專項01 圓性質(zhì)中輔助線的添加

專項01圓性質(zhì)中輔助線的添加方法一連半徑，構(gòu)造圓心角1.(2023山東淄博博山二模)如圖，A，B，C是☉O上的三點，若∠C=35°，則∠ABO的度數(shù)是°.

2.(2023山東泰安岱岳期末)如圖，AD=BC，AC=1，∠D=30°.(1)求證：AB=CD；(2)求☉O的半徑.方法二作(找)垂徑，構(gòu)造直角三角形3.(2023山東淄博張店一模改編)如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，∠ABC=120°，AC=23，則☉O的半徑的長為.

第3題圖 第4題圖4.(2022四川涼山州中考)如圖，☉O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點H，若cos∠CDB=45，BD=5，則☉O的半徑為方法三作直徑所對圓周角，構(gòu)造直角三角形5.(2023山東淄博周村一模)如圖，線段AB是☉O的直徑，C，D為☉O上兩點，如果AB=6，AC=3，那么∠ADC的度數(shù)是()A.15° B.30° C.45° D.60°6.(2022山東泰安中考)如圖，AB是☉O的直徑，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，則☉O的半徑為()A.23 B.32 C.25 D.57.如圖，AB是☉O的直徑，點C，D是☉O上的點，作點D關(guān)于弦BC的對稱點D'，點D'恰好落在AB上，若sin∠ABC=35，AB=5，8.(2022湖南張家界中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB是半圓O的直徑，點C是BD的中點，延長AD交BC的延長線于點E.(1)求證：CE=CD；(2)若AB=3，BC=3，求AD的長.方法四構(gòu)造同弧所對的圓周角9.(2023四川成都中考)如圖，以△ABC的邊AC為直徑作☉O，交BC邊于點D，過點C作CE∥AB交☉O于點E，連接AD，DE，∠B=∠ADE.(1)求證：AC=BC；(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的長.方法五作(找)直徑，轉(zhuǎn)移角度10.如圖，點A，B，C在☉O上，若AC=5，tanB=512，則☉O的半徑為11.(2020四川涼山州中考)如圖，☉O的半徑為R，其內(nèi)接銳角三角形ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所對的邊分別是a，b，c.(1)求證：asin∠BAC=bsin∠ABC(2)若∠BAC=60°，∠ACB=45°，BC=43，利用(1)的結(jié)論求AB的長和sin∠ABC的值.

專項01圓性質(zhì)中輔助線的添加答案全解全析1.答案55解析連接OA(圖略).∵∠C=35°，∴∠AOB=70°.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠ABO=180°?70°22.解析(1)證明：∵BC=AD，∴BC=AD.∴BC+AC=AD+AC，即AB=CD.∴AB=CD.(2)如圖，連接OA，OC，則OA=OC.∵∠D=30°，∴∠AOC=2∠D=60°.∴△AOC是正三角形.∴OA=AC=1，即☉O的半徑為1.3.答案2解析如圖，在弦AC所對優(yōu)弧上取一點D，連接OA，OC，DA，DC，作OH⊥AC于H.∴AH=12AC=12×23=3∴∠D=180°-∠B=180°-120°=60°.∴∠AOC=2∠D=120°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴cos∠OAH=AHAO=34.答案25解析連接OD(圖略).∵AB是☉O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，∴AB⊥CD.∴∠OHD=∠BHD=90°.∵cos∠CDB=DHBD=45，BD=5設(shè)OH=x，則OD=OB=x+3.在Rt△ODH中，由勾股定理得x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴OB=OH+BH=76+3=5.B連接BC(圖略).∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=6，AC=3，∴sin∠ABC=ACAB=1∴∠ABC=30°.∴∠ADC=∠ABC=30°，故選B.6.D連接CB(圖略).∵∠ACD=∠CAB，∴AD=BC.∴AD=BC=2.∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中，BC=2，AC=4，∴AB=AC2+BC2∴☉O的半徑為5.故選D.7.解析如圖，連接CA，CD，CD'，過點C作CE⊥AB，垂足為E.∵點D關(guān)于弦BC的對稱點為D'，∴CD'=CD，BD'=BD，∠D'BC=∠DBC.∴AC=CD.∴AC=CD=CD'.∵CE⊥AB，∴D'E=AE.∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∴∠ACE+∠ECB=90°.∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°.∴∠ABC+∠ECB=90°.∴∠ACE=∠ABC.∴sin∠ACE=sin∠ABC=35在Rt△ABC中，AB=5，sin∠ABC=ACAB=35在Rt△AEC中，sin∠ACE=AEAC=35，∴AE=∴BD'=AB-AD'=AB-2AE=5-2×95=75.∴BD=8.解析(1)證明：如圖，連接AC.∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=∠ACE=90°.∵點C是BD的中點，∴CD=CB，∴∠CAE=∠CAB，CD=CB.∵AC=AC，∴△ACE≌△ACB(ASA).∴CE=CB.∴CE=CD.(2)∵△ACE≌△ACB，AB=3，BC=3，∴AE=AB=3，CE=BC=3.∴BE=23.∵四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，∴∠CDE=∠ABE.∵∠E=∠E，∴△EDC∽△EBA.∴DEBE=CDAB，即DE23∴AD=AE-DE=1.9.解析(1)證明：∵∠ADE=∠ACE，∠ADE=∠B，∴∠B=∠ACE.∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE.∴∠B=∠BAC，∴AC=BC.(2)∵AC為☉O的直徑，∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ABD中，tanB=ADBD=2，∵CD=3，∴AC=BC=BD+CD=BD+3.∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∴AD2+CD2=AC2，∴(2BD)2+32=(BD+3)2，解得BD=2或BD=0(舍去).∴AD=2BD=4，AB=AD2+BD2=如圖，連接AE，∵∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB=DEBC，即425=∴AB和DE的長均為25.10.答案6.5解析如圖，過點A作直徑AD，連接DC，則∠ACD=90°.∵∠D=∠B，tanB=512∴tanD=512∵tanD=ACCD=512，AC=5∴AD=AC11.解析(1)證明：如圖，作直徑BE，連接CE，則∠BCE=90°，∠BEC=∠BAC.∴sin∠BAC=sin∠BEC=BCBE=a2R同理可得，bsin∠ABC=2R，∴asin∠BAC=bsin∠