專項27-平行線分線段成比例-重難點題型

平行線分線段成比例-重難點題型【知識點1平行線分線段成比例定理】兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．【題型1平行線分線段成比例（“#”字型）】【例1】（杭州一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)．若ABBC=4A．43 B．34 C．37【變式1-1】（拱墅區(qū)模擬）如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于A，B，C和D，E，F(xiàn)．若ABBC=25，A．10 B．203 C．12 【變式1-2】（密云區(qū)期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為CD、DE，直線l5被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為FG、GH．若CD＝1，DE＝2，F(xiàn)G＝1.2，則GH的長為（）A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6【變式1-3】（泰興市期末）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條直線分別交于點A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE的長為（）A．4 B．6 C．8 D．9【題型2平行線分線段成比例（“X”字型）】【例2】（洪山區(qū)校級月考）如圖，l1∥l2∥l3，則下列等式不成立的是（）A．ADDF=BCCE B．AGAF=【變式2-1】（寶山區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝．【變式2-2】（江西一模）如圖l1∥l2∥l3，若ABBC=32，DF＝10，則【變式2-3】（嘉興模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么BCBE的值等于【知識點2平行線分線段成比例定理的推論】平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【題型3平行線分線段成比例定理的推論（“A”字型）】【例3】（芝罘區(qū)期末）如圖，已知點D為△ABC邊AB上一點，AD：AB＝2：3，過點D作BC的平行線交AC于點E，若AE＝6，則EC的長度是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】（深圳模擬）如圖，△ABC中，D、F在AB邊上，E、G在AC邊上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，則EC的長為．【變式3-2】（大邑縣期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，則AC的長是（）A．365 B．215 C．20【變式3-3】（芝罘區(qū)期末）如圖，AB與CD相交于點E，點F在線段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，則BDACA．23 B．12 C．35【題型4平行線分線段成比例定理的推論（“8”字型）】【例4】（成華區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則BEEGA．12 B．13 C．23【變式4-1】（曹縣期中）如圖，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，則CE的長為．【變式4-2】如圖，AD、BC相交于點O，點E、F分別在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝5，AF＝3，那么AD＝．【變式4-3】如圖所示，AB∥CD∥EF，AC與BD相交于點E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，則CDAB的值是【題型5平行線分線段成比例（判斷比例式）】【例5】（拱墅區(qū)二模）如圖，已知點E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且EF∥BC，點D是BC邊上的點，AD與EF交于點H，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AEAB=AHAD B．AEAB=【變式5-1】（東平縣期末）已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【變式5-2】（南召縣二模）如圖直線AB、CD、EF被直線a、b所截，若∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，下列結(jié)論錯誤的是（）A．EF∥CD∥AB B．ACCE=BDDF C．【變式5-3】如圖，一組互相平行的直線a，b，c分別與直線l1，l2交于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線l1，l2交于點O，則下列各式不正確的是（）A．ABBC=DEEF B．ABAC=【題型6平行線分線段成比例（作輔助線）】【例6】（陜西模擬）如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，作AF⊥BE于F，連接DF，若AB＝6，DF＝BC，則CE的長度為（）A．2 B．52 C．3 D．【變式6-1】（寶山區(qū)月考）如圖，△ABC中，G是BC中點，E是AG中點，CE的延長線交AB于D，則ECDEA．2 B．3 C．13 D．【變式6-2】（江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AD是中線，BE是角平分線，AD、BE交于點F．若ABBC=3A．95 B．94 C．83【變式6-3】（無錫）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為．

平行線分線段成比例-重難點題型（解析版）【知識點1平行線分線段成比例定理】兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．【題型1平行線分線段成比例（“#”字型）】【例1】（杭州一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)．若ABBC=4A．43 B．34 C．37【解題思路】本題通過三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例即可得到結(jié)果．【解答過程】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴ABBC∵ABBC=43，DF＝∴DEDF故選：D．【變式1-1】（拱墅區(qū)模擬）如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于A，B，C和D，E，F(xiàn)．若ABBC=25，A．10 B．203 C．12 【解題思路】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【解答過程】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABBC∵DE＝4，∴EF＝10，∴DF＝DE+EF＝4+10＝14，故選：D．【變式1-2】（密云區(qū)期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為CD、DE，直線l5被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為FG、GH．若CD＝1，DE＝2，F(xiàn)G＝1.2，則GH的長為（）A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出CDDE【解答過程】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴CDDE∵CD＝1，DE＝2，F(xiàn)G＝1.2，∴12∴GH＝2.4，故選：C．【變式1-3】（泰興市期末）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條直線分別交于點A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE的長為（）A．4 B．6 C．8 D．9【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出ABAC=DE【解答過程】解：∵AD∥BE∥CF，∴ABAC∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，∴66+3解得：DE＝8，故選：C．【題型2平行線分線段成比例（“X”字型）】【例2】（洪山區(qū)校級月考）如圖，l1∥l2∥l3，則下列等式不成立的是（）A．ADDF=BCCE B．AGAF=【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF=BCCE，AGAF故選：D．【變式2-1】（寶山區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝9．【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出BC，即可得出答案．【解答過程】解：∵l1∥l2∥l3，∴DEEF∴BCAC∵AC＝15，∴BC＝9，故答案為：9．【變式2-2】（江西一模）如圖l1∥l2∥l3，若ABBC=32，DF＝10，則DE＝【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入即可求出答案．【解答過程】解：∵l1∥l2∥l3，ABBC∴ABBC∵DF＝10，∴DE10?DE解得：DE＝6，故答案為：6．【變式2-3】（嘉興模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么BCBE的值等于38【解題思路】利用平行線分線段成比例定理求解．【解答過程】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCBE故答案為38【知識點2平行線分線段成比例定理的推論】平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【小結(jié)】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做交AC于點，再證明與F重合即可．【題型3平行線分線段成比例定理的推論（“A”字型）】【例3】（芝罘區(qū)期末）如圖，已知點D為△ABC邊AB上一點，AD：AB＝2：3，過點D作BC的平行線交AC于點E，若AE＝6，則EC的長度是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由DE∥BC，推出ADAB=AE【解答過程】解：∵DE∥BC，∴ADAB∴23∴AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，故選：C．【變式3-1】（深圳模擬）如圖，△ABC中，D、F在AB邊上，E、G在AC邊上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，則EC的長為9．【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理和已知條件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，設(shè)AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，根據(jù)AG＝15得出方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可．【解答過程】解：∵DE∥FG∥BC，∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，∵AD：DF：FB＝3：2：1，∴AE：EG：GC＝3：2：1，設(shè)AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，∵AG＝15，∴3x+2x＝15，解得：x＝3，即AE＝9，EG＝6，GC＝3，∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，故答案為：9．【變式3-2】（大邑縣期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，則AC的長是（）A．365 B．215 C．20【解題思路】過A作MN∥DE，求出MN∥DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出ADAB【解答過程】解：過A作MN∥DE，∵DE∥BC，∴MN∥DE∥BC，∵ADAB∵AD＝5，AB＝12，AE＝3，∴512解得：AC=36故選：A．【變式3-3】（芝罘區(qū)期末）如圖，AB與CD相交于點E，點F在線段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，則BDACA．23 B．12 C．35【解題思路】設(shè)CF＝x，則BFCF=BEAE，求出CF，由EF∥【解答過程】解：設(shè)CF＝x，∵EF∥AC，∴BFCF∴3x解得x=9∴CF=9∵EF∥DB，∴BDAC故選：A．【題型4平行線分線段成比例定理的推論（“8”字型）】【例4】（成華區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則BEEGA．12 B．13 C．23【解題思路】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【解答過程】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴AEEC∴BE故選：C．【變式4-1】（曹縣期中）如圖，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，則CE的長為4．【解題思路】三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．【解答過程】解：∵AB∥CD∥EF，∴ADDF即32解得：CE＝4，故答案為：4【變式4-2】如圖，AD、BC相交于點O，點E、F分別在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝5，AF＝3，那么AD＝215【解題思路】利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；【解答過程】解：∵AB∥CD∥EF，∴BECE∵CE＝2，EB＝5，AF＝3，∴52∴DF=6∴AD＝AF+DF＝3+6故答案為215【變式4-3】如圖所示，AB∥CD∥EF，AC與BD相交于點E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，則CDAB的值是13【解題思路】先利用AB∥EF得到CEEA=CFBF，則可求出解得AE＝12，然后利用AB∥【解答過程】解：∵AB∥EF，∴CEEA∵CE＝4，CF＝3，AE＝BC，∴4AE=3∵AB∥CD，∴CDAB故答案為13【題型5平行線分線段成比例（判斷比例式）】【例5】（拱墅區(qū)二模）如圖，已知點E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且EF∥BC，點D是BC邊上的點，AD與EF交于點H，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AEAB=AHAD B．AEAB=【解題思路】利用平行線分線段成比例定理即可一一判斷．【解答過程】解：∵EF∥BC，∴AEAB=AHAD，∴選項A，C，D正確，故選：B．【變式5-1】（東平縣期末）已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【解題思路】首先證明四邊形DECH是平行四邊形，再利用平行線分線段成比例定理一一判斷即可．【解答過程】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四邊形DECH是平行四邊形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，∴ADDB=AE∵DH∥CG，∴DFFG=DH∵DE∥BC，∴DEBC∴CHBC=AE故選：B．【變式5-2】（南召縣二模）如圖直線AB、CD、EF被直線a、b所截，若∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，下列結(jié)論錯誤的是（）A．EF∥CD∥AB B．ACCE=BDDF C．【解題思路】根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線分線段成比例解答即可．【解答過程】解：∵∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，∴AB∥CD∥EF，∴ACCE故選：C．【變式5-3】如圖，一組互相平行的直線a，b，c分別與直線l1，l2交于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線l1，l2交于點O，則下列各式不正確的是（）A．ABBC=DEEF B．ABAC=【解題思路】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個判斷即可．【解答過程】解：A、∵直線a∥直線b∥直線c，∴ABBCB、∵直線a∥直線b∥直線c，∴ABACC、∵直線a∥直線b∥直線c，∴EFBCD、∵直線b∥直線c，∴△OEB∽△OFC，∴OEOF故選：D．【題型6平行線分線段成比例（作輔助線）】【例6】（陜西模擬）如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，作AF⊥BE于F，連接DF，若AB＝6，DF＝BC，則CE的長度為（）A．2 B．52 C．3 D．【解題思路】過D作DH⊥AF于點H，延長DH與AB相交于點G，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件得DA＝DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得H是AF的中點，由平行線等分線段定理得G是AB的中點，進(jìn)而證明四邊形BEDG是平行四邊形，求得DE，便可得CE的長度．【解答過程】解：過D作DH⊥AF于點H，延長DH與AB相交于點G，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG=1∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故選：C．【變式6-1】（寶山區(qū)月考）如圖，△ABC中，G是BC中點，E是AG中點，CE的延長線交AB于D，則ECDEA．2 B．3 C．13 D．【解題思路】過G作GM∥CD，交AB于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出M