2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE10-3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解不等式的性質(zhì)．(重點)2．能用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系．(難點)通過學(xué)習(xí)用不等式表示不等關(guān)系、比較兩數(shù)(式)的大小及不等式的性質(zhì)，培育學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．1．不等符號與不等關(guān)系的表示(1)不等符號有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等關(guān)系用不等式來表示．2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤思索：不等式a≥b和a≤b有怎樣的含義？[提示]①不等式a≥b應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或a＝b，等價于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一個正確，則a≥b正確．②不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或a＝b，等價于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一個正確，則a≤b正確．3．比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)思索：x2＋1與2x兩式都隨x的變更而變更，其大小關(guān)系并不自不待言．你能想個方法，比較x2＋1與2x的大小，而且具有勸服力嗎？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對稱性)a>b?b<a性質(zhì)2(傳遞性)a>b，b>c?a>c性質(zhì)3(可加性)a>b?a＋c>b＋c推論a＋b>c?a>c－b性質(zhì)4(可乘性)a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bc性質(zhì)5(不等式同向可加性)a>b，c>d?a＋c>b＋d性質(zhì)6(不等式同向正數(shù)可乘性)a>b>0，c>d>0?ac>bd性質(zhì)7(乘方性)a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)性質(zhì)8(開方性)a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)思索：關(guān)于不等式的性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有哪些？(1)a>b且c>d，則a－c>b－d.(2)a>b，則ac>bc.(3)a>b>0，且c>d>0則eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)a>b>0，則an>bn.(5)a>b，則eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2).[提示]對于不等式的性質(zhì)，有可加性但沒有作差與作商的性質(zhì)，(1)中例如5>3且4>1時，則5－4>3－1是錯的，故(1)錯．(2)中當(dāng)c≤0時，不成立．(3)中例如5>3且4>1，則eq\f(5,4)>eq\f(3,1)是錯的，故(3)錯．(4)中對n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，則3－1>2－1明顯錯，故(4)錯．(5)因為eq\f(1,c2)>0，所以a·eq\f(1,c2)>b·eq\f(1,c2)，故(5)正確．因此正確的結(jié)論有(5).1．大橋頭直立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要平安通過該橋，應(yīng)使車貨總重量T不超過40噸，用不等式表示為()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥C[限重就是不超過，可以干脆建立不等式T≤40.]2．已知a>b，c>d，且cd≠0，則()A.ad>bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)＋c>b＋dD[a，b，c，d的符號未確定，解除A、B兩項；同向不等式相減，結(jié)果未必是同向不等式，解除C項，故選D項．]3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>－b>－a B．a(chǎn)>－b>－a>bC．a(chǎn)>－b>b>－a D．a(chǎn)>b>－a>－bC[法一：∵A、B、C、D四個選項中，每個選項都是唯一確定的答案，∴可用特別值法．令a＝2，b＝－1，則有2>－(－1)>－1>－2，即a>－b>b>－a.法二：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a<b<0，∴a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.]4．設(shè)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m，n的大小關(guān)系是m≥n[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥用不等式表示不等關(guān)系【例1】用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為[解]由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18這時菜園的另一條邊長為eq\f(30－x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m).因此菜園面積S＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))，依題意有S≥110，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110.))1．此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系．2．當(dāng)問題中同時滿意幾個不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個變量，選用幾個字母分別表示這些變量即可．3．用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、不多于、不少于等．(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量．(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可來回6次，乙型卡車每輛每天可來回8次，寫出滿意上述全部不等關(guān)系的不等式．[解]設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，x∈N，,0≤y≤7，y∈N，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，x∈N，,0≤y≤7，y∈N.))比較兩數(shù)(式)的大小【例2】已知a，b為正實數(shù)，試比較eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))與eq\r(a)＋eq\r(b)的大?。悸诽骄浚毫粢饨Y(jié)構(gòu)特征，嘗試用作差法或者作商法比較大?。甗解]法一：(作差法)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(（a－b）（\r(a)－\r(b)）,\r(ab))＝eq\f(（\r(a)－\r(b)）2（\r(a)＋\r(b)）,\r(ab))．∵a，b為正實數(shù)，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\f(（\r(a)－\r(b)）2（\r(a)＋\r(b)）,\r(ab))≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號).法二：(作商法)eq\f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(（\r(b)）3＋（\r(a)）3,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）)＝eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（a＋b－\r(ab)）,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）)＝eq\f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝eq\f(（\r(a)－\r(b)）2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,\r(ab))≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．∵eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號).法三：(平方后作差)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))eq\s\up12(2)－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,ab).∵a>0，b>0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,ab)≥0，又eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，故eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號).1．作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法(1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)；⑤分母或分子有理化；⑥分類探討．2．假如兩實數(shù)同號，亦可采納作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知|a|＜1，比較eq\f(1,1＋a)與1－a的大?。?2)若m>2，比較mm與2m[解](1)由|a|＜1，得－1＜a＜1.∴1＋a＞0，1－a＞0.即eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)，∵0＜1－a2≤1，∴eq\f(1,1－a2)≥1，∴eq\f(1,1＋a)≥1－a.(2)因為eq\f(mm,2m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(m)，又因為m>2，所以eq\f(m,2)>1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(m)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(0)＝1，所以mm>2m.不等式性質(zhì)的應(yīng)用[探究問題]1．小明同學(xué)做題時進(jìn)行如下變形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？[提示]不正確．因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向變更，在本題中只知道－6<a<8.不明確a值的正負(fù)．故不能將eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認(rèn)為正確嗎？[提示]不正確．因為同向不等式具有可加性，但不能相減，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價變形，而不行隨意“創(chuàng)建”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b<2沖突了呢？[提示]利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要留意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次運用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大．【例3】已知c>a>b>0，求證：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).思路探究：①如何證明eq\f(c,a)<eq\f(c,b)？②由eq\f(c,a)<eq\f(c,b)怎樣得到eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b)？[證明]∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0?\f(1,a)<\f(1,b),c>0))?eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?\f(c－a,a)<\f(c－b,b),c－a>0,c－b>0,a>0,b>0))?eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).1．(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤癮>b>0，c<0”證明：eq\f(c,a)>eq\f(c,b).[證明]因為a>b>0，所以ab>0，eq\f(1,ab)>0.于是a×eq\f(1,ab)>b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)>eq\f(1,a).由c<0，得eq\f(c,a)>eq\f(c,b).2．(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?<a<8，2<b<3”如何求出2a＋b，a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．[解]因為－6<a<8，2<b<3，所以－12<2a<16所以－10<2a＋b又因為－3<－b<－2，所以－9<a－b<6.又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)當(dāng)0≤a<8時，0≤eq\f(a,b)<4；(2)當(dāng)－6<a<0時，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.1．利用不等式的性質(zhì)證明不等式留意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題肯定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．2．利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要留意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)．(2)運用不等式的性質(zhì)時要切實留意不等式性質(zhì)的前提條件，切不行用好像是很明顯的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．(3)精確運用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤．1．比較兩個實數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了．a(chǎn)－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.2．作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；其次步：變形，常采納配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分狀況探討)；最終得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．3．不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行，并留意不等式推導(dǎo)所需條件是否具備．1．推斷正誤(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2. ()(2)若a<b或a＝b之中有一個正確，則a≤b正確． ()(3)若a>b，則ac>bc肯定成立． ()(4)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d. ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×[提示]