2025屆高中數(shù)學統(tǒng)考第二輪專題復習第2講函數(shù)的綜合問題限時集訓理含解析

第2講函數(shù)的綜合問題基礎(chǔ)過關(guān)1.已知f(x-2)=lnx-2x,且f(x0)=0,則x0所在的區(qū)間為 (A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(4,5)2.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又存在零點的是 ()A.f(x)=ex-1 B.f(x)=x+1C.f(x)=2x-xD.f(x)=2x-x3.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x≤0,log12(x+1),x>0,若當x∈[a,a+1]A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)4.設(shè)三個函數(shù)y=2x+x-2,y=log2x+x-2和y=x3-3x2+3x-1的零點分別為x1,x2和x3,則有 ()A.x1x2≥x3,x1+x2≥2x3 B.x1x2<x3,x1+x2=2x3C.x1x2>x32,x1+x2≤2xD.x1x2=x32,x1+x2≥25.設(shè)函數(shù)f(x)=2xx+1+lnx滿意f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),若f(x)存在零點x0,則下列選項中肯定錯誤的是 A.x0∈(a,c) B.x0∈(a,b)C.x0∈(b,c) D.x0∈(c,+∞)6.已知函數(shù)f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有兩個零點x1,x2,則x1+x2= ()A.2 B.4C.5 D.67.衡東土菜辣美鮮香,享譽三湘.某衡東土菜館為實現(xiàn)100萬元經(jīng)營利潤的目標,擬制定員工的嘉獎方案:在經(jīng)營利潤超過6萬元的前提下進行嘉獎,且獎金y(單位:萬元)隨經(jīng)營利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過3萬元,同時獎金不能超過經(jīng)營利潤的20%.下列函數(shù)模型中,符合要求的是(參考數(shù)據(jù):1.015100≈4.432,lg11≈1.041) ()A.y=0.04x B.y=1.015x-1C.y=tanx19-1 D.y=log11(3x-10)8.已知函數(shù)f(x)=ex-1-ax-1e(a∈R)的圖像與x軸有唯一的公共點,則實數(shù)a的取值范圍為 (A.a≤0 B.a≤0或a=1C.a≤0或a=e D.a≤0或a=19.已知函數(shù)f(x)=lnxx2,若f(x)<m-1x2在(0,+∞)上恒成立,則實數(shù)mA.m>e B.m>eC.m>1 D.m>e10.若函數(shù)f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在區(qū)間(-2,+∞)上有且僅有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

實力提升11.已知函數(shù)f(x)=x2+10x+1,x≤0,|lgx|,x>0,若關(guān)于x的方程f(x)=a(a∈R)有四個實數(shù)解xi(i=1,2,3,4),其中x1<x2<x3<x4,A.(0,101] B.(0,99]C.(0,100] D.(0,+∞)12.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,y=f(x+1)是奇函數(shù),y=g(x+1)是偶函數(shù),若y=f(x)·g(x)的圖像與x軸有5個交點,則y=f(x)·g(x)的零點之和為 ()A.-5 B.5C.-10 D.1013.已知θ∈0,π2,若θ滿意不等式sin3θ-cos3θ≥lncosθsinθ,則θ的取值范圍是 (A.π4,π2 B.0,π4C.π4,π3 D.π4,π214.若函數(shù)f(x)=2x-a,x<1,4A.12B.(1,2]C.0,12∪[2,D.12,1∪[215.若函數(shù)f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在區(qū)間0,1a上恰有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是 A.13,12B.[3,+∞)C.(1,2)∪[3,+∞) D.[2,3)16.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=ex(x+1).給出下列說法:①當x>0時,f(x)=e-x(x-1);②函數(shù)f(x)有三個零點;③f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞);④?x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|<2.其中正確的說法有 ()A.1個 B.2個C.3個 D.4個17.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx-ax-3π4(a>0)有且僅有三個不同的零點x1,x2,x3(x1<x2<x3),則tan(x3-x2)所在的區(qū)間為 ()A.0,π2 B.π2,πC.3π2,+∞ D.π,3π218.已知函數(shù)f(x)=x3-3x,x≤0,x+ax,x>A.當a>0時,該函數(shù)至少有2個零點B.當a>0時,該函數(shù)至多有7個零點C.當a<0時,該函數(shù)至少有4個零點D.當a<0時,該函數(shù)至多有4個零點19.已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0),若關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(0,e2] B.(0,e2)C.[1,e2] D.(1,e2)20.設(shè)f(x)=|lnx|,0<x<2,f(4-x),2<x<4,若方程f(x)=m有四個不相等的實根xi限時集訓(二)1.A[解析]由f(x-2)=lnx-2x,得f(x)=ln(x+2)-2x+2(x>0).易知f(x)=ln(x+2)-2x+2是定義域上的增函數(shù),故f又f(0)=ln2-1<0,f(1)=ln3-23>0,所以存在x0∈(0,1),使得f(x0)=02.C[解析]依據(jù)函數(shù)奇偶性的概念可知A選項與D選項所給函數(shù)不具有奇偶性;對于B選項,f(x)=x+1x為奇函數(shù),但不存在零點;對于C選項,f(x)=2x-x為奇函數(shù),且f(±2)=0.故選3.B[解析]作出函數(shù)f(x)的圖像,如圖所示.由圖可知,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以f(x+a)≥f(2a-x)?x+a≤2a-x,可得x≤a2.由題意知,當x∈[a,a+1]時,x≤a2恒成立,所以a+1≤a2,解得a≤-2.4.B[解析]易知x3=1.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x,y=log2x,y=2-x的圖像,如圖所示,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分別是曲線y=2x,曲線y=log2x與直線y=2-x的交點.因為函數(shù)y=2x與y=log2x的圖像關(guān)于直線y=x對稱,且直線y=2-x也關(guān)于直線y=x對稱,所以交點A,B關(guān)于直線y=x對稱,所以x1+x22=y1+y22,即2-x所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<x1+x222=1(0<x1<x2),所以x1x2<x3,x1+x2=2故選B.5.C[解析]函數(shù)f(x)=2xx+1+lnx=2+lnx-2x+1的定義域為{x|x>0},且函數(shù)f由f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),可得f(a),f(b),f(c)中有1個是負數(shù)或3個均為負數(shù),且有1個為負數(shù)時肯定是f(a)為負數(shù).由函數(shù)的零點存在定理可知,函數(shù)的零點可能在(a,c),(a,b)或(c,+∞)內(nèi),不行能在(b,c)內(nèi).故選C.6.B[解析]函數(shù)f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2=(x-2)2+ex-2+e-x+2-5,令t=x-2,g(t)=t2+et+e-t-5,則g(-t)=t2+et+e-t-5=g(t),所以函數(shù)g(t)是偶函數(shù),所以f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱.若函數(shù)f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有兩個零點x1,x2,則x1+x2=4.故選B.7.D[解析]對于函數(shù)y=0.04x,當x=100時,y=4>3,不符合題意;對于函數(shù)y=1.015x-1,當x=100時,y≈3.432>3,不符合題意;對于函數(shù)y=tanx19-1,在(6,100]上不是增函數(shù),不符合題意;對于函數(shù)y=log11(3x-10),在(6,100]上是增函數(shù),且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,作出直線y=15x與曲線y=log11(3x-10),如圖所示由圖可知,當x∈(6,100]時,15x>log11(3x-10)恒成立,所以該函數(shù)符合題意.故選D8.B[解析]由題意可得f(0)=e-1-1e=0,則函數(shù)f(x)的圖像與x軸的唯一公共點為原點.f'(x)=ex-1-a當a≤0時,f'(x)>0恒成立,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x)的圖像與x軸有唯一的公共點.當a>0時,由f'(x)>0得x>lna+1,由f'(x)<0得x<lna+1,則f(x)在(-∞,lna+1)上單調(diào)遞減,在(lna+1,+∞)上單調(diào)遞增.由題意可得lna+1=0,解得a=1e.綜上,實數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=1e,故選9.B[解析]∵f(x)=lnxx2,f(x)<m-1x2在(0∴m>1+lnxx2(x>0令g(x)=1+lnx則g'(x)=1x·x當x∈0,e-12時,g'(x)>0,g(x)在區(qū)間0,e-12當x∈e-12,+∞時,g'(x)<0,g(x)在區(qū)間e-12,+∞∴當x=e-12時,g(x)取得極大值,也是最大值,且ge-12=1+lne-12e10.a=0或a≥12[解析]若函數(shù)f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在區(qū)間(-2,+∞)上有且僅有一個零點則方程2|x-2a|=4|x+a|,即2|x-2a|=22|x+a|,即|x-2a|=2|x+a|,即(x-2a)2=4(x+a)2,即x(x+4a)=0在(-2,+∞)上有且只有一個根.當a=0時,滿意題意;當a≠0時,必有-4a≤-2,解得a≥12故實數(shù)a的取值范圍是a=0或a≥1211.B[解析]畫出函數(shù)f(x)=x2+10x+1依據(jù)題意及圖像知x1+x2=-10,lgx3=-lgx4,故x3x4=1,且110≤x3<1故(x1+x2)(x3-x4)=-10x3-1x3∈(0,99].故選B.12.B[解析]由題意得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又g(-x+1)=g(x+1),即g(2-x)=g(x),所以f(2-x)·g(2-x)=-f(x)g(x),所以函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱.設(shè)y=f(x)·g(x)的零點為x1,x2,x3,x4,x5,易知x3=1,設(shè)x1<x2<1<x4<x5,則x1+x5=x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=5.故選B.13.A[解析]∵sin3θ-cos3θ≥lncosθsinθ,θ∈0,π2,∴sin3θ-cos3θ≥lncosθ-lnsinθ,即sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ,其中sinθ>0且cosθ>0,故θ≠0且θ≠π2,即θ∈0,π2.設(shè)f(x)=x3+lnx,x>0,則不等式sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ等價于f(sinθ)≥f(cosθ).f'(x)=3x2+1x,則當x>0時,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),則f(sinθ)≥f(cosθ)等價于sinθ≥cosθ.∵θ∈0,π2,∴sinθcosθ≥1,即tanθ≥1,即π4≤θ<π2,即θ故選A.14.D[解析]設(shè)h(x)=2x-a,g(x)=4(x-a)(x-2a).若h(x)=2x-a在(-∞,1)上有一個零點,函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有一個零點,則a>0且h(1)=2若h(x)=2x-a在(-∞,1)上沒有零點,函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有兩個零點,則a≤0或a≥綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是12,1∪[2,+∞).故選D.15.D[解析]由f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)得f(0)=1-loga2,f1a=1-loga3.由二次函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像可知,函數(shù)f(x)的零點至多有兩個.因為f(x)在0,1a上恰有一個零點,所以(1-loga2)(1-loga3)≤0且1-loga2=0與1-loga3=0在0,1a解不等式(1-loga2)(1-loga3)≤0可得2≤a≤3.當a=3時,函數(shù)f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),x∈0,且滿意f(0)=1-log32>0,f16=0-log352<0,f13=1-log33=0,所以f(x)在0,16內(nèi)有一個零點,x=13為一個零點,不合題意,綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為[2,3),故選D.16.D[解析]因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=ex(x+1),所以當x<0時,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-e-x(1-x)=e-x(x-1),故①正確.f(x)=ex(x+1),x<0,0,x=0,e-x(x-1),x>0,當不等式f(x)>0等價于x<0解得-1<x<0或x>1,所以f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞),故③正確.當x>0時,f(x)=(x-1)e-x,f'(x)=e-x-(x-1)e-x=(2-x)e-x,當0<x<2時,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上為增函數(shù);當x>2時,f'(x)<0,所以f(x)在(2,+∞)上為減函數(shù).所以f(x)max=f(2)=e-2,當x→0時,f(x)→-1,當x→+∞時,f(x)→0,所以f(x)>-1,所以當x>0時,f(x)的取值范圍為(-1,e-2],因為f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(x)的值域為(-1,1),故?x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|<2,故④正確.故選D.17.D[解析]f(x)有且僅有三個不同的零點等價于方程2sinx+π4=ax-3π4有且僅有三個不同的實數(shù)根,等價于曲線y=2sinx+π4與直線y=ax-3π4有且僅有三個不同交點.作出曲線y=2sinx+π4和直線y=ax-3π4,如圖.當直線y=ax-3π4與曲線y=2sinx+π4相切時,滿意題意.因為x1<x2<x3,所以x2=3π4,且2cos(x3+π4)=a,2sin(x3由誘導公式得tan(x3-x2)=tanx3-3π4=tanx3+π4=x3-3π4又7π4<x3<9π4,所以tan(x3-x2)=x3-3π4∈π,318.B[解析]令y=x3-3x,x≤0,則y'=3x2-3,令y'=0,可得x=-1,當x<-1時,y'>0,當-1<x≤0時,y'<0,所以y=x3-3x,x≤0在x=-1處取得極大值,也是最大值,最大值為2.(1)當a>0時,要使零點個數(shù)最少,則a>1,此時x+ax≥2x·ax=2a>2(x>0),此時函數(shù)f(x)由y=f[f(x)]-2=0得f[f(x)]=2,故f(x)=-1,由圖可得y=f[f(x)]-2的零點個數(shù)為1,故A錯誤.要使零點個數(shù)最多,則0<a<1,此時x+ax≥2x·ax=2a<2(x>0),此時函數(shù)f(x)由y=f[f(x)]-2=0得f[f(x)]=2,所以f1(x)=-1,f2(x)=t1,f3(x)=t2,其中t2>a,0<t1<a,又f1(x)=-1有1個根,f2(x)=t1有2個根,f3(x)=t2最多有4個根,所以y=f[f(x)]-2最多有7個零點,故B正確.(2)當a<0時,函數(shù)y=x+ax為增函數(shù),此時函數(shù)f(x)的圖像如圖③所示由y=f[f(x)]-2=0得f[f(x)]=2,所以f1(x)=-1,f2(x)=t,其中t+at=2,即t2-2t+a=0,由圖知t>0,故t=1+1-a>2,故f1(x)=-1有2個根,f2(x)=t有1個根,故y=f[f(x)]-2一共有所以C,D錯誤.故選B.19.B[解析]由f(x)=ex-aln(ax-a)+a>0恒成立,得1aex>ln[a(x-1)]-1恒成立,可得ex-lna-lna>ln(x-1)-1恒成立,變形得ex-lna+x-lna>eln(x-1)+ln(x-1)恒成立.令g(x)=ex+x,明顯g(x)為增函數(shù),則原問題等價于g(x-lna)>g[ln(x-1)]恒成立,故x-lna>ln(x-1)恒成立,即lna<x-ln(x-1)恒成立.令h(x)=x-ln(x-1)(x>1),則h'(x)=x-2x-1,當x∈(1,2)時,h'(x)<0,當x∈(2,+∞)時,h'(x)>0,故h(x)min=h(2)=2,所以lna<2,即0<a<20.20,412[解析]∵當2<x<4時,f(x)=f(4-x),∴f(x)在(2,4)與(0,2)上的圖像關(guān)于直線x=2對稱.作出f(x)的圖像如圖所示.不妨設(shè)x1<x2<x3<x4,可得x1+x4=x2+x3=4,-lnx1=lnx2,∴x1x2=1,∴x1=1x2,x4=4-1x2,x3=∴x12+x22=1x22+x22+(4-x2)2+4=2x2+1x22-8x2+1x2+28,x2∈(1,2).令t=x2+1x2,則t∈2,52令h(t)=2t2-8t+28,t∈2,52,可得h(t)在2,52上單調(diào)遞增,∴h(2)<h(t)<h52,即20<h(t)<412,∴x12+x22+x32+x4限時集訓(二)1.A[解析]由f(x-2)=lnx-2x,得f(x)=ln(x+2)-2x+2(x>0).易知f(x)=ln(x+2)-2x+2是定義域上的增函數(shù),故f又f(0)=ln2-1<0,f(1)=ln3-23>0,所以存在x0∈(0,1),使得f(x0)=02.C[解析]依據(jù)函數(shù)奇偶性的概念可知A選項與D選項所給函數(shù)不具有奇偶性;對于B選項,f(x)=x+1x為奇函數(shù),但不存在零點;對于C選項,f(x)=2x-x為奇函數(shù),且f(±2)=0.故選3.B[解析]作出函數(shù)f(x)的圖像,如圖所示.由圖可知,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以f(x+a)≥f(2a-x)?x+a≤2a-x,可得x≤a2.由題意知,當x∈[a,a+1]時,x≤a2恒成立,所以a+1≤a2,解得a≤-2.4.B[解析]易知x3=1.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x,y=log2x,y=2-x的圖像,如圖所示,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分別是曲線y=2x,曲線y=log2x與直線y=2-x的交點.因為函數(shù)y=2x與y=log2x的圖像關(guān)于直線y=x對稱,且直線y=2-x也關(guān)于直線y=x對稱,所以交點A,B關(guān)于直線y=x對稱,所以x1+x22=y1+y22,即2-x所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<x1+x222=1(0<x1<x2),所以x1x2<x3,x1+x2=2故選B.5.C[解析]函數(shù)f(x)=2xx+1+lnx=2+lnx-2x+1的定義域為{x|x>0},且函數(shù)f由f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),可得f(a),f(b),f(c)中有1個是負數(shù)或3個均為負數(shù),且有1個為負數(shù)時肯定是f(a)為負數(shù).由函數(shù)的零點存在定理可知,函數(shù)的零點可能在(a,c),(a,b)或(c,+∞)內(nèi),不行能在(b,c)內(nèi).故選C.6.B[解析]函數(shù)f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2=(x-2)2+ex-2+e-x+2-5,令t=x-2,g(t)=t2+et+e-t-5,則g(-t)=t2+et+e-t-5=g(t),所以函數(shù)g(t)是偶函數(shù),所以f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱.若函數(shù)f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有兩個零點x1,x2,則x1+x2=4.故選B.7.D[解析]對于函數(shù)y=0.04x,當x=100時,y=4>3,不符合題意;對于函數(shù)y=1.015x-1,當x=100時,y≈3.432>3,不符合題意;對于函數(shù)y=tanx19-1,在(6,100]上不是增函數(shù),不符合題意;對于函數(shù)y=log11(3x-10),在(6,100]上是增函數(shù),且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,作出直線y=15x與曲線y=log11(3x-10),如圖所示由圖可知,當x∈(6,100]時,15x>log11(3x-10)恒成立,所以該函數(shù)符合題意.故選D8.B[解析]由題意可得f(0)=e-1-1e=0,則函數(shù)f(x)的圖像與x軸的唯一公共點為原點.f'(x)=ex-1-a當a≤0時,f'(x)>0恒成立,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x)的圖像與x軸有唯一的公共點.當a>0時,由f'(x)>0得x>lna+1,由f'(x)<0得x<lna+1,則f(x)在(-∞,lna+1)上單調(diào)遞減,在(lna+1,+∞)上單調(diào)遞增.由題意可得lna+1=0,解得a=1e.綜上,實數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=1e,故選9.B[解析]∵f(x)=lnxx2,f(x)<m-1x2在(0∴m>1+lnxx2(x>0令g(x)=1+lnx則g'(x)=1x·x當x∈0,e-12時,g'(x)>0,g(x)在區(qū)間0,e-12當x∈e-12,+∞時,g'(x)<0,g(x)在區(qū)間e-12,+∞∴當x=e-12時,g(x)取得極大值,也是最大值,且ge-12=1+lne-12e10.a=0或a≥12[解析]若函數(shù)f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在區(qū)間(-2,+∞)上有且僅有一個零點則方程2|x-2a|=4|x+a|,即2|x-2a|=22|x+a|,即|x-2a|=2|x+a|,即(x-2a)2=4(x+a)2,即x(x+4a)=0在(-2,+∞)上有且只有一個根.當a=0時,滿意題意;當a≠0時,必有-4a≤-2,解得a≥12故實數(shù)a的取值范圍是a=0或a≥1211.B[解析]畫出函數(shù)f(x)=x2+10x+1依據(jù)題意及圖像知x1+x2=-10,lgx3=-lgx4,故x3x4=1,且110≤x3<1故(x1+x2)(x3-x4)=-10x3-1x3∈(0,99].故選B.12.B[解析]由題意得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又g(-x+1)=g(x+1),即g(2-x)=g(x),所以f(2-x)·g(2-x)=-f(x)g(x),所以函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱.設(shè)y=f(x)·g(x)的零點為x1,x2,x3,x4,x5,易知x3=1,設(shè)x1<x2<1<x4<x5,則x1+x5=x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=5.故選B.13.A[解析]∵sin3θ-cos3θ≥lncosθsinθ,θ∈0,π2,∴sin3θ-cos3θ≥lncosθ-lnsinθ,即sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ,其中sinθ>0且cosθ>0,故θ≠0且θ≠π2,即θ∈0,π2.設(shè)f(x)=x3+lnx,x>0,則不等式sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ等價于f(sinθ)≥f(cosθ).f'(x)=3x2+1x,則當x>0時,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),則f(sinθ)≥f(cosθ)等價于sinθ≥cosθ.∵θ∈0,π2,∴sinθcosθ≥1,即tanθ≥1,即π4≤θ<π2,即θ故選A.14.D[解析]設(shè)h(x)=2x-a,g(x)=4(x-a)(x-2a).若h(x)=2x-a在(-∞,1)上有一個零點,函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有一個零點,則a>0且h(1)=2若h(x)=2x-a在(-∞,1)上沒有零點,函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有兩個零點,則a≤0或a≥綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是12,1∪[2,+∞).故選D.15.D[解析]由f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)得f(0)=1-loga2,f1a=1-loga3.由二次函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像可知,函數(shù)f(x)的零點至多有兩個.因為f(x)在0,1a上恰有一個零點,所以(1-loga2)(1-loga3)≤0且1-loga2=0與1-loga3=0在0,1a解不等式(1-loga2)(1-loga3)≤0可得2≤a≤3.當a=3時,函數(shù)f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),x∈0,且滿意f(0)=1-log32>0,f16=0-log352<0,f13=1-log33=0,所以f(x)在0,16內(nèi)有一個零點,x=13為一個零點,不合題意,綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為[2,3),故選D.16.D[解析]因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=ex(x+1),所以當x<0時,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-e-x(1-x)=e-x(x-1),故①正確.f(x)=ex(x+1),x<0,0,x=0,e-x(x-1),x>0,當不等式f(x)>0等價于x<0解得-1<x<0或x>1,所以f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞),故③正確.當x>0時,f(x)=(x-1)e-x,f'(x)=e-x-(x-1)e-x=(2-x)e-x,當0<x<2時,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上為增函數(shù);當x>2時,f'(x)<0,所以f(x)在(2,+∞)上為減函數(shù).所以f(x)max=f(2)=e-2,當x→0時,f(x)→-1,當x→+∞時,f(x)→0,所以f(x)>-1,所以當x>0時,f(x)的取值范圍為(-1,e-2],因為f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(x)的值域為(-1,1),故?x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|<2,故④正確.故選D.17.D[解析]f(x)有且僅有三個不同的零點等價于方程2sinx+π4=ax-3π4有且僅有三個不同的實數(shù)根,等價于曲線y=2sinx+π4與直線y=ax-3π4有且僅有三個不同交點.作出曲線y=2sinx+π4和直線y=ax-3π4,如圖.當直線y=ax-3π4與曲線y=2sinx+π4相切時,滿意題意.因為x1<x2<x3,所以x2=3π4,且2cos(x3+π4)=a,2sin(x3由誘導公式得tan(x3-x2)=tanx3-3π4=tanx3+π4=x3-3π4又7π4<x3<9π4,所以tan(x3-x2)=x3-3π4∈π,318