江蘇省鹽城市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

鹽城市2025屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷；2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分；3.答題前，務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).1.已知集合，，則（）A.A B.B C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知集合表示點(diǎn)集，而集合A表示數(shù)集，即可根據(jù)交集的定義求解.詳解】由可得,故，故選：C2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依題寫出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算即得.【詳解】.故選：C.3.在△中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，則或和，則，則，可得出答案.【詳解】若，則或，即或，所以在△中，“”是“”的不充分條件若，則，則，所以在△中，“”是“”的必要條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分、必要條件的判斷，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得出代入利用誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以.故選：A.5.已知數(shù)列滿足，，則的2024項(xiàng)的和為（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027【答案】D【解析】【分析】求出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性求和.【詳解】由已知得，，，由此可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，由于，則，故選：.6.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角換元有，即可求其最小值.【詳解】由題設(shè)，令且，所以，顯然的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值.故選：D7.人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為.已知，，若A，B的余弦距離為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)距離定義及差角余弦公式、已知得，再應(yīng)用倍角余弦公式求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，所以，由，所以.故選：B8.已知點(diǎn)O為的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，從而得到為直角三角形，由投影向量的概念求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以在上，故的外接圓以為圓心，為直徑，所以為直角三角形，且，為中點(diǎn)，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，?由于為銳角，所以故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A.數(shù)列的首項(xiàng)為B.數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列C.數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得公比，即可求解，利用等比數(shù)列的定義即可求解BC，由等比求和公式即可求解D.【詳解】由正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，所以公比，因此，對(duì)于A，的首項(xiàng)為，A正確，對(duì)于B，，因此，因此是公比為4的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于D，由于是公比為4，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，故前項(xiàng)和為，D正確，故選：ACD10.下列向量運(yùn)算，一定正確的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A,B,利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量模的定義計(jì)算即可判斷；對(duì)于C,D,通過舉反例排除即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，不妨取，則，，則，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,不妨取，則，而，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，函數(shù)，，則（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，B.存在實(shí)數(shù)x，使得C.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，D.若直線與函數(shù)和的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，則.【答案】ABD【解析】【分析】代入化簡即可求解ABC，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可大致判斷函數(shù)y=fx和y=gx的圖象，且y=fx為偶函數(shù)，結(jié)合圖象可判斷，且，再解不等式即可判斷【詳解】,故A正確，若，則，即，只要滿足，都有，故B正確，，而，故C錯(cuò)誤，令，得，當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，f′x<0，單調(diào)遞減，所以在處取得極小值1，當(dāng)，；當(dāng)，．恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，；當(dāng)，．所以、的大致圖象如圖所示，不妨設(shè)，由為偶函數(shù)可得，直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，顯然，令，整理得，解得或（舍去），所以，即，又因?yàn)椋裕瓺正確，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式有意義的條件求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，解得，所以該函?shù)的的定義域?yàn)?,2.故答案為：0,2.13.已知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，若，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律及向量間的線性關(guān)系得，結(jié)合已知求值即可.詳解】由，由題意且，則.故答案為：14.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，設(shè)，則______，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為______（用n表示）.【答案】①.②.【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，即可求出；利用兩角差的正弦公式和疊加法即可求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，則，所以；，設(shè)數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，，，……將這個(gè)式子疊加得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】形如這種形式的遞推公式可以利用疊加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.四、解答題：本大題共5小題，計(jì)77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).15.設(shè)函數(shù)，.（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；（2）當(dāng)且時(shí)，解不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求解，（2）對(duì)的范圍分類討論，即可求解.【小問1詳解】由于為偶函數(shù)，故，因此對(duì)任意的恒成立，故，故，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故此時(shí)不等式的解為，當(dāng)時(shí)，，則，故此時(shí)不等式的解為，當(dāng)時(shí)，，則，故此時(shí)不等式的解為，當(dāng)時(shí)，，則，故此時(shí)不等式解為，綜上可知：不等式的解為16.設(shè)函數(shù)，，的內(nèi)角A滿足.（1）求A的值；（2）若，且邊的長為1，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函數(shù)化簡得，由，利用正弦函數(shù)的特殊值，即可求得A的值；（2）由已知，可得，得，再由余弦定理得，可得，由三角形面積公式即可求得的面積.【小問1詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，則【小問2詳解】在中，設(shè)的對(duì)邊為，由，則，即，得，又，即，由（1）知，則，又由余弦定理得，解得，所以.17.在中，，，，點(diǎn)D在邊上，為的平分線.（1）求的長；（2）若點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且為等腰三角形，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合面積公式即可得出答案；（2）由余弦定理和角平分線定理可得，即可求出，為等邊三角形，再由余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，所以，所以，所以，即，可得：.【小問2詳解】由余弦定理可得：，所以，所以，由角平分線定理可得：，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)闉榈妊切?，，所以為等邊三角形，所以，則為的中點(diǎn)，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，所?18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）已知數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，，（2）（3），其中，【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系，作差即可得，利用等差數(shù)列的定義即可求解，（2）根據(jù)等差求和可得，即可分離參數(shù)得，根據(jù)的單調(diào)性求解最值即可求解，（3）根據(jù)可得分別為等比數(shù)列，即可根據(jù)等比數(shù)列求和公式分類求解.【小問1詳解】由可得，相減可得，因此，由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，因此，故，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為2，又，所以，故【小問2詳解】，故，由可得，化簡可得，因此，記，則，當(dāng)時(shí)，，故，而，當(dāng)時(shí)，，，故，故為數(shù)列的最小項(xiàng)，故，故的最大值為【小問3詳解】由可得，故，又，故，因此是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故，是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，綜上可得，即，其中，19.設(shè)函數(shù)，.（1）求的極值；（2）已知實(shí)數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)x使不等式成立，求a的取值范圍；（3）已知不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m，n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）極小值，無極大值；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；（2）問題化為，使成立，導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合得到，進(jìn)而有，導(dǎo)數(shù)求右側(cè)最大值，即可得范圍；（3）令，問題化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的范圍，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，時(shí)，f′x<0，即在上遞減，時(shí)，f′x>0，