《數(shù)學分析1》課程教學大綱

《數(shù)學分析1》教學大綱課程名稱：數(shù)學分析（2）英文名稱：MathematicalAnalysis(2)課程編號：F035091031學分：6總學時/課內(nèi)實踐學時：96/0課程性質(zhì)：必修課程開課單位：數(shù)理科學與工程學院數(shù)學系基層教學組織適應對象：信息與計算科學專業(yè)一、課程簡介數(shù)學分析是信息與計算科學專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程。是進一步學習復變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、概率論、實變函數(shù)、泛函分析等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，是數(shù)學類專業(yè)碩士研究生必考的基礎(chǔ)課。本課程的主要內(nèi)容有極限論、一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、級數(shù)理論，極限思想貫穿本課程始終。課程的主要目的是通過三個學期對數(shù)學分析的系統(tǒng)學習與訓練，逐步提高學生的數(shù)學修養(yǎng)，掌握數(shù)學的基本思想和方法，具備一定的理論分析及論證能力，提高學生利用數(shù)學分析的基本思想和方法解決實際問題的能力。本課程以課堂講授為主，輔以自學和討論?？己朔绞綖殚]卷考試。在課堂講授中，應深入思考挖掘課程中蘊含的哲學及政治思想，將思政教育融匯于教學過程，引導學生樹立正確的人生觀、價值觀，培養(yǎng)學生的家國情懷。Mathematicalanalysisisaprofessionalbasiccourseininformationandcomputationalscience.Itisthebasisforfurtherlearningofcomplexvariablefunction,ordinarydifferentialequation,partialdifferentialequation,probabilitytheory,realvariablefunction,functionalanalysisandothersubsequentcourses.Itisthebasiccourserequiredformasterstudentsmajoringinmathematics.Themaincontentsofthiscourseincludelimittheory,unionaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculus,seriestheory,andlimitthoughtthroughoutthiscourse.Themainpurposeofthecourseistograduallyimprovestudents'mathematicalcultivation,masterthebasicideasandmethodsofthebasicideasandmethodsofmathematics,havecertaintheoreticalanalysisanddemonstrationability,andimprovestudents'abilitytosolvepracticalproblemsthroughthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis.Thiscourseismainlyaboutclassroomteaching,supplementedbyself-studyanddiscussion.Theassessmentmethodisaclosed-bookexamination.Intheclassroomteaching,weshouldthinkdeeplyaboutandexplorethephilosophyandpoliticalthoughtscontainedinthecourse,integrateideologicalandpoliticaleducationintotheteachingprocess,guidestudentstoestablishacorrectoutlookonlifeandvalues,andcultivatestudents'feelingsofhomeandcountry.二、課程目標1.強化科學倫理教育，注重科學思維方法訓練和科學精神培養(yǎng)，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生科技報國的家國情懷和使命擔當。2.深刻理解極限思想，在極限思想的基礎(chǔ)上，掌握一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、級數(shù)論，為后續(xù)課程的學習奠定良好的基礎(chǔ)。3.掌握數(shù)學分析的基本思想與方法，培養(yǎng)數(shù)學思維，提高學生運用數(shù)學思想和方法解決實際問題的能力。1.Strengthenscientificethicseducation,payattentiontothetrainingofscientificthinkingmethodsandscientificspirit,improvestudents'abilitytoanalyzeandsolveproblems,andcultivatestudents'nationalfeelingsandmissionresponsibilityforservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Deepunderstandingoflimitthought,onthebasisoflimitthought,mastertheunionaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculus,seriestheory,tolayagoodfoundationforthesubsequentcourselearning.3.Masterthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis,cultivatemathematicalthinking,andimprovestudents'abilitytousemathematicalideasandmethodstosolvepracticalproblems.三、課程目標與畢業(yè)要求對應關(guān)系本課程的課程目標對信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)要求指標點的支撐情況如表1所示：表1：課程目標與畢業(yè)要求對應關(guān)系畢業(yè)要求指標點課程目標畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)，掌握信息科學、計算科學和計算機科學的基本理論和基本知識課程目標2畢業(yè)要求2：能力要求通過系統(tǒng)的數(shù)學思維訓練，掌握數(shù)學科學的思想方法，具有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)和較強的數(shù)學語言表達能力課程目標2課程目標3畢業(yè)要求3：素質(zhì)要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀，愛國、誠信、友善、守法，具有高度的社會責任感，具有良好的心理素質(zhì)和積極的人生態(tài)度課程目標1四、課程教學安排課程共有8項教學內(nèi)容，具體安排如下。表2：課程教學安排表序號教學內(nèi)容思政元素課堂教學學時實驗/實踐教學學時學時小計1不定積分-——102122定積分人生觀104143定積分的應用-——124164反常積分愛國情懷，探索精神104145數(shù)項級數(shù)-——124166函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)-——144187冪級數(shù)價值觀4268傅里葉級數(shù)合計722496教學安排1.不定積分教學要求：掌握原函數(shù)與不定積分的概念，熟記基本積分表，熟練掌握不定積分的運算。教學內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分表，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分，可化為有理函數(shù)的積分。重點難點：不定積分的計算。2.定積分教學要求：掌握定積分的由來、概念、幾何意義、性質(zhì)，熟練應用牛頓-萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法計算定積分，掌握定積分的可積條件、可積函數(shù)類，能夠運用可積的充要條件，判斷或證明函數(shù)的可積性，理解變限積分的性質(zhì)并能熟練運用此性質(zhì)求解相關(guān)問題。教學內(nèi)容：定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，可積條件，定積分的性質(zhì)，變限積分的性質(zhì)，定積分的換元法與分部積分法。重點難點：定積分的概念、牛頓-萊布尼茲公式、變限積分與原函數(shù)、定積分的性質(zhì)與計算；定積分的可積條件、可積函數(shù)類。思政元素：在求曲邊梯形的面積時，我們是把整個曲邊梯形劃分成若干小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形的面積求近似，再求和，求極限，從而得到整個曲邊梯形的面積。這個例子告訴我們，在實際生活中，要把人生中的大目標劃分成一個一個具體的、切實可行的小目標（化整為零），然后一步一步踏踏實實努力實現(xiàn)每一個小目標，這樣堅持下去，積少成多（積零為整），最終總會實現(xiàn)最初的大目標（取極限）。3.定積分的應用教學要求：會用定積分的思想處理幾何、物理中的某些實際問題。教學內(nèi)容：定積分在幾何與物理上的應用。重點難點：微元法的基本思想，定積分在幾何與物理上的應用。4.反常積分教學要求：掌握兩類反常積分（無窮積分、瑕積分）斂散性的概念集性質(zhì)，能熟練運用柯西判別法判斷非負函數(shù)反常積分的斂散性，能夠用阿貝爾判別法、狄立克雷判別法判斷一般函數(shù)反常積分的斂散性。教學內(nèi)容：反常積分（無窮積分、瑕積分）斂散性的概念，無窮積分的性質(zhì)與收斂判別，瑕積分的性質(zhì)與收斂判別。重點難點：反常積分絕對收斂與條件收斂的判別，阿貝爾判別法，狄立克雷判別法。思政元素：通過把嫦娥三號、嫦娥四號、嫦娥五號這一系列月球探測器登月這一激動人心的大事引入課程內(nèi)容，引導學生思考：火箭的發(fā)射速度要滿足什么條件，火箭才可以脫離地球引力？從而引出第二宇宙速度，引入無窮積分的概念。從中國航天的重要事件“嫦娥系列月球探測器登月”引入課程內(nèi)容，激發(fā)學生學習的興趣，同時向同學們展示了中國航天科技的進步、自信、開放和強大，激發(fā)學生的愛國情懷，激勵學生的科學探索精神。5．數(shù)項級數(shù)教學要求：掌握數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)（包括絕對收斂與條件收斂的性質(zhì)），熟練掌握正項級數(shù)的斂散性判別法、交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，掌握一般項級數(shù)的狄利克雷判別法、阿貝爾判別法，了解更序級數(shù)的性質(zhì)。教學內(nèi)容：級數(shù)的收斂性，正項級數(shù)，交錯級數(shù)，一般項級數(shù)。重點難點：級數(shù)斂散性的定義、性質(zhì)、各種判別方法的綜合運用，利用狄利克雷、阿貝爾判別法判別一般項級數(shù)的斂散性。6.函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)教學要求：掌握函數(shù)列的收斂域、極限函數(shù)、一致收斂等概念，掌握函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)、內(nèi)閉一致收斂及一致收斂等概念，熟練掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法，掌握一致收斂函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。教學內(nèi)容：函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂、內(nèi)閉一致收斂，一致收斂函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)、判別法。重點難點：函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂的概念、判別；一致收斂函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。7.冪級數(shù)教學要求：理解冪級數(shù)、函數(shù)的泰勒級數(shù)的概念，了解函數(shù)可展成泰勒級數(shù)的條件，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，能利用冪級數(shù)的性質(zhì)求某些冪級數(shù)的和函數(shù)，熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域的求法，掌握冪級數(shù)展開式的應用。教學內(nèi)容：Abel定理，冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域，函數(shù)的冪級數(shù)展開，冪級數(shù)的性質(zhì)及運算，求和函數(shù)。重點難點：冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域，函數(shù)的冪級數(shù)展開，冪級數(shù)的性質(zhì)及運算，求和函數(shù)。思政元素：在講述Abel定理時，介紹挪威數(shù)學家Abel（1802-1929）的生平，他短短27年的生命里，一直生活在貧窮、饑寒、病痛之中，但他沒有屈服于艱難的命運，他的數(shù)學才華在他13歲時就已凸顯，此后雖歷經(jīng)磨難，卻畢生堅持對數(shù)學的熱誠，在追求真理的道路上孜孜不倦，堅定信念，創(chuàng)造出大量的開創(chuàng)性的數(shù)學成果。通過數(shù)學家經(jīng)歷的了解，感受數(shù)學家們堅定的信念，學習數(shù)學家們不懼艱難困苦，為科學奉獻的精神。8.傅里葉級數(shù)教學要求：掌握三角函數(shù)系的正交性與傅里葉級數(shù)的概念，了解傅里葉級數(shù)的收斂定理，能把周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù)。教學內(nèi)容：傅里葉級數(shù)的概念，傅里葉級數(shù)的收斂定理，周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開。重點難點：傅里葉級數(shù)收斂定理的證明，周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開。五、課內(nèi)實踐教學內(nèi)容及要求無六、課程考核與評價表4：成績評定方式表考核環(huán)節(jié)分值考核/評價細則平時成績40根據(jù)出勤，課堂表現(xiàn),作業(yè)，小測驗等按40%計入總成績期末考試60閉卷