內(nèi)蒙古赤峰市名校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

絕密★啟用前高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合，常用邏輯用語(yǔ)，不等式，函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)，三角函數(shù)，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.在二十四節(jié)氣中，冬季的節(jié)氣有立冬?小雪?大雪?冬至?小寒和大寒，則“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件3.（）A.B.C.D.4.位于某海域處的甲船獲悉：在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船北偏東且與甲船相距30海里的處的乙船，讓乙船也前往救援，則乙船至少需要航行的海里數(shù)為（）A.B.C.D.5.箕舌線(xiàn)是平面曲線(xiàn)的一種，因其狀如舌而得名.若箕舌線(xiàn)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A.B.3C.D.67.若點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則（）A.B.2C.D.8.已知，且，則的最小值為（）A.1B.2C.3D.4二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D.與的圖象在上有公共點(diǎn)10.已知向量，則（）A.B.C.數(shù)列是周期數(shù)列D.數(shù)列的前100項(xiàng)和為20011.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.在上單調(diào)遞增C.是的一個(gè)極小值點(diǎn)D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為_(kāi)_________.13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其中記載了關(guān)于牲畜買(mǎi)賣(mài)的問(wèn)題.假設(shè)一只雞與一只狗?一只狗與一只羊?一只羊與一頭驢的價(jià)格之差均相等，一只羊與兩只雞的價(jià)格總數(shù)為200錢(qián)，一頭驢的價(jià)格為一只狗的2倍.按照這個(gè)價(jià)格，甲買(mǎi)了一只雞與一只狗，則甲花費(fèi)的錢(qián)數(shù)為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的最大值.16.（15分）已知是等比數(shù)列，是常數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.17.（15分）如圖，在四邊形中，平分.（1）若，求；（2）若，求的面積.18.（17分）已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為3，求.（2）已知恰有兩個(gè)零點(diǎn).①求的取值范圍；②證明：.19.（17分）設(shè)為一個(gè)非空的二元有序數(shù)組的集合，集合為非空數(shù)集.若按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得中任意一個(gè)元素，在中都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)對(duì)應(yīng)關(guān)系為定義在上的二元函數(shù)，記作.已知二元函數(shù)滿(mǎn)足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.高三數(shù)學(xué)考試參考答案1.A【解析】本題考查集合的并集，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題意得，則.2.B【解析】本題結(jié)合二十四節(jié)氣考查充分條件與必要條件，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”，“甲出生在冬季”不能推出“甲出生在冬至”，所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要條件.3.D【解析】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)..4.A【解析】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查直觀想象的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí).如圖，由題可知.在中，由余弦定理可得海里，所以乙船至少需要航行的海里數(shù)為.5.B【解析】本題考查函數(shù)的圖象，考查直觀想象的核心素養(yǎng).，排除A.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除D.在上單調(diào)遞減，排除C.的圖象符合題中圖象，B正確.6.C【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由題意得對(duì)恒成立.因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即.7.D【解析】本題考查三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題意得，則，得.故.8.C【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.由，得，得，則.設(shè)函數(shù)，則.易知在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以.故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為3.9.BC【解析】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象的變換，考查直觀想象的核心素養(yǎng).由題意得，則，A錯(cuò)誤，B正確.，C正確.當(dāng)時(shí)，，則，D錯(cuò)誤.10.ABD【解析】本題考查向量?三角函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因?yàn)椋?，即，所以，A，B正確.易得數(shù)列不是周期數(shù)列，C錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以?shù)列的前100項(xiàng)和為，D正確.11.ACD【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造，考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).由，得，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，A正確.當(dāng)時(shí)，令，則.因?yàn)?，所?由，得，所以，即，則.令，得，舍去，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤.因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以的一個(gè)極小值點(diǎn)為，C正確.因?yàn)?，所以，D正確.12.5【解析】本題考查復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的概念，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題意得，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為5.13.120【解析】本題以《九章算術(shù)》中的牲畜買(mǎi)賣(mài)為背景，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí).由題意得購(gòu)買(mǎi)一只雞?一只狗?一只羊?一頭驢的錢(qián)數(shù)依次成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，公差為，則一只雞?一只狗?一只羊?一頭驢的價(jià)格依次為，由題意得解得故甲花費(fèi)的錢(qián)數(shù)為.14.【解析】本題考查三角函數(shù)的零點(diǎn)，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).由，得，即或.由，得.設(shè)在上的零點(diǎn)依次為.不妨令，則，此時(shí)要使得最大，則需滿(mǎn)足兩項(xiàng)相減得，即.當(dāng)時(shí)，同理可得的最大值.故的最大值為.15.【解析】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).解：（1）由，得.由，得，即，所以不等式的解集為.（2）由題意得.由，得，即.因?yàn)?，函?shù)是增函數(shù)，所以，即的最大值為（或）.評(píng)分細(xì)則：在第（1）問(wèn)中，求的解析式也可以這樣解答：令，則，得，即16.【解析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與數(shù)列的前項(xiàng)和，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).解：（1）設(shè).由是等比數(shù)列，得，即，解得，即.數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，即.（2）由題意得.17.【解析】本題考查正弦?余弦定理，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解：（1）在中，由余弦定理得.因?yàn)?，所?故.（2）設(shè).在中，由正弦定理，得，得，即.在中，由正弦定理，得.由得.因?yàn)?，所以，則，得.易知，則，得.故的面積為.評(píng)分細(xì)則：在第（2）問(wèn)中，在求出后，還可以這樣求的面積：在中，由余弦定理得，得，得（負(fù)根已舍去）.故的面積為.18.【解析】本題考查一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).（1）解：由題意得.由，得.（2）①解：令，得.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故.當(dāng)時(shí)，，又，所以，即的取值范圍為.②證明：由①可得，則兩式相加得.由，得.要證，只需證.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，即.因?yàn)?，所以，?又，所以，所以，從而得證.評(píng)分細(xì)則：在第（2）①問(wèn)中，還可以這樣解答：由題意得.若，則單調(diào)遞減，所以在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn).若，