四川省成都市簡陽市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)點在平面上的射影為，則等于（

）A． B．5 C． D．2．將10個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（

）A．19 B．20 C．21 D．223．設(shè)，，，且∥，則（

）A． B． C．3 D．44．對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設(shè)兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．5．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點數(shù)分別為，則這8個點數(shù)的中位數(shù)為4.5的概率為（

）A． B． C． D．6．已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為x，方差為s2A．x=70,s2＜75C．x=70,s2=757．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）

A．3 B． C． D．8．如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（

）A．平面B．異面直線與所成角為C．直線與平面所成角為D．二、多選題（本大題共3小題）9．在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標．如圖是某專業(yè)機構(gòu)統(tǒng)計的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B．1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)C．1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D．1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差10．給出下列命題，其中正確的是（）A．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B．在空間直角坐標系中，點關(guān)于坐標平面yOz的對稱點是C．若空間四個點P，A，B，C滿足，則A，B，C三點共線D．平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.若，則11．已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（

）A．若A與B相互獨立，則 B．若，則事件A與相互獨立C．若A與B互斥，則 D．若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則三、填空題（本大題共3小題）12．經(jīng)過點，點的直線的一個方向向量是.13．某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為萬輛.14．已知是空間單位向量，.若空間向量滿足，且對于任意，，則，.四、解答題（本大題共5小題）15．柜子里有3雙不同的鞋，分別用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每雙鞋的左腳，，，表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機地取出2只，那么(1)寫出試驗的樣本空間；(2)求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只腳的；②取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋.(3)求取出的鞋不成雙的概率.16．2023年是中國共產(chǎn)黨建黨102周年，為了使全體黨員進一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學(xué)黨史?悟思想?辦實事?開新局”為主題進行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識競賽.競賽共設(shè)100個小題，每個小題1分，共100分.現(xiàn)隨機抽取1000名黨員的成績進行統(tǒng)計，并將成績分成以下七組：并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)；(2)用分層隨機抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.17．在四棱錐中．底面為矩形，且平面．為中點．(1)求點到直線的距離；(2)求異面直線所成角的余弦值．18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.(1)求證：平面；(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；(3)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.19．在空間直角坐標系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)求經(jīng)過的直線的點方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。?/p>

參考答案1．【答案】D【詳解】點在平面上的射影為，，故，故選：D2．【答案】C【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C3．【答案】C【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以，又因為，且∥，所以，所以，所以，所以.故選：C.4．【答案】B【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標或兩次都擊中目標，所以，故A正確；B.包含的事件為至少一次擊中目標，為樣本空間，所以B錯誤，C正確；D.事件與事件是對立事件，所以，故D正確.故選：B5．【答案】D【詳解】由題意，這8個點數(shù)的中位數(shù)為4.5，只有三種情況：①將拋擲8次，得到的點數(shù)從小到大分別為，此時中位數(shù)為；②拋擲8次，得到的點數(shù)從小到大分別為，此時中位數(shù)為；③拋擲8次，得到的點數(shù)從小到大分別為，此時中位數(shù)為或；綜上，x的點數(shù)只能為5，或者6，故概率為，故選：D.6．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.【詳解】由題意，可得x=70×50+80?60+70?90設(shè)收集的48個準確數(shù)據(jù)分別記為x1,則75=1=150s2=150x1?70故選A．7．【答案】C【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：C.8．【答案】B【詳解】如圖，連接，在正方形中，為的中點，則，即也為的中點，在中，分別為的中點，有，又平面，平面，所以平面，故A正確；由題可知，異面直線與所成角即為直線與與所成角，即，為，故B錯誤直線與平面所成角即直線與平面所成角，由平面，可知直線與平面所成角為，故C正確；正方體中，平面，平面，則有，由，得，故D正確；，故選：B.9．【答案】BCD【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯誤；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負數(shù)，環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.10．【答案】ACD【詳解】對于A,不共面，則不共面，所以也是空間的一個基底，故正確；對于B,點關(guān)于坐標平面yOz的對稱點是，故錯誤；對于C，由可得，即,所以A，B，C三點共線，故正確；對于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD11．【答案】ABD【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式逐項判斷.【詳解】對于A，若A與B相互獨立，則，所以，故A正確；對于B，因為，，則，因為，所以事件與相互獨立，故B正確；對于C，若A與B互斥，則，故C錯誤；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D正確．故選ABD.12．【答案】(時，均可)【詳解】點，點在直線上，則直線的一個方向向量為，時，也都是直線的方向向量.故答案為：（時，均可）13．【答案】53【詳解】設(shè)2020年的銷量為，2021年的銷量為，，由題意可知，中位數(shù)為，平均數(shù)為，由，得，所以這四年的總銷量為萬量.故答案為：5314．【答案】【分析】問題等價于當且僅當時取到最小值，通過平方的方法，結(jié)合最值的知識求得正確答案.【詳解】，由于，所以，問題等價于當且僅當時取到最小值，.則，解得.故答案為；2.15．【答案】(1)見解析(2),(3)【詳解】（1）該試驗的樣本空間可表示為,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；（2）記：“取出的鞋都是一只腳的”,，,，,，,，,，,，，；記“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，,,,，,，,，,，，，（3）記“取出的鞋不成雙”，由（1）得，，,，,，，，；16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，1000名學(xué)員成績的眾數(shù)為，成績在的頻率為，成績在的頻率為，故中位數(shù)位于之間，中位數(shù)是（2）∵與的黨員人數(shù)的比值為，采用分層隨機抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，設(shè)抽取人的編號為，，抽取人的編號為，，，則從5人中任選2人進行問卷調(diào)查對應(yīng)的樣本空間為：，，，，，，，，，，共10個樣本點，這2人中至少有1人成績低于76分的有：，，，，，，，共7個樣本點，故這2人中至少有1人成績低于76分的概率.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為為矩形，所以，又因為平面平面，所以，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，所以，則有，所以，所以點到直線的距離．（2）因為，所以，所以異面直線所成角的余弦值．18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，因為為等邊三角形，為中點，則，由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因為，分別為，中點，則，可得，且，，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)的射影為，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，是線段的中點，所以為正三角形，由平面，平面，可得，，又因為為等邊三角形，為中點，所以，則以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，所以點到平面的距離為.（3）因為，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一個法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因為，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為19．【答案】(1)(2)證明見解析