2024-2025學年高中數(shù)學第一章統(tǒng)計1.2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣學案含解析北師大版必修3

PAGE2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣考綱定位重難突破1.理解、駕馭分層抽樣、系統(tǒng)抽樣.2.會用分層抽樣、系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本.3.了解三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)分.重點：兩種抽樣方法的步驟和運用范圍.難點：1.三種抽樣方法的選擇.2.兩種抽樣方法的具體應用.授課提示：對應學生用書第05頁[自主梳理]1．分層抽樣將總體按其屬性特征分成若干類型(有時稱作層)，然后在每個類型中依據(jù)所占比例隨機抽取肯定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時也稱為類型抽樣．2．系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣是將總體的個體進行編號，等距分組，在第一組中依據(jù)簡潔隨機抽樣抽取第一個樣本．然后按相同間隔(稱為抽樣距)抽取其他樣本．這種抽樣方法有時也叫等距抽樣或機械抽樣．[雙基自測]1．某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所從事的行業(yè)分為8類(每類家庭數(shù)不完全相同)，再對每個行業(yè)抽取的職工家庭進行調查，這種抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣D．不屬于以上幾類抽樣解析：因為職工所從事的行業(yè)有明顯差異，所以適合用分層抽樣．答案：C2．某報告廳有50排座位，每排有60個座號，一次報告會坐滿了聽眾，會后留下座位號為18，78，138，198，…的50位聽眾進行座談，這種抽取樣本的方法是()A．抽簽法B．隨機數(shù)表法C．系統(tǒng)抽樣 D．有放回抽樣解析：總體容量(3000)較大，抽取間隔相等，符合系統(tǒng)抽樣的特點，是系統(tǒng)抽樣．答案：C3．若總體中含有1645個個體，采納系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為35的樣本，則編號后確定編號分為______段，分段間隔k＝______，每段有______個個體．解析：因為N＝1645，n＝35，則編號后確定編號分為35段，且k＝eq\f(N,n)＝eq\f(1645,35)＝47，則分段間隔k＝47，每段有47個個體．答案：354747授課提示：對應學生用書第06頁探究一分層抽樣[典例1]某政府機關現(xiàn)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級機關為了了解政府機構改革看法，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫出具體實施過程．[解析]因為機構改革關系到各種人的不同利益，故采納分層抽樣方法為妥．(1)因為每個人的地位不一樣，我們按類別分為3層．(2)計算總體的個數(shù)與樣本容量的比：eq\f(100,20)＝5.(3)依據(jù)樣本容量的比例隨機抽取各層應抽取的樣本．因為eq\f(100,20)＝5，所以eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.所以從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．(4)因副處以上干部與工人人數(shù)較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后采納抽簽法分別抽取2人和4人，對一般干部70人采納00，01，02，…，69編號，然后用隨機數(shù)法抽取14人．1．假如總體中的個體有差異時，就用分層抽樣抽取樣本．用分層抽樣抽取樣本時，要把性質、結構相同的個體，組成一層．2．在實際操作中，應先計算出抽樣比k＝eq\f(樣本容量,總體容量)，獲得各層入樣數(shù)的百分比，再按抽樣比確定每層須要抽取的個體數(shù)：抽樣比×該層個體數(shù)目＝eq\f(樣本容量,總體容量)×該層個體數(shù)目．1．某電視臺在因特網上就觀眾對某一節(jié)目的寵愛程度進行調查，參與調查的總人數(shù)為12000人，其中持各種看法的人數(shù)如下表所示：很寵愛寵愛一般不寵愛2435456739261072電視臺為了進一步了解觀眾的具體想法和看法，準備從中再抽取60人進行更為具體的調查，應怎樣進行抽樣？解析：采納分層抽樣的方法，抽樣比為eq\f(60,12000).“很寵愛”的有2435人，應抽取2435×eq\f(60,12000)≈12(人)；“寵愛”的有4567人，應抽取4567×eq\f(60,12000)≈23(人)；“一般”的有3926人，應抽取3926×eq\f(60,12000)≈20(人)；“不寵愛”的有1072人，應抽取1072×eq\f(60,12000)≈5(人)．因此，采納分層抽樣的方法在“很寵愛”、“寵愛”、“一般”和“不寵愛”的人中分別抽取12人、23人、20人和5人．探究二系統(tǒng)抽樣[典例2]某單位共有在崗職工624人，為了調查職工上班時從離開家到來到單位的平均用時，確定抽取10%的工人進行調查，如何采納系統(tǒng)抽樣完成這一抽樣？[解析]第一步由題意知，應抽取在崗職工62人作為樣本，即分成62組，由于eq\f(624,62)的商是10，余數(shù)是4，所以每組有10人，還剩4人．這時，抽樣距是10；其次步用隨機數(shù)法從這些職工中抽取4人，不進行調查；第三步將余下的在崗職工620人進行編號，編號分別為000，001，002，…，619；第四步在第一組000，001，002，…，009這10個編號中，隨機選定一個起始編號．每間隔10抽取一個編號，共抽62個編號，這樣就抽取了容量為62的一個樣本．1．解決系統(tǒng)抽樣問題的關鍵步驟：(1)分組的方法應依據(jù)抽取比例而定，即依據(jù)定義每組抽取一個樣本．(2)起始編號的確定應用隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了．2．當總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機剔除幾個個體．但要留意的是剔除過程必需是隨機的，也就是總體中的每個個體被剔除的機會均等，剔除幾個個體后使總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除．2．為了了解參與某種學問競賽的1003名學生的成果，抽取一個容量為50的樣本，選用什么抽樣方法比較恰當？簡述抽樣過程．解析：相宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣過程如下：(1)隨機地將這1003個個體編號為1，2，3，…，1003.(2)利用簡潔隨機抽樣，先從總體中隨機剔除3個個體，剩下的個體數(shù)1000能被樣本容量50整除，然后將1000個個體重新編號為1，2，3，…，1000.(3)將總體按編號依次均分成50部分，每部分包含20個個體．(4)在編號為1，2，3，…，20的第一部分個體中，利用簡潔隨機抽樣抽取一個號碼，比如抽取的號碼是18.(5)以18為起始號碼，這樣得到一個容量為50的樣本：18，38，58，…，978，998.探究三三種抽樣方法的綜合應用[典例3]已知某工廠共有20個生產車間，并且每個生產車間內的工人已經按隨機方式編好了序號，假定該廠每車間工人數(shù)都相同．為了考查工人對技術水平的嫻熟程度，實行以下三種方式進行抽查：①從全廠20個車間中隨意抽取一個車間，再從該車間中隨意抽取20人，考查這20個工人的技術水平．②每個車間都抽取1人，共計20人，考查這20個工人的技術水平．③把工人按技術等級分成高級工、一級工、初級工三個級別，從中抽取100名工人進行調查(已知按技術等級分，該廠工人中高級工共150人，一級工共600人，初級工共250人)．依據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面三種抽取方式中，各自采納何種抽取樣本的方法？(2)試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟．[解析](1)上面三種抽取方式中，第一種方式采納的是簡潔隨機抽樣法；其次種方式采納的是系統(tǒng)抽樣法和簡潔隨機抽樣法；第三種方式采納的是分層抽樣法和簡潔隨機抽樣法．(2)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步，在這20個車間中用抽簽法隨意抽取一個車間．其次步，從這個車間中按編號用隨機數(shù)法或抽簽法抽取20名工人，考查其技術水平．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步，在第一個車間中，用簡潔隨機抽樣法隨意抽取某一工人，記其編號為x.其次步，在其余的19個車間中，選取編號為x的工人，共計20人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層，因為若按技術水同等級分，其中高級工共150人，一級工共600人，初級工共250人，所以在抽取樣本中，應當把全體工人分成三個層次．其次步，確定各個層次抽取的人數(shù)，因為樣本容量與總體的個數(shù)比為100∶1000＝1∶10，所以在每個層次抽取的個體數(shù)依次為eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15，60，25.第三步，按層次分別抽?。涸诟呒壒ぶ杏煤啙嶋S機抽樣法取15人；在一級工中用簡潔隨機抽樣法抽取60人；在初級工中用簡潔隨機抽樣法抽取25人．解決此類問題的關鍵是敏捷運用統(tǒng)計中的一些基本概念和基本方法，比照簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念得出抽樣過程．三種抽樣方法有各自的適用范圍，在抽樣時要分析實際狀況，抓住總體的本質特點，敏捷選擇合適的方法，有時要綜合運用幾種不同的抽樣方法．三種抽樣方法，關系親密，對抽取樣原來說，可謂異曲同工．3．為了考察某校的教學水平，對這個學校高三年級的部分學生的本年度考試成果進行考察．為了全面地反映實際狀況，實行以下三種方式進行抽查(已知該校高三年級共有20個教學班，并且每個班內的學生已經按隨機方式編好了學號，假定該校每班學生人數(shù)都相等)：①從全年級20個班中隨意抽取一個班，再從該班隨意抽取20名學生，考察他們的學習成果；②每個班都抽取1人，共計20人，考察這20名學生的成果；③把學生成果分成優(yōu)秀、良好、一般三個級別．從其中共抽取100名學生進行考察．(已知該校高三學生共1000人，若按成果分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人)．依據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面三種抽取方式的總體、個體、樣本分別是什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式各自采納的是何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟．解析：(1)上面三種抽取方式中，總體都是高三全體學生本學年的考試成果，個體都是指高三年級每個學生本學年的考試成果．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的20名學生本學年的考試成果，樣本容量為20；其次種抽取方式中樣本為所抽取的20名學生本學年的考試成果，樣本容量為20；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學生本學年的考試成果，樣本容量為100.(2)上面三種抽取方式中，第一種方式采納的是簡潔隨機抽樣；其次種方式采納的是系統(tǒng)抽樣和簡潔隨機抽樣；第三種方式采納的是分層抽樣和系統(tǒng)抽樣．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步，在這20個班中用抽簽法隨意抽取1個班；其次步，從這個班中用簡潔隨機抽樣法抽取20名學生，考察其考試成果．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步，在第1個班中，用簡潔隨機抽樣法抽取某一學生(其學號為a)．其次步，在其余的19個班中，選取學號為a的學生，共計20人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層，因為若按成果分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人，所以在抽取樣本時，應把全體學生分成三層．其次步，確定各層抽取的人數(shù)，因為樣本容量與總體的個體數(shù)的比為100∶1000＝1∶10，所以在每層抽取的個體數(shù)依次為eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15，60，25.第三步，按層次分別抽取，分別在優(yōu)秀生、良好生、一般生中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取15人、60人、25人．因選取抽樣方法不當致誤[典例]某校共有老師302名，其中老年老師30名，中年老師150名，青年老師122名．為調查他們對新課程改革的看法，從中抽取一個60人的樣本．請寫出抽樣過程．[解析](1)把122名青年老師編號，利用隨機數(shù)法剔除2個個體．(2)因為eq\f(60,300)＝eq\f(1,5)，30×eq\f(1,5)＝6，150×eq\f(1,5)＝30，120×eq\f(1,5)＝24，所以可將老年老師30名，中年老師150名，青年老師120名編號后，運用隨機數(shù)法，分別從中抽取6，30，24個個體，合在一起即為要抽取的60人樣本．[錯因與防范]本題的一種錯誤會法是從總人數(shù)中，利用隨機數(shù)法剔除2個個體，再將剩余的300名老師重新編號，分成60段．從每段抽一人，共抽取60人，以上抽樣方法對該問題抽取的樣本代表性不強，因3個層次的老師對新課程改革的看法是有較大差別的，因此應采納分層抽樣，又因為老師總人數(shù)和青年老師人數(shù)均不能被60整除，此時就需先從青年老師中剔除2個個體，再進行抽樣．[隨堂訓練]對應學生用書第07頁1．某社區(qū)有400個家庭，其中高等收入家庭120個，中等收入家庭180個，低等收入家庭100個．為了調查社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本，記作①.某校高一年級有13名排球運動員，要從中選出3人調查學習負擔狀況，記作②.那么，完成上述兩項調查宜采納的抽樣方法分別是()A．①用簡潔隨機抽樣，②用系統(tǒng)抽樣B．①用分層抽樣，②用簡潔隨機抽樣C．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣D．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣解析：由于①中總體的個體數(shù)量較多，不同個體的差異較大，∴應采納分層抽樣方法；由于②中總體的個體數(shù)量較少，個體之間差異不大，∴應采納簡潔隨機抽樣，故選B.答案：B2．某廠