內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．設(shè)向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．23．過點(diǎn)且與直線垂直的直線l的方程為（

）A． B． C． D．4．如圖，在四面體中，是棱上一點(diǎn)，且是棱的中點(diǎn)，則（）

A． B．C． D．5．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．6．用2，3，4這3個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．7．正四面體的棱長為3，點(diǎn)為棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則線段的長為（）A． B． C．2 D．38．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，為棱的中點(diǎn)，且，，若點(diǎn)到平面的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)是兩個隨機(jī)事件，若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則相互獨(dú)立 D．若相互獨(dú)立，則10．已知直線過點(diǎn)，若與，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可以是（

）A． B． C． D．11．在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（

）A．若點(diǎn)在平面內(nèi)，則 B．若，則C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為 D．當(dāng)時(shí)，長度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，則.13．在正方體中，連接其任意兩個頂點(diǎn)都可以得到一條線段，則這些線段所在的直線平行于平面的概率為．14．在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上，則周長的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，正方體的棱長為2.

(1)用空間向量方法證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.16．已知直線.(1)求恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若經(jīng)過第一、二、三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的正弦值.18．為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式．現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．(1)若乙回答了4個問題，求乙至少有1個回答正確的概率；(2)若甲、乙兩人各回答了3個問題，求甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率．19．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。?/p>

參考答案1．【答案】B【詳解】由直線與軸垂直，即其傾斜角為.故選：B.2．【答案】D【詳解】由，得∵，，∴，解得故選：D3．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為1，由題意，所求直線l的斜率為-1，又直線l過點(diǎn)，所以由點(diǎn)斜式方程可知直線l的方程為：，即，故選：C4．【答案】D【詳解】由題意，得．故選：D．5．【答案】C【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6．【答案】C【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型分析求解.【詳解】將2，3，4組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有，共6種，其中偶數(shù)有，共4種，所以事件“這個三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為．故選C．7．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．8．【答案】A【詳解】解：由題意得：因?yàn)?，為中點(diǎn)所以又，與交于點(diǎn)A，平面，平面所以平面以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為x，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，所以所以又，，設(shè)平面的法向量，則令，則，，所以.點(diǎn)到平面的距離為，解得或（舍）故選：A.9．【答案】AC【詳解】對于A，若，則，A正確；對于B，若，則事件互斥，所以，B錯誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則相互獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)，若相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，且，所以，D錯誤．故選：AC．10．【答案】CD【分析】利用直線的截距式，結(jié)合基本不等式可得解.【詳解】由題意知直線在，軸上的截距存在且大于，可設(shè)的方程為（，），由直線過點(diǎn)，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，即，所以，故選：CD.11．【答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進(jìn)而求解判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合即可求解判斷B；由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，進(jìn)而結(jié)合三棱錐的體積公式求解判斷C；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算律可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，若點(diǎn)在平面內(nèi)，易知有，所以，又，則，故A正確；對于選項(xiàng)B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對于選項(xiàng)C，由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，易得，．當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，所以，故C錯誤；

對于選項(xiàng)D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以長度的最小值為，故D正確．故選ABD．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于利用空間向量的的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化問題，使之轉(zhuǎn)化為較易的問題進(jìn)行解決.12．【答案】/【詳解】因?yàn)棣?/β，所以，則存在實(shí)數(shù)，使，即，解得，所以故答案為：13．【答案】【詳解】在中，連接任意兩個頂點(diǎn)的線段除了12條棱之外，還有每個面上各有兩條面對角線，共，還有4條體對角線，共28條線段，

其中它們所在的直線與平面平行的有共3條面對角線所在直線，故這些線段所在的直線平行于平面的概率為．故答案為：．14．【答案】【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)即為，與軸的交點(diǎn)即為.如圖，兩點(diǎn)之間線段最短可知，的長即為周長的最小值.設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，故周長的最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

易知，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則可得，即；又，即，又平面，所以平面；（2）易知，則，由（1）知平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）整理直線的方程,得(,聯(lián)立方程組解得所以直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為;（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過二、三象限，不符合題意;當(dāng)時(shí),,因?yàn)榻?jīng)過第一、二、三象限，所以，解得或,綜上所述，當(dāng)直線經(jīng)過第一、二、三象限時(shí)，的取值范圍是.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）

取的中點(diǎn)，連接，顯然，由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，又底面，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，易得，所以可以以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，故異面直線的夾角余弦值為；（2）由上可知，設(shè)面的一個法向量為，則，取，即，易知面的一個法向量為，由圖象可知二面角為鈍角，設(shè)其為，所以，則.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“乙至少有1個回答正確”為事件，所以，即乙至少有1個回答正確的概率是．（2）記“甲答對i個問題”為事件，“乙答對i個問題”為事件，則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件所以，即甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率是．（3）記“甲答對第i個問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由得，直線的方向向量為，故直線的點(diǎn)方向式方程為．（2）由平面可知，