2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《基本不等式》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第07講基本不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解基本不等式的證明過(guò)程；2．能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代數(shù)式的大小；3．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題；4．會(huì)用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題.知識(shí)點(diǎn)1基本不等式1、重要不等式（1）公式：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【說(shuō)明】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）常見(jiàn)變形：、、．2、基本不等式（1）公式：如果，，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【說(shuō)明】叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)．因此基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（2）常見(jiàn)變形：；（3）常用結(jié)論：=1\*GB3①（同號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（異號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．=2\*GB3②（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；知識(shí)點(diǎn)2最值定理1、最值定理：已知都是正數(shù)，（1）若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4)．（2）若xy＝p(積p為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值，且這個(gè)值為2eq\r(p)．最值定理簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大．2、在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．知識(shí)點(diǎn)3基本不等式的變式與拓展1、基本不等式鏈或．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．其中，為的調(diào)和平均值，為的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．考點(diǎn)一：對(duì)基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯鄲·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【變式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對(duì)任意，均成立.【變式1-2】（23-24高一上·山西運(yùn)城·月考）（多選）已知，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接、、，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為.則該圖形可以完成的所有的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小例2.（23-24高一上·甘肅會(huì)寧·期中）設(shè)（、為互不相等的正實(shí)數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一上·江蘇淮安·期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多選）若，則，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值例3.（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·月考）已知，則的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【變式3-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．16【變式3-3】（23-24高一下·陜西榆林·月考）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【變式3-4】（23-24高一下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：利用基本不等式證明不等式例4.（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知，求證:(1);(2).【變式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，證明：(1)；(2)．【變式4-2】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：．【變式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正實(shí)數(shù).(1)證明：；(2)若，證明：.(3)已知是正數(shù)，且，求證：．考點(diǎn)五：基本不等式恒成立問(wèn)題例5.（23-24高一上·貴州安順·期末）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【變式5-1】（23-24高一上·吉林延邊·月考）已知，，且．若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【變式5-2】（23-24高一上·廣東揭陽(yáng)·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·開(kāi)學(xué)考試）（多選）若對(duì)于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用例6.（23-24高一下·浙江·月考）如圖，某燈光設(shè)計(jì)公司生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形線路板，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為4，沿折疊使點(diǎn)B到點(diǎn)位置，交于點(diǎn)P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)用電最少，則用電最少時(shí)，的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【變式6-1】（23-24高一上·江蘇連云港·月考）某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價(jià)為100元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？【變式6-2】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長(zhǎng)方形且面積為的三級(jí)污水處理池．由于地形限制，該處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m，且高度一定．如果四周池壁的造價(jià)為400元/，中間兩道隔墻的造價(jià)為248元/，池底造價(jià)為80元/，那么如何設(shè)計(jì)該處理池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最低？（池壁的厚度忽略不計(jì)）【變式6-3】（23-24高一上·四川樂(lè)山·期中）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆的長(zhǎng)度最?。坎⑶蟪鏊没h笆長(zhǎng)度的最小值．一、單選題1．（23-24高一上·陜西寶雞·期中）取最小值時(shí)的取值為（

）A．1 B． C．2 D．2．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．13．（22-23高一上·江蘇宿遷·月考）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·云南麗江·開(kāi)學(xué)考試）已知a，b為正數(shù)，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．85．（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，則的最小值為（

）A．5 B．3 C． D．或36．（23-24高一上·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點(diǎn)，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．最小值為8．（23-24高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，且，則下列四個(gè)不等式中，恒成立的為（

）A． B．C．2 D．三、填空題9．（23-24高一上·廣西百色·期末）若，則的最小值為.10．（23-24高一上·北京·期中）某快遞公司為提高效率，引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本．已知購(gòu)買(mǎi)臺(tái)機(jī)器人的總成本為（單位：萬(wàn)元）．若要使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，則應(yīng)買(mǎi)機(jī)器人臺(tái).11．（23-24高一上·吉林延邊·月考）若，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、解答題12．（23-24高一上·山東菏澤·月考）（1）已知，則取得最大值時(shí)的值為？（2）函數(shù)的最小值為？（3）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．13．（23-24高一上·安徽馬鞍山·月考）如圖，我國(guó)古代的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.設(shè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)為，且直角三角形的周長(zhǎng)為2.（已知正實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）(1)求直角三角形面積的最大值；(2)求正方形面積的最小值.第07講基本不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解基本不等式的證明過(guò)程；2．能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代數(shù)式的大??；3．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題；4．會(huì)用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題.知識(shí)點(diǎn)1基本不等式1、重要不等式（1）公式：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【說(shuō)明】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）常見(jiàn)變形：、、．2、基本不等式（1）公式：如果，，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【說(shuō)明】叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)．因此基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（2）常見(jiàn)變形：；（3）常用結(jié)論：=1\*GB3①（同號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（異號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．=2\*GB3②（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；知識(shí)點(diǎn)2最值定理1、最值定理：已知都是正數(shù)，（1）若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4)．（2）若xy＝p(積p為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值，且這個(gè)值為2eq\r(p)．最值定理簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大．2、在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．知識(shí)點(diǎn)3基本不等式的變式與拓展1、基本不等式鏈或．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．其中，為的調(diào)和平均值，為的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．考點(diǎn)一：對(duì)基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯鄲·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項(xiàng)均為正數(shù)，所以不等式成立的前提條件為，即.故選：B.【變式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對(duì)任意，均成立.【答案】A【解析】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A【變式1-2】（23-24高一上·山西運(yùn)城·月考）（多選）已知，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，則，故B正確，對(duì)于C，，則都為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確，對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)成立，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：BCD【變式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接、、，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為.則該圖形可以完成的所有的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由題意可知，，因?yàn)?，，則，所以，，即，所以；在中，，即當(dāng)時(shí)，、點(diǎn)重合，，此時(shí)，則，所以A正確；對(duì)于C選項(xiàng)，在中，，則，又因?yàn)?，所以，，可得，即，所以，由于，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上，，所以C正確；由于在該圖中沒(méi)有相應(yīng)的線段與之對(duì)應(yīng)，故BD中的不等式無(wú)法通過(guò)這種幾何方法來(lái)證明，故選：AC.考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小例2.（23-24高一上·甘肅會(huì)寧·期中）設(shè)（、為互不相等的正實(shí)數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】、為互不相等的正實(shí)數(shù)，則，所以，，時(shí)，，所以．故選：A．【變式2-1】（23-24高一上·江蘇淮安·期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，由基本不等式得，故，因?yàn)?，，兩式相減得，，故，所以，故，所以.故選：B【變式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多選）若，則，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由于，則，故，，則，不可能是最大值，B，C符合題意；由于，當(dāng)時(shí)，，，故，即，故不可能是最大值，A符合題意，故選：ABC【變式2-3】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，，又，得到故，所以選項(xiàng)B和D正確，對(duì)于選項(xiàng)C，取，滿足，但，所以C錯(cuò)誤，故選：ABD.考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值例3.（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·月考）已知，則的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)，滿足題意.故選：B.【變式3-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，故，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：A.【變式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.故選：C.【變式3-3】（23-24高一下·陜西榆林·月考）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由正數(shù)，滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B【變式3-4】（23-24高一下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榍?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值是.故選：C.考點(diǎn)四：利用基本不等式證明不等式例4.（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知，求證:(1);(2).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.（2），.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.【變式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，故；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，即．【變式4-2】（23-24高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵a，b，c均為正數(shù)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．∴，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【變式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正實(shí)數(shù).(1)證明：；(2)若，證明：.(3)已知是正數(shù)，且，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，得證.（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，得證.（3）由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，不等式得證.考點(diǎn)五：基本不等式恒成立問(wèn)題例5.（23-24高一上·貴州安順·期末）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】D【解析】由題意恒成立，即恒成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故實(shí)數(shù)的最大值為9.故選：D【變式5-1】（23-24高一上·吉林延邊·月考）已知，，且．若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【變式5-2】（23-24高一上·廣東揭陽(yáng)·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是，故選：B.【變式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·開(kāi)學(xué)考試）（多選）若對(duì)于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由任意，恒成立，

所以，符合條件有，，，故A、C、D對(duì)；，故B錯(cuò)；故選：ACD考點(diǎn)六：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用例6.（23-24高一下·浙江·月考）如圖，某燈光設(shè)計(jì)公司生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形線路板，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為4，沿折疊使點(diǎn)B到點(diǎn)位置，交于點(diǎn)P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)用電最少，則用電最少時(shí)，的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)，由矩形的周長(zhǎng)為4，可知．設(shè)，則．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面積．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的面積最大，面積的最大值為，故選：B．【變式6-1】（23-24高一上·江蘇連云港·月考）某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價(jià)為100元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？【答案】當(dāng)水池設(shè)計(jì)成底面邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，為198400元．【解析】設(shè)池底的一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，總造價(jià)為元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)水池設(shè)計(jì)成底面邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，最低為198400元．【變式6-2】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長(zhǎng)方形且面積為的三級(jí)污水處理池．由于地形限制，該處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m，且高度一定．如果四周池壁的造價(jià)為400元/，中間兩道隔墻的造價(jià)為248元/，池底造價(jià)為80元/，那么如何設(shè)計(jì)該處理池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最低？（池壁的厚度忽略不計(jì)）【答案】長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低．【解析】設(shè)處理池的長(zhǎng)和寬分別為，，高為，總造價(jià)為，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即，時(shí)取到等號(hào)，故長(zhǎng)為m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低．【變式6-3】（23-24高一上·四川樂(lè)山·期中）用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆的長(zhǎng)度最??？并求出所用籬笆長(zhǎng)度的最小值．【答案】當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為時(shí)，所用籬笆長(zhǎng)度最小，其最小值為．【解析】設(shè)，上底，分別過(guò)點(diǎn)作下底的垂線，垂足分別為，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則，所用籬笆長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．所以，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為時(shí)，所用籬笆長(zhǎng)度最小，其最小值為．一、單選題1．（23-24高一上·陜西寶雞·期中）取最小值時(shí)的取值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題意可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即取最小值時(shí)的取值為．故選：．2．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意，解得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：B.3．（22-23高一上·江蘇宿遷·月考）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：C.4．（23-24高一下·云南麗江·開(kāi)學(xué)考試）已知a，b為正數(shù)，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】正數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4.故選：C5．（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知，則的最小值為（

）A．5 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．故選：B.6．（23-24高一上·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點(diǎn)，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故選：D.二、多選題7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．最小值為