高等數(shù)學(xué)課件 4-3.4函數(shù)形態(tài)的討論

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)形態(tài)的討論

第四章二、函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無(wú)妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開(kāi)區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

證明時(shí),成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*證明令則從而即二、函數(shù)的極值及其最值定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫(huà)播放\暫停例3.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此也可通過(guò)例6.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(k

為某一常數(shù))例7.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問(wèn)Km,公路,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

把一根直徑為

d

的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)

和

b

應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束用開(kāi)始移動(dòng),例9.

設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力

作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.

為多少時(shí)才可使力設(shè)摩擦系數(shù)問(wèn)力與水平面夾角機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的大小最小?令解得而因而F

取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束清楚(視角

最大)?觀察者的眼睛1.8m,例10.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:

設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻2.4m

處看圖最清楚.問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.圖形是凸的.三、曲線的凹凸與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說(shuō)明(1)成立;(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例11.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣(Th.3)定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線證明：備用題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明:當(dāng)時(shí)，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)