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文檔簡介

一、平面圖形的面積二、定積分的元素法三、旋轉體的體積四、小結、作業(yè)定積分的應用直角坐標系下平面圖形面積的計算一、平面圖形的面積圖1

如圖1所示圖形的面積可以視作分別以曲邊梯形面積的差。因此為曲邊的兩個圖2且

類似地可以得到，由連續(xù)曲線

與直線所圍成的平面圖形（如圖2）的面積為例1xy解

所圍成的圖形如圖所示：平面圖形的面積。例2的面積。所圍成的圖形解

所圍成的圖形如圖所示:

則先解聯(lián)立方程組

線的交點坐標為

得兩拋物則圖形的面積為解先求兩曲線的交點。例3注意：此題選取縱坐標為積分變量，而沒有選取橫坐標為積分變量，請思考這時為什么？若選取橫坐標為積分變量能否得到這個問題的結果？二、定積分的元素法

在定積分的應用中，經(jīng)常采用“元素法”。為了說明這種方法，我們回顧引入定積分的概念時曾經(jīng)舉的兩個例子：曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程。這兩個問題最終都歸結為定積分的計算，且它們都滿足下述三個條件：(2)量

對于區(qū)間

具有可加性；

的近似值可表示為

(3)部分量

有關的量；

(1)所求的量

是與一個變量

的變化區(qū)間

一般地，如果一個量滿足上述三個條件，我們就可以考慮用定積分來表示這個量。確定量的積分表達式的步驟是：

（1）根據(jù)問題的具體情況，選取積分變量并確定其變化區(qū)間。

（2）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，求出相應于此區(qū)間的所求量的部分量的近似值：

（3）計算所求量

稱為所求量的元素（或微元）。下面我們利用這一方法來求旋轉體的體積。

這個方法就稱為定積分的元素法（或微元法）。圓柱圓錐圓臺三、旋轉體的體積

旋轉體——由一個平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這條直線叫做旋轉軸．xyo旋轉體的體積公式推導

如圖由于圖形關于坐標軸對稱，故只需考慮其第一象限內的曲邊梯形繞坐標軸旋轉而成的旋轉體的體積。

求橢圓分別繞軸與軸旋轉而成的旋轉體的體積。

例4

解（1）繞軸旋轉而成的旋轉體的體積為：（2）繞軸旋轉而成的旋轉體的體積為：特別地，當時，得半徑為的球體積

計算由兩條拋物線，所圍成的圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積。

例5解先解聯(lián)立方程組

得兩拋物線的交點坐標為

設由曲線，直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積為；由曲線

轉而成的旋轉體的體積為

則所求旋轉體的體積為：

直線所

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