數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第一講一平行線等分線段定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破一、平行線等分線段定理平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。用符號語言表述是:已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交于點A、B、C和A′、B′、C′(如圖1-1-2），如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.圖1—1—2對于定理的證明，如圖1-1—3所示,分m∥n和m不平行于n兩種情況證明。當(dāng)m∥n時,直接運用平行四邊形加以證明；當(dāng)m不平行于n時,利用輔助線構(gòu)造相似三角形，進(jìn)而得到關(guān)系式.圖1—1—3定理的條件是a、b、c互相平行，構(gòu)成一組平行線，m與n可以平行，也可以相交,但它們必須與已知的平行線a、b、c相交，即被平行線a、b、c所截.平行線的條數(shù)還可以更多.應(yīng)當(dāng)注意定理圖形的變式：對于三條平行線截兩條直線的圖形,要注意以下變化(如圖1—1-4）:如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根據(jù)定理就可以直接得到其他直線上的線段相等.也就是說，直線DE的位置變化不影響定理的結(jié)論。圖1-1—4圖1—1-5利用本定理可將一線段分成n等份，也可以證明線段相等或轉(zhuǎn)移線段的位置。平行線等分線段定理的逆命題是：如果一組直線截另一組直線成相等的線段，那么這組直線平行.這一命題是錯誤的，如圖1-1-5。二、平行線等分線段定理的推論平行線等分線段定理的推論有兩個，其中一個是經(jīng)過三角形一邊的中點,與另一邊平行的直線必平分第三邊；另一個是經(jīng)過梯形一腰的中點，與底邊平行的直線必平分另一腰。這兩個推論的證明如下:推論1：如圖1—1—6（1)，在△ACC′中,AB=BC,BB′∥CC′交AC′于B′點.求證:B′是AC′的中點。證明:如圖1-1—6(2），過A作BB′與CC′的平行線a,分別雙向延長線段BB′、CC′,得直線b、c.∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行線等分線段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中點。圖1-1-6推論2:如圖1—1—7(1),已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′,AB=BC,BB′∥CC′.求證:B′是A′C′的中點。證明：∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，分別延長AA′、BB′、CC′為a、b、c，如圖1-1-7.∴由平行線等分線段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中點.圖1-1-7三、刨根問底問題平行線等分線段定理與它的兩個推論之間有著密切的聯(lián)系，那么如何理解這種聯(lián)系？探究：只要將平行線等分線段定理的圖形中的直線只留下交點之間的部分，即可產(chǎn)生兩個推論的圖形;或者將兩個推論中的線段延長成為直線，也可變成平行線等分線段定理的圖形，它們的關(guān)系可以直觀地表示，如圖1—1-8:圖1-1—8活學(xué)巧用【例1】如圖1—1-9，已知在△ABC中，D是AC的中點，DE∥BC交AB于點E,EF∥AC交BC于點F.求證:BF=CF.圖1—1-9思路解析：在三角形中,只要給了一邊的中點和平行線，根據(jù)平行線等分線段定理的推論1,就可得出平行線與另一邊的交點即是中點.本題也可以利用平行四邊形和全等形來證明，但會顯得麻煩.證明：在△ABC中，∵D是AC的中點，DE∥BC，∴E是AB的中點（經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊）.又∵EF∥AC交BC于F，∴F是BC的中點，即BF=FC.【例2】求證：在直角梯形中，兩個直角頂點到對腰中點的距離相等。如圖1—1-10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，E是AB邊的中點,連結(jié)ED、EC.求證：ED=EC.圖1-1-10思路解析：在梯形中，若已知一腰的中點，一般過這點作底邊的平行線即可得到另一腰的中點。所以由E是AB邊的中點，作EF∥BC交DC于F,即可得EF⊥DC，從而利用線段中垂線的性質(zhì)得到結(jié)論。證明：過E點作EF∥BC交DC于F，∵在梯形ABCD中,AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中點，∴F是DC的中點(經(jīng)過梯形一腰中點與底平行的直線必平分另一腰)。∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又∵F是DC中點，∴EF是DC的垂直平分線.∴ED=EC(線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等)?！纠?】如圖1—1—11,ABCD中,對角線AC、BD相交于O，OE∥AB交BC于E,AD=12,求BE的長.圖1-1—11思路解析：本題重在考查應(yīng)用平行線等分線段定理推論解題的能力.解:∵ABCD是平行四邊形,∴OA=OC，BC=AD∵AB∥DC，OE∥AB,∴DC∥OE∥AB.又∵AD=12，∴=。【例4】已知在△ABC中,CD平分∠ACB，AE⊥CD于E,EF∥BC交AB于F.求證：AF=BF。思路解析：一般情況下，幾何圖形應(yīng)具有對稱的內(nèi)在美，當(dāng)感覺上圖形有些缺陷時，就要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使其完善。本題中，AE⊥CD于E，恰在三角形內(nèi)部，而Rt△AEC又不好用，所以延長AE與BC相交就勢在必行了.圖1—1-12證明：延長AE交BC于M?！逤D是∠ACB的平分線，AE⊥CD于E,∴在△AEC與△MEC中,∴△AEC≌△MEC.∴AE=EM。∴E是AM的中點。又在△ABM中，F(xiàn)E∥BC，∴點F是AB邊的中點.∴AF=BF.【例5】如圖,已知△ABC中,AD平分∠BAC，CD⊥AD，DE∥BA,求證:BC=2BE.圖1-1—13思路解析：要證BC=2BE，即證E為BC的中點，聯(lián)系已知條件DE∥AB，考慮平行線等分線段定