考真題（理））如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線【答案】B【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，．，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．32．（2020·全國·高考真題（文））下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（

）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【答案】C【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.33．（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．34．（2021·浙江·高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪?，所以不垂直則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.35．（2018·北京·高考真題（理））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【詳解】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三