數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第一講二平行線分線段成比例定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破一、平行線分線段成比例定理1。定理：三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.圖1-2—12.符號語言表示:如圖1—2-1所示,a∥b∥c，則=.3.定理的證明：若是有理數(shù)，則將AB、BC分成相等的線段，把問題轉(zhuǎn)化為平行線等分線段，達到證明的目的，再推廣到整個實數(shù)范圍，其完整的推廣過程還需到高等數(shù)學(xué)中實現(xiàn)。4.定理的條件：與平行線等分線段定理相同，它需要a、b、c互相平行,構(gòu)成一組平行線，m與n可以平行，也可以相交,但它們必須與已知的平行線a、b、c相交，即被平行線a、b、c所截。平行線的條數(shù)還可以更多.5.定理比例的變式：對于3條平行線截兩條直線的圖形，要注意以下變化（如圖121):如果已知是a∥b∥c，那么根據(jù)定理就可以得到所有的對應(yīng)線段都成比例，如=,=等，可以歸納為=,=，=等，便于記憶.二、平行線分線段成比例定理的推論1.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段成比例。2。符號語言表示:如圖1-2—2所示，a∥b∥c,則==.圖1-2-23。推論的證明：直接利用平行線分線段成比例定理,應(yīng)當注意的是一定要將線段對應(yīng)好，實際應(yīng)用時，通常圖形中不會出現(xiàn)三條平行線，此時要注意正確識別圖形，如圖1-2—3.圖1-2-3三、刨根問底問題1平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何區(qū)別與聯(lián)系？怎樣正確使用平行線分線段成比例定理？ 探究：我們學(xué)習(xí)的平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.(如圖1—2-4,若l1∥l2∥l3，AB＝BC，則DE=EF)圖1-2—4圖1—2-5 平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.如圖1—2-5,若l1∥l2∥l3，則=.比較這兩個定理可知：當截得的對應(yīng)線段成比例,比值為1時,則有截得的線段相等，即當==1時,則有AB=BC，DE=EF，因此平行線分線段成比例定理是平行線等分線段定理的擴充，而平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例.平行線等分線段定理是證明線段相等的依據(jù)，而平行線分線段成比例定理是證明線段成比例的途徑。在使用平行線分線段成比例定理時,要特別注意“對應(yīng)”的問題，如圖1—2-5中的線段AB、BC、AC的對應(yīng)線段分別是DE、EF、DF，由平行線分線段成比例定理有=,=,=.根據(jù)比例的性質(zhì),還可以得到=,=,=.為了掌握對應(yīng)關(guān)系,可根據(jù)對應(yīng)線段的相對位置特征，把=說成是“上比全等于上比全”，把=說成是“左比右等于左比右”，使用這種形象化語言，不僅能夠按要求或需要準確地寫出比例式,而且也容易檢查比例式是否正確。問題2證明線段相等的問題較常見，而證題的方法隨著所學(xué)知識的不斷積累也逐漸增多.那么證明線段相等通常有哪些方法？我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的平行線分線段成比例定理及推論能發(fā)揮什么作用？探究：根據(jù)題設(shè)的不同,證明線段相等可以利用全等三角形的對應(yīng)線段相等；等腰三角形、等腰梯形的兩腰相等；平行四邊形的對邊相等,對角線互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的對角線相等；關(guān)于直線成軸對稱或關(guān)于點成中心對稱的線段相等，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理等等.現(xiàn)在學(xué)了線段成比例的有關(guān)定理，也常用來證兩線段相等，其方法是利用條件中有（或添作）平行線或相似三角形,列出幾組比例式進行比較而得出。活學(xué)巧用【例1】如圖1—2-6,直線l1∥l2∥l3,直線m、n分別交直線l1、l2、l3于點A、B、C和D、E、F,m、n交于O點，AB=2，AC=5，EF=3,求DE.圖1-2—6思路解析：要求DE的長，可以結(jié)合條件，直接利用“平行線分線段成比例”定理。解：∵l1∥l2∥l3，AB=2，AC=5,EF=3,∴=，=。∴DE=2?！纠?】如圖1-2-7所示，DE∥BC，EF∥DC，求證:AD2=AF·AB.圖1-2-7思路解析：要證AD2=AF·AB，只要證=,由于AF\AD、AB在同一直線上，因此上式不能直接用定理證，于是想到用過渡比.從基本圖形中立即可找到過渡比為。證明:∵DE∥BC,∴=（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的對應(yīng)線段成比例）.∵EF∥DC，∴=.∴=，即AD2=AF·AB?！纠?】如圖1—2-8所示，已知直線FD和△ABC的BC邊交于D,與AC邊交于E,與BA的延長線交于F,且BD=DC,求證:AE·FB=EC·FA。圖1—2—8思路解析：本題只要證=即可。由于與沒有直接聯(lián)系，因此必須尋找過渡比將它們聯(lián)系起來，因此考慮添加平行線進行構(gòu)造。證明：過A作AG∥BC，交DF于G點.∵AG∥BD，∴=。又∵BD=DC,∴=?！逜G∥BD，∴=.∴=,即AE·FB=EC·FA.【例4】如圖1-2-9，已知AD是△ABC的內(nèi)角平分線,求證：=。圖1—2-9思路解析：AB、AC不在同一直線上，而BD和CD在同一直線上。在同一直線上的兩條線段的比往往和平行線有關(guān),所以我們不妨考慮作一條平行線。證明：過點C作CE∥AD，交BA的延長線于點E,∵AD∥EC,∴=.又∵∠E=∠BAD,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠CAD，∴∠E=∠ACE?！郃C=AE.∴=.【例5】如圖1-2-10，已知△ABC中,DE∥BC，CD