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2024-2025學(xué)年北京市第五實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)、錢學(xué)森中學(xué)教育集團(tuán)聯(lián)合九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題2分,共16分。1.(2分)“二十四節(jié)氣”是中華農(nóng)耕文明的結(jié)晶,被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明”.下列圖案分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”,下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B. C. D.2.(2分)將拋物線y=2x2向左平移3個單位,再向上平移1個單位得到的拋物線,其解析式是()A.y=2(x+3)2+1 B.y=2(x﹣3)2﹣1 C.y=2(x+3)2﹣1 D.y=2(x﹣3)2+13.(2分)把如圖中的三角形A()可以得到三角形B.A..先向右平移5格,再向上平移2格 B..先向右平移7格,再以直角頂點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°,然后向上平移1格 C..先以直角頂點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移5格 D..先向右平移5格,再以直角頂點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°4.(2分)方程x2+4x+3=0的兩個根為()A.x1=1,x2=3 B.x1=﹣1,x2=3 C.x1=1,x2=﹣3 D.x1=﹣1,x2=﹣35.(2分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠BCD=110°,則∠BOD的度數(shù)為()A.35° B.70° C.110° D.140°6.(2分)如圖,⊙O的半徑為9,AB是弦,OC⊥AB于點(diǎn)C,將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D,若OD=DC,則弦AB的長為()A. B. C. D.7.(2分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,將△ABC繞著點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE,AB,CE相交于點(diǎn)F,若AD∥CE時,則∠BAE的大小是()A.20° B.25° C.30° D.35°8.(2分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸為直線x=,經(jīng)過點(diǎn)A(2,0).以下結(jié)論:①﹣>0;②b2﹣4ac=0;③abc<0;④a+b+c<0;⑤若(,y1),(﹣,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2.其中結(jié)論正確的是()A.①②③ B.①③⑤ C.②③④ D.①④⑤二、填空題:本題共8小題,每小題2分,共16分。9.(2分)關(guān)于x的方程是一元二次方程,則m=.10.(2分)拋物線y=3(x+2)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.11.(2分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個實(shí)數(shù)根,則2023﹣6m2+9m的值為.12.(2分)若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是.13.(2分)如圖,仁和橋有一段拋物線形狀的拱梁,拋物線的解析式為y=ax2+bx.小輝騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC,當(dāng)小輝騎自行車行駛7秒時和13秒時拱梁的高度相同,則小輝騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需秒.14.(2分)如圖,⊙O中,弦AB⊥弦CD于E,OF⊥AB于F,OG⊥CD于G,若AE=8cm,EB=4cm,則OG=cm.15.(2分)已知函數(shù)y=|x2﹣4|的大致圖象如圖所示,那么:方程|x2﹣4|=m.(m為實(shí)數(shù))若該方程恰有2個不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是.16.(2分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,把△ABC繞AC邊的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后得△DEF,若直角頂點(diǎn)F恰好落在AB邊上,且DE邊交AB邊于點(diǎn)G,若AC=12,BC=5,則AG的長為.三、解答題:本題共12小題,共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.解方程:(x+2)2﹣2(x+2)﹣3=0.18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍.(2)設(shè)x1,x2是方程的兩個根且,求m的值.19.如圖,點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),∠BOC=150°,將△BOC繞點(diǎn)C按順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADC,連接OD,OA.(1)求∠ODC的度數(shù);(2)若OB=3,OC=2,求AO的長.20.如圖,某校進(jìn)行校園改造,準(zhǔn)備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花,原空地一邊減少了4m,另一邊減少了5m,剩余部分面積為650m2,求原正方形空地的邊長.22.如圖,正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是一個單位長度,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(5,2),B(5,5),C(1,1).(1)△ABC向左平移3個單位得到的△A1B1C1,則點(diǎn)A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo)分別為A1(),B1(),C1().(2)畫出△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C.(3)請計算四邊形ACA2B2的面積.23.我市某公司在直播中推出的一款“忘憂”產(chǎn)品禮盒,每盒的成本為100元,若按每盒150元銷售,則同時段每小時可售出40盒.為了讓利全國網(wǎng)友,公司決定降價銷售,經(jīng)核算,發(fā)現(xiàn)銷售價每降低1元,同時段每小時的銷量就增加2盒.設(shè)該禮盒售價為每盒x元(x≥100),每小時的銷售利潤為w元.(1)求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍;(2)直播間在讓利顧客的前提下,要使一小時的銷售利潤達(dá)到2400元,銷售價應(yīng)定為每盒多少元?(3)當(dāng)銷售價定為多少元時每小時的利潤最大?并求出最大利潤.24.如圖,圓內(nèi)接四邊形ABDC,AB是⊙O的直徑,OD⊥BC交BC于點(diǎn)E.(1)求證:點(diǎn)D為的中點(diǎn);(2)若BE=4,AC=6,求DE.25.如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長為16m,寬為6m,拋物線的最高點(diǎn)C離地面AA1的距離為8m.(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系,求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)一大型汽車裝載某大型設(shè)備后,高為7m,寬為4m,如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?26.已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,4).(1)用含a的代數(shù)式表示b為;(2)當(dāng)拋物線與x軸交于點(diǎn)B(2,0)時,求此時a的值;(3)設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為d.當(dāng)d<2時,求a的取值范圍.27.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點(diǎn),∠EDF=90°,∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F.(1)如圖1,當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時,易證S△DEF+S△CEF與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為;(2)如圖2,當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;(3)如圖3,這種情況下,請猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的數(shù)量關(guān)系,不需證明.28.定義:函數(shù)圖象G上的點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差y﹣x叫做點(diǎn)P的“雙減差”,圖象G上所有點(diǎn)的“雙減差”中最小值稱為函數(shù)圖象G的“幸福值”如:拋物線y=x2上有點(diǎn)P(4,16),則點(diǎn)P的“雙減差”為12;而拋物線y=x2上所有點(diǎn)的“雙減差”,即該拋物線的“幸福值”為.根據(jù)定義,解答下列問題:(1)已知函數(shù)圖象上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1,求點(diǎn)P的“雙減差”y﹣x的值;(2)若直線y=kx+11(﹣1≤x≤2)的“幸福值”為k2(k>1),求k的值;(3)設(shè)拋物線y=x2+bx+c頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且該拋物線的頂點(diǎn)在直線y=﹣x+9,當(dāng)時,拋物線y=x2+bx+c的“幸福值”是5,求該拋物線的解析式.
2024-2025學(xué)年北京市第五實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)、錢學(xué)森中學(xué)教育集團(tuán)聯(lián)合九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本題共8小題,每小題2分,共16分。1.(2分)“二十四節(jié)氣”是中華農(nóng)耕文明的結(jié)晶,被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明”.下列圖案分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”,下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(A)A. B. C. D.2.(2分)將拋物線y=2x2向左平移3個單位,再向上平移1個單位得到的拋物線,其解析式是(A)A.y=2(x+3)2+1 B.y=2(x﹣3)2﹣1 C.y=2(x+3)2﹣1 D.y=2(x﹣3)2+13.(2分)把如圖中的三角形A(B)可以得到三角形B.A..先向右平移5格,再向上平移2格 B..先向右平移7格,再以直角頂點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°,然后向上平移1格 C..先以直角頂點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移5格 D..先向右平移5格,再以直角頂點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°4.(2分)方程x2+4x+3=0的兩個根為(D)A.x1=1,x2=3 B.x1=﹣1,x2=3 C.x1=1,x2=﹣3 D.x1=﹣1,x2=﹣35.(2分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠BCD=110°,則∠BOD的度數(shù)為(D)A.35° B.70° C.110° D.140°6.(2分)如圖,⊙O的半徑為9,AB是弦,OC⊥AB于點(diǎn)C,將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D,若OD=DC,則弦AB的長為(B)A. B. C. D.7.(2分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,將△ABC繞著點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE,AB,CE相交于點(diǎn)F,若AD∥CE時,則∠BAE的大小是(C)A.20° B.25° C.30° D.35°8.(2分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸為直線x=,經(jīng)過點(diǎn)A(2,0).以下結(jié)論:①﹣>0;②b2﹣4ac=0;③abc<0;④a+b+c<0;⑤若(,y1),(﹣,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2.其中結(jié)論正確的是(B)A.①②③ B.①③⑤ C.②③④ D.①④⑤二、填空題:本題共8小題,每小題2分,共16分。9.(2分)關(guān)于x的方程是一元二次方程,則m=﹣2.10.(2分)拋物線y=3(x+2)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣2,1).11.(2分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個實(shí)數(shù)根,則2023﹣6m2+9m的值為2020.12.(2分)若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k≠0且k≤1.13.(2分)如圖,仁和橋有一段拋物線形狀的拱梁,拋物線的解析式為y=ax2+bx.小輝騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC,當(dāng)小輝騎自行車行駛7秒時和13秒時拱梁的高度相同,則小輝騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需20秒.14.(2分)如圖,⊙O中,弦AB⊥弦CD于E,OF⊥AB于F,OG⊥CD于G,若AE=8cm,EB=4cm,則OG=2cm.15.(2分)已知函數(shù)y=|x2﹣4|的大致圖象如圖所示,那么:方程|x2﹣4|=m.(m為實(shí)數(shù))若該方程恰有2個不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是m>4或m=0..16.(2分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,把△ABC繞AC邊的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后得△DEF,若直角頂點(diǎn)F恰好落在AB邊上,且DE邊交AB邊于點(diǎn)G,若AC=12,BC=5,則AG的長為.三、解答題:本題共12小題,共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.解方程:(x+2)2﹣2(x+2)﹣3=0.解:[(x+2)﹣3][(x+2)+1]=0,(x+2)﹣3=0或(x+2)+1=0,所以x1=1,x2=﹣3.18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍.(2)設(shè)x1,x2是方程的兩個根且,求m的值.解:(1)根據(jù)題意得Δ=(2m+1)2﹣4(m2﹣1)>0,解得m>﹣,故m的取值范圍是m>﹣;(2)x+x+x1x2﹣6=(x1+x2)2﹣x1x2﹣6=(2m+1)2﹣(m2﹣1)﹣6=0,解得m1=,m2=﹣2,∵m>﹣,∴m的值為.19.如圖,點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),∠BOC=150°,將△BOC繞點(diǎn)C按順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADC,連接OD,OA.(1)求∠ODC的度數(shù);(2)若OB=3,OC=2,求AO的長.解:(1)∵AC=BC,∠ACB=60°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,CO=CD,∵∠ACB=60°,∴△COD是等邊三角形,∴∠ODC=60°;(2)∵△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°,AD=OB=3,CD=OC=2,由(1)可知,△COD是等邊三角形,∠ODC=60°,∴OD=OC=2,∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,∴,∴AO的長為.20.如圖,某校進(jìn)行校園改造,準(zhǔn)備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花,原空地一邊減少了4m,另一邊減少了5m,剩余部分面積為650m2,求原正方形空地的邊長.解:設(shè)原正方形空地的邊長為xm,則剩余部分長(x﹣4)m,寬(x﹣5)m,依題意得:(x﹣4)(x﹣5)=650整理得:x2﹣9x﹣630=0,解得:x1=30,x2=﹣21(不合題意,舍去).答:原正方形空地的邊長為30m.22.如圖,正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是一個單位長度,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(5,2),B(5,5),C(1,1).(1)△ABC向左平移3個單位得到的△A1B1C1,則點(diǎn)A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo)分別為A1(2,2),B1(2,5),C1(﹣2,1).(2)畫出△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C.(3)請計算四邊形ACA2B2的面積.解:(1)∵△ABC向左平移3個單位得到的△A1B1C1,A(5,2),B(5,5),C(1,1),∴A1(2,2),B1(2,5),C1(﹣2,1).故答案為:2,2;2,5;﹣2,1.(2)如圖,△A2B2C即為所求.(3)四邊形ACA2B2的面積為=6+10=16.23.我市某公司在直播中推出的一款“忘憂”產(chǎn)品禮盒,每盒的成本為100元,若按每盒150元銷售,則同時段每小時可售出40盒.為了讓利全國網(wǎng)友,公司決定降價銷售,經(jīng)核算,發(fā)現(xiàn)銷售價每降低1元,同時段每小時的銷量就增加2盒.設(shè)該禮盒售價為每盒x元(x≥100),每小時的銷售利潤為w元.(1)求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍;(2)直播間在讓利顧客的前提下,要使一小時的銷售利潤達(dá)到2400元,銷售價應(yīng)定為每盒多少元?(3)當(dāng)銷售價定為多少元時每小時的利潤最大?并求出最大利潤.解:(1)由題意得,y=40+2(150﹣x)即y=340﹣2x(100≤x<150),∴w=(x﹣100)(340﹣2x)即w=﹣2x2+540x﹣3400(100≤x<150)(2)由題意得,(x﹣100)(340﹣2x)=2400,整理得x2﹣270x+18200=0,解得x1=140,x2=130,∵要讓利顧客,∴x=130,答:銷售價應(yīng)定為每件130元;(3)w=(x﹣100)(340﹣2x)=340x﹣34000﹣2x2+200x=﹣2x2+540x﹣34000=﹣2(x﹣135)2+2450(100≤x<150)∵﹣2<0,∴當(dāng)x=135時,w有最大值,w最大=2450,答:銷售價定為每件135元時,利潤最大,最大利潤為2450元.24.如圖,圓內(nèi)接四邊形ABDC,AB是⊙O的直徑,OD⊥BC交BC于點(diǎn)E.(1)求證:點(diǎn)D為的中點(diǎn);(2)若BE=4,AC=6,求DE.解(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,OD⊥BC,∴=,即點(diǎn)D為的中點(diǎn);(2)解:∵AB是⊙O的直徑,OD⊥BC,∴BE=EC=4,∴BC=8,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∵AC=6,∴,∴OD=OB=5,∴,∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2.25.如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長為16m,寬為6m,拋物線的最高點(diǎn)C離地面AA1的距離為8m.(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系,求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)一大型汽車裝載某大型設(shè)備后,高為7m,寬為4m,如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?解:(1)根據(jù)題意得A(﹣8,0),B(﹣8,6),C(0,8),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+8(a≠0),把B(﹣8,6)代入64a+8=6解得:a=﹣.拋物線的解析式為y=﹣x2+8.(2)根據(jù)題意,把x=4代入解析式,得y=7.5m.∵7.5m>7m,∴貨運(yùn)卡車能通過.26.已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,4).(1)用含a的代數(shù)式表示b為1﹣4a;(2)當(dāng)拋物線與x軸交于點(diǎn)B(2,0)時,求此時a的值;(3)設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為d.當(dāng)d<2時,求a的取值范圍.解:(1)把A(4,4)代入y=ax2+bx得,16a+4b=4,∴b=1﹣4a.(2)由題意得,,∴.(3)∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,4),∴16a+4b=4.∴b=1﹣4a.令y=ax2+bx=ax2+(1﹣4a)x=0.∴ax2+(1﹣4a)x=0.∴x[ax﹣(4a﹣1)]=0.∵a≠0,∴x1=0,.∵d<2,∴4﹣<2,或4﹣>﹣2.∴>2或<6.∴<a<且a.27.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點(diǎn),∠EDF=90°,∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F.(1)如圖1,當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時,易證S△DEF+S△CEF與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為S△DEF+S△CEF=S△ABC;(2)如圖2,當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;(3)如圖3,這種情況下,請猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的數(shù)量關(guān)系,不需證明.解:(1)當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC時,四邊形CEDF是正方形.設(shè)△ABC的邊長AC=BC=a,則正方形CEDF的邊長為a.∴S△ABC=a2,S正方形DECF=(a)2=a2即S△DEF+S△CEF=S△ABC;故答案為:S△DEF+S△CEF=S△ABC;(2)(1)中的結(jié)論成立;證明:過點(diǎn)D作DM⊥AC,DN⊥BC,則∠DME=∠DNF=∠MDN=90°,又∵∠C=90°,∴DM∥BC,DN∥AC,∵D為AB邊的中點(diǎn),由中位線定理可知:DN=AC,MD=BC,∵AC=BC,∴MD=ND,∵∠EDF=90°,∴∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°,∴∠MDE=∠NDF,在△DME與△DNF中,,∴△DME≌△DNF(ASA),∴S△DME=S△DNF,∴S四邊形DMCN=S四邊形DECF=S△DEF+S△CEF,由以上可知S四邊形DMCN=S△ABC,∴S△DEF+S△CEF=S△ABC.(3)連接DC,證明:同
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